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2024-2025学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题06 式与方程
知识点一：用字母表示数
1.从特殊的、具体的、明确的数到一般的、抽象的、不确定的字母或含有字母的式子。
知识点二：方程的意义
1.含义:含有未知数的等式叫做方程。
2.关系:方程都是等式,但等式不一定是方程。
知识点三：解方程
1.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值。
2.解方程:求方程的解的过程。
3.简易方程的解法:根据四则运算中各部分之间的关系来求方程的解;根据等式的基本性质求方程的解。
知识点四：列方程解决问题
1.列方程解应用题就是用字母表示应用题中的未知数,根据等量关系列出方程,再解所列方程,得到答案:
2.找等量关系的方法:
(1)以一般数量关系为等量关系式;
(2)以公式为等量关系式;
(3)以典型“关系句”为等量关系式;
(4)按“事情的发展”为等量关系式。
3.列方程解应用题的一般步骤:
(1)弄清题意,找出未知数并用字母表示
(2)找出应用题中数量间的相等关系，列方程
(3)解方程,求出未知数的值;
(4)检验或验算,写出答案。
高频考点01：用字母表示数
【典例精讲01】三个连续自然数，已知中间一个数是m，那么前一个数是　 　，后一个数是　 　，三数之和是　 　。
【思路点拨】三个连续自然数，已知中间一个数是m，那么前一个数是m-1，后一个数是m+1，三数之和是3m。
【标准答案】m-1；m+1；3m
【考点评析】用字母表示数
【举一反三01】淘气今年a岁，爸爸比他大26岁，爸爸今年　 　岁．妈妈的年龄是淘气的3倍，妈妈今年　 　岁．
【思路点拨】①根据“爸爸比他大26岁，”知道爸爸的年龄=淘气的年龄+26，由此用淘气的年龄加上26就是爸爸的年龄；②根据“妈妈的年龄是淘气的3倍”，知道妈妈的年龄=淘气的年龄×3，由此用淘气的年龄乘3就是妈妈的年龄
【标准答案】a+26；3a
【考点评析】用字母表示数
【举一反三02】（2025五上·和平期末）甲数是a， 比乙数多1.8， 乙数是　 　，甲乙两数的和是　 　。
【思路点拨】已知甲数是a，且比乙数多1.8，进而可得乙数为a-1.8，将甲数a与乙数a-1.8相加即为甲乙两数的和。
【标准答案】a-1.8；2a-1.8
【考点评析】一位小数的加法和减法；用字母表示数
【举一反三03】（2024五上·汉寿期末）五年级学生订阅《小学生数学》380份，比四年级学生多订a份，则380－a表示　 　，380＋380－a表示　 　。
【思路点拨】四年级学生订阅《小学生数学》的份数=五年级学生订阅《小学生数学》的份数－五年级比四年级多订阅的份数；
四、五年级学生订阅《小学生数学》的总份数=五年级学生订阅《小学生数学》的份数＋四年级学生订阅《小学生数学》的份数。
【标准答案】四年级学生订阅《小学生数学》的份数；四、五年级学生订阅《小学生数学》的总份数
【考点评析】含字母式子的化简与求值
高频考点02：方程与等式的认识
【典例精讲02】下列各式中，哪些是方程？ 哪些是等式？(填序号)
①a+b=b+8 ②10-3=x
③6+9=15 ④2x+7=x+12
⑤7-x<6 ⑥x=12
⑦2a+4=7 ⑧6x+5
⑨15÷3x ⑩5÷(2x-1)=1
方程：　 　。
等式：　 　。
【思路点拨】含有等号的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。
【标准答案】①②④⑥⑦⑩；①②③④⑥⑦⑩
【考点评析】等式的认识及等量关系；方程的认识及列简易方程；等式的性质
【举一反三04】如果x=y，那么根据等式的性质填一填。
x+5=y+　 　 x÷10=y÷　 　
x-　 　=y-c x×　 　=y×a
【思路点拨】等式两边同时进行相同的数学运算（加、减、乘、除），等式依然成立。
【标准答案】5；10；c；a
【考点评析】等式的性质
【举一反三05】 在 里填运算符号，在括号里填数。
（1）x+80=175
x+80-80=175 (　　)
x+80+10=175 (　　)
（2）x÷60=300
x÷60×60=300 (　　)
【思路点拨】通过在等式两边同时进行加、减、乘、除运算，来求解x的值
【标准答案】（1）-，80，+，10；（2）×，60，÷，10
【考点评析】等式的性质
【举一反三06】如果☆=5★，△=▲÷2，那么横线上应填什么？
（1）☆+6=5★+　 　 2☆=★×　 　
（2）△×　 　=▲ ▲+▲=△×　 　
【思路点拨】1） 因为☆=5★ ，即： ☆+6=5★ +6； 2☆ =2×5 ★ ，即： 2☆=★× 10。
（2）因为 △=▲÷2 ，即： △× 2= ▲ ； ▲+▲ =2▲，即： ▲+▲=△× 4。
【标准答案】（1）6；10；（2）2；4
【考点评析】等式的性质
高频考点03：解方程
【典例精讲03】如果x=5是方程 mx+20=35的解，那么m=　 　。
【思路点拨】将5 代入方程，方程为5m+20=35，解得：m = 3
【标准答案】3
【考点评析】综合应用等式的性质解方程
【举一反三07】在(40-2x)÷4中，当x=　 　时，结果是0；当x=　 　时，结果是1。
【思路点拨】
解：
【标准答案】20；18
【考点评析】综合应用等式的性质解方程；解含括号的方程
【举一反三08】 根据等式的性质，在圆圈里填运算符号，在方框里填数。
（1）12-x=2.8
解：12-x+□=2.8 □
2.8+x=12
2.8+x-2.8=12 □
x=□
（2）6.3÷x=0.7
解：6.3÷x x=0.7 □
0.7×x=6.3
0.7x □=6.3 □
x=□
【思路点拨】（1）根据等式的性质1解方程，然后填空；（2）根据等式的性质2解方程，然后填空。
【标准答案】（1）x，+，x，-，2.8，9.2；（2）×，×，x，÷，0.7，÷，0.7，9
【考点评析】应用等式的性质1解方程；应用等式的性质2解方程
【举一反三09】（2025六上·光明期末） 解方程。
x+20%x=3.6
【标准答案】
x+20%x=3.6
解：1.2x÷1.2=3.6÷1.2
x=3
解：x÷=10÷
x=24
解：2x-=
2x÷2=÷2
x=
【考点评析】综合应用等式的性质解方程；列方程解关于分数问题；列方程解关于百分数问题
高频考点04：列方程解应用题
【典例精讲04】（2025五上·潮南期末）陈大爷是一位饲养专业户，它养的鸡和鸭一共有817 只，已知养鸡的只数比养鸭的只数的3.2倍多17，养的鸡和鸭各有多少只 (列方程解答)。
【思路点拨】假设养的鸭有x只，由养鸡的只数比养鸭的只数的3.2倍多17得出鸡有3.2x+17只，根据养的鸡和鸭一共有817 只，建立方程x+3.2x+17=817，解方程得出x的值即为鸭的只数，再将x的值代入3.2x+17得出鸡的只数。
【标准答案】解：设养的鸭有x只，鸡有3.2x+17只
x+3.2x+17=817
3.2x+x=817-17
4.2x=800
x≈190
3.2x+17
≈3.2×190.5+17
≈610+17
=627（只）
答：养的鸡和鸭各有627只、190只。
【考点评析】列方程解含有一个未知数的应用题
【举一反三10】（2024五上·越秀期末）某市 2023 年国庆假期， 旅游收入达 6.9 亿元， 比上一年同期收入的 3 倍还多 0.3 亿元。上一年该市国庆假期的旅游收入是多少亿元？（列方程解答）
【思路点拨】设上一年该市国庆假期的旅游收入是x亿元。依据上一年该市国庆假期的旅游收入金额×3＋多的钱数=2023年的旅游收入金额，列方程，解方程。
【标准答案】解：设上一年该市国庆假期的旅游收入是x亿元。
3x＋0.3=6.9
3x=6.6
x=6.6÷3
x=2.2
答：上一年该市国庆假期的旅游收入是2.2亿元。
【考点评析】列方程解含有一个未知数的应用题
【举一反三11】 某班女生人数比男生人数的 多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，那么男、女生人数恰好相等。这个班男生和女生原来各有多少人？
【思路点拨】设这个班男生有x人，则女生有 人，再根据男女生增减后人数相等列方程，解方程即可得到男女生的人数。
【标准答案】解：设这个班男生有x人，则女生有 人。
x=33
【考点评析】列方程解含有一个未知数的应用题
【举一反三12】某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为多少？
【思路点拨】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解 。
【标准答案】解；设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y：z。
ax+2ay+2az=ax（1-20%）+2ay（1+15%）+2az（1+15%）
0.2x=0.3（y+z）
（y+z）：x=2：3
答： 该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为 2：3。
【考点评析】含百分数的计算；列方程解含有多个未知数的应用题
高频考点05：列方程解相遇问题
【典例精讲05】 先根据线段图把等量关系补充完整，再列出方程。
小雪和小宇同时从家出发，x分钟后在图书馆相遇。
等量关系：　 　+　 　=总路程
方程：　 　
【思路点拨】首先需要理解小雪和小宇如何从家出发，在x分钟后在图书馆相遇。这里的关键是等量关系，即小雪走的路程加上小宇走的路程等于他们从家到图书馆的总路程。
【标准答案】小宇走的路程；小雪走的路程；65x+60x=2250
【考点评析】列方程解相遇问题
【举一反三13】小华和小军两人计划骑自行车同时从相距86 km的两地出发，相向而行。小华每小时行12km，小军每小时行 10km，由于小华的自行车出现故障，因此他停下来修车用了2个小时，然后继续骑行，两人出发几小时后相遇？(用方程解答)
【思路点拨】设两人出发x 小时后相遇。此题关键是小华停下来修车用了2小时，即小华应行了(x-2)小时，等量关系为小华的速度×(相遇时间-2)+小军的速度×相遇时间=总路程，根据等量关系列方程解答。
【标准答案】解：设两人出发x 小时后相遇。
12×(x-2)+10x=86
x=5
答： 两人出发5小时后相遇。
【考点评析】综合应用等式的性质解方程；列方程解相遇问题
【举一反三14】小明、小刚两人沿着 600 m的环湖路跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。小明的速度是290米/分，小刚的速度是250 米/分。经过多少分钟小明第一次追上小刚？
【思路点拨】小明第一次追上小刚，则两人的路程差正好是环湖路的一周600米，小明
设经过x分钟第一次追上小刚，根据等量关系式：小明行走的路程-小刚行走的路程=600
米，列出方程并解方程。
【标准答案】解：设经过x分钟小明第一次追上小刚。
290x-250x=600
40x=600
40x÷40=600÷40
x=15
答：经过15分钟小明第一次追上小刚。
【考点评析】综合应用等式的性质解方程；列方程解相遇问题
【举一反三15】如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？
【思路点拨】设甲在相遇时跑了x米，则相遇后到跑回A点用了分钟，乙跑了（490-x）米，从A点到相遇点甲用了分钟，乙用了分钟，甲跑完50米用了分钟，乙跑完50米用了分钟。
【标准答案】解：设甲在相遇时跑了x米
，
解得x=245；
，
11÷（125%+120%）×125%=2690（米）
答：当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了2690米。
【考点评析】列方程解含有一个未知数的应用题；列方程解相遇问题
04 因数与倍数 真题演练
1．（2025五上·潮南期末）下面说法中正确的是 (　　)。
A．无限小数一定大于有限小数
B．平行四边形的面积一定大于三角形的面积
C．含有未知数的等式就是方程
D．解方程也就方程的解
2．（2024五上·汉寿期末）小马虎把4x＋0.5错写成了4（x＋0.5），结果比原来（　　）。
A．多0.5 B．多4 C．多2 D．多1.5
3．（2024五上·汉寿期末）a2（　　）2a。
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
4．（2025·成都期末）一根绳子剪去全长的 ，还剩下6m。这根绳子原来长多少米？设这根绳子原来长 xm，正确的方程是(　　)。
A．B． C．D．
5．（2024五上·期末）某天作业，老师布置了一道题：甲、乙两艘船同时从 A海港出发，沿同一条航线航行，甲船速度是乙船的1.5倍。经过3 小时，两船相距54 km。求乙船每小时行多少千米。
解：设乙船每小时行xkm。 (1.5x+x)×3=54 2.5x×3=54 2.5x=18 x=7.2 答：乙船每小时行 7.2 km。 不对，请再仔细想一想!
小马虎没有做对这道题(如图)，以下出错的原因，分析比较合理的是(　　)。
A．他的小数乘除法计算不过关，因此做错了
B．他若设“甲船每小时行 xkm”，所列的方程就对了
C．他误以为这是“两船的相遇问题”，列方程的等量关系错了
D．他思路是对的，只是列方程时多写了一个括号，去掉括号方程就对了
6．（2023五上·越秀期末）在 和 问个式子当中， 属于方程的有( ) 个。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023五上·天河期末）小南玩投掷塑料飞镖游戏，投了两次，一共获得60分。第一次投中区域P，第二次投中区域Q，投中区域Q的得分是投中区域P的得分的3倍。投中区域P得多少分？设投中区域P得x分，依题意列方程，正确的是（　　）
A．3x+x＝60 B．3x＝60 C．60﹣3x＝x D．3x+2x＝60
8．（2023五上·增城期末）下列选项中的问题能用“2x+6”来表示的是（　　）
A．求平行四边形的周长
B．求线段总长度
C．求梯形的面积
D．竹筐里桃子有x个，桃子比橘子多6个，桃子和橘子一共多少个？
二、填空题
9．（2020五上·德城期末）如果3 +4=25，那么4 +3=　 　。
10．（2025五上·潮南期末）张斌买了4支钢笔和6本笔记本共花了68.8元，王勇买了同样的5支钢笔和3本笔记本共花了59.9元。每支钢笔　 　元，每本笔记本　 　元
11．（2024·期末）据了解，火车票价是按“全程票价×”的方法确定的。已知A站总里程数与H站之间的总里程数是1500km，全程票价为600元。下图是沿途各站之间的里程数：
张叔叔要从D站上车，F站下车，票价应该是　 　元；李阿姨从B站上车，票价为240元，她的目的地是　 　站。
12．（2024五上·期末）如图，把一些长 3c m、宽 2 cm的纸片按如图摆在桌子上，每增加1张纸片，盖住桌面的面积增加　 　cm2，n张纸片盖住桌面的面积是　 　cm2。
三、计算题
13．（2025五上·潮南期末）解方程。
⑴4.8x-6.24=3.6 ⑵3.5(x+1.8)=11.9
14．（2024五上·天台期末）根据图文信息列方程解答。
（1）
（2）
四、解决问题
15．（2024五上·潮阳）王老师买了一个大容量的U盘，总容量是256G。使用一年后，他发现“未用空间”是“已用空间”的2.2倍。这个U盘已用了多少G (列方程解答)
16．（2025·龙泉驿期末）科幻片中，要在地球赤道附近修建两条轨道(如图所示)。1号轨道贴近赤道地面，整体呈圆形；2号轨道始终与1号轨道保持1m 的距离；且2号轨道、1号轨道与赤道所在地球截面在同一平面。为此他们展开了“2号轨道比1号轨道长多少米”的讨论。你认为谁说得对？ 请说明理由。如果无法判断，那么请写出你遇到了什么困难。
淘气说：“只长了不到10 m。” 笑笑说：“可能要长几百米。” 奇思说：“可能要长几千米。” 机灵狗：“你们说得都不对！ 赤道那么长，可能要长1万米以上。”
17．（2023五上·花都期末）2023年9月23日至2023年10月8日，浙江杭州举办了一场盛大的体育盛宴——第十九届亚运会，简称“杭州亚运会”。中国运动员用优异的运动成绩和良好的精神风貌，在团结协作、顽强拼搏、永不言弃等方面生动诠释了中华体育精神。在奖牌榜上，中国体育代表团的金牌数、银牌数、奖牌总数都位列第一名。已知中国队共获383枚奖牌，比金牌数的2倍少19枚，中国队获得多少枚金牌？（用方程解答）
18．（2023五上·南岸期末）太阳系的八大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周是多少天？
19．（2023五上·东区期末）甲、乙两地相距450千米，客货两车同时从甲乙两地相对开出，4.5小时后两车相遇，其中客车速度是货车速度的1.5倍，客货两车的速度分别是多少？（列方程解）
20．（2023五上·越秀期末）科学研究认为，人的睡眠分为浅度睡眠和深度睡眠两种方式。正常人的夜间睡眠以浅度睡眠为主， 时间大约是深睡眠的 2.5 倍。若以成年人夜间睡眠 7 小时来计算，深度睡眠有多少小时？（列方程解答）
答案解析部分
1．C
【解析】解：A：无限小数不一定大于有限小数，例如0.5大于0.4999……
B：平行四边形的面积不一定大于三角形的面积，两者面积大小取决于底和高的长度
C：方程的定义：含有未知数的等式
D：解方程是指找到方程的解的过程，而方程的解是指满足方程的未知数的值
故答案为：C。
考查方程的定义，即方程的定义是指含有未知数的等式。
2．D
【解析】解：4（x＋0.5）
＝4x＋4×0.5
＝4x＋2
4x＋2比4x＋0.5多1.5。
故答案为：D。
应用乘法分配律计算4（x＋0.5）时，4分别与括号里面的数相乘，再把所得的积相加，最后与4x＋0.5比较大小。
3．D
【解析】解：当a＝0时，a2＝02＝0，2a＝2×0＝0，0＝0，则a2＝2a；
当a＝1时，a2＝12＝1，2a＝2×1＝2，1＜2，则a2＜2a；
当a＝2时，a2＝22＝4，2a＝2×2＝4，4＝4，则a2＝2a；
当a＝3时，a2＝32＝9，2a＝2×3＝6，9＞6，则a2＞2a；
所以，无法确定a2与2a的大小。
故答案为：D。
分别假设a＝0、1、2、3，分别代入两个式子中，分别计算出结果后再比较大小。
4．B
【解析】解：设这根绳子原来长 xm，则用去的是x，
x-x=6
故答案为：B。
把绳子的原长看作单位“1”，剪去全长的，剩下的长度是6m，用这根绳子原来的长减去用去的长度等于剩下的长度，列方程即可。
5．C
【解析】解：设乙船每小时行x km，则甲船每小时行1.5x km
即：
解得：
故答案为：C
设乙船每小时行x km，则甲船每小时行1.5x km。根据题目，经过3小时，两船相距54 km。因此，正确的等量关系应该是：甲船3小时航行的距离减去乙船3小时航行的距离等于54 km。
6．B
【解析】解：16÷y=8、2x＋y=30是方程，有2个。
故答案为：B。
含有未知数的等式叫做方程，方程一定是等式，等式不一定是方程。
7．A
【解析】解：投中区域p得x分，则投中区域Q得3x分，根据一共得60分列方程为3x+x=60。
故答案为：A。
根据“投中区域Q的得分是投中区域P的得分的3倍”设出未知数，根据“一共获得60分”列出方程即可。
8．C
【解析】解：A：周长是（2x+12）；
B：总长度是（x+8）；
C：梯形面积是（x+6+x）×2÷2=2x+6；
D：x-6+x=2x-6。
故答案为：C。
A：把平行四边形相邻两条边的长度相加再乘2即可表示出周长；
B：把三条线段长度相加表示出总长度；
C：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，根据公式表示面积；
D：用桃子个数减去6表示出橘子个数，然后把桃子和橘子个数相加表示出总数。
9．31
【解析】3x+4=25
解：3x+4-4=25-4
3x=21
3x÷3=21÷3
x=7
将x=7代入式子，
4x+3
=4×7+3
=28+3
=31
故答案为：31.
根据题意可知，利用等式的性质先求出未知数x的值，然后把x的值代入式子中即可解答.
10．8.5；5.8
【解析】解：设每支钢笔x元，笔记本y元
4x+6y=68.8①
5x+3y=59.9②
②×2-①得6x=51
x=8.5③
将③代入①得4×8.5+6y=68.8
34+6y=68.8
6y=34.8
y=5.8
故答案为：8.5，5.8。
分析题干，假设每支钢笔x元，笔记本y元，由题干可得4x+6y=68.8①，5x+3y=59.9②，联立两个方程解出x和y的值即可。
11．200；E
【解析】解：（1）根据题意，可知
火车票价=
=
=
=200（元）
答：票价应该是200元
（2）设李阿姨目的地的里程为xkm，根据题意，可得
解得，x=900
即李阿姨的目的地是在E站下车；
故答案为：200；E
（1）先计算D点到F点之间的里程，然后再根据“火车票价=全程票价×”进行运算即可
（2）设李阿姨目的地的里程为xkm，根据“火车票价=全程票价×”列出方程：，然后解方程即可
12．2；4+2n
【解析】解：
增加了：(3-2)×2=2(cm2）
n张：
故答案为：2，4+2n
由题图可知，纸片的面积为 每增加一张纸片增加((3-2)×2=2(cm2)，即每增加1张纸片，盖住桌面的面积增加2cm2。n张纸片盖住桌面的面积是
13．解：⑴4.8x-6.24=3.6
4.8x=9.84
x=2.05
⑵3.5(x+1.8)=11.9
3.5x+3.5×1.8=11.9
3.5x=11.9-6.3
3.5x=5.6
x=1.6
【解析】（1）首先根据等式的性质1：等号两边同时加或减去一个相同的数等号不变，将等号两边同时加上6.24，得到 4.8x=9.84 ，再根据等式的性质2：等号两边同时乘或除以不为0的数等号不变，将等号两边同时除以4.8，即可得到x的值；
（2）首先将等号两边乘开去掉括号，再根据等式的性质1：等号两边同时加或减去一个相同的数等号不变，将等号两边同时减去3.5×1.8，计算后得到3.5x=5.6，再根据等式的性质2：等号两边同时乘或除以不为0的数等号不变，将等号两边同时除以3.5， 即可得到x的值。
14．（1）解：（68＋x）×3.5=455
68＋x=130
x=130-68
x=62
答：乙车的速度是62千米/时。
（2）解：2x=100-8
2x=92
x=92÷2
x=46
答：《西游记》的单价是46元。
【解析】（1）依据等量关系式：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间=总路程，列方程，解方程；
（2）依据等量关系式：《西游记》的单价×数量=付出的钱-找回的钱，列方程，解方程。
15．解：设“已用空间”是xG，则“未用空间”是（2.2x）G。
x+2.2x=256
3.2x=256
x=256÷3.2
x=80
答：这个U盘已用了80G。
【解析】设“已用空间”是xG，则“未用空间”是（2.2x）G。等量关系：已用空间+未用空间=总容量，根据等量关系列出方程解答即可。
16．解：淘气说得对。
理由：设地球的半径为r，即1号轨道的半径为r，则2号轨道的半径为(r+1)。
C1号=2πr
C2号=2π（r+1）=2πr+2π
C2号-C1号=2πr+2π-2πr=2π=6.28(m)
6.28<10，所以淘气说得对。
【解析】设地球半径为r，分别用含r的代数式表示出2号轨道和1号轨道的长度，进行做差，根据结果判断谁的结论是正确的。
17．解：设中国队获得x枚金牌。
2x﹣19＝383
2x＝402
x＝201
答：中国队获得201枚金牌。
【解析】等量关系：金牌数×2-19枚=获得的奖牌数，先设出未知数，然后根据等量关系列出方程解答即可。
18．解：设水星绕太阳一周是x天。
4x+13＝365
4x＝365﹣13
4x＝352
x＝352÷4
x＝88
答：水星绕太阳一周是88天。
【解析】等量关系：水星绕太阳一周的时间×4倍+13天=地球绕太阳一周的时间，据此等量关系列方程，根据等式性质解方程。
19．解：设货车速度为v，则客车速度为1.5v
（v+1.5v）×4.5=450
2.5v=100
v=40
1.5×40=60（千米/小时）
答： 客货两车的速度分别是40千米/小时、60千米/小时。
【解析】分析题目，首先设货车速度为v，客车速度为1.5v，两车同时从甲乙两地相对开出，4.5小时相遇，相遇时两车行驶路程和即为甲乙两地距离，据此建立方程（v+1.5v）×4.5=450，进而根据等式的性质解方程得到v，即火车的速度，再乘以1.5即可得到客车的速度。
20．解：设深度睡眠有x小时。
x＋2.5x=7
3.5x=7
x=7÷3.5
x=2
答：深度睡眠有2小时。
【解析】设深度睡眠有x小时。依据深度睡眠时间＋浅度睡眠的时间=成年人夜间睡眠总时间，列方程，解方程。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题06 式与方程
知识点一：用字母表示数
1.从特殊的、具体的、明确的数到一般的、抽象的、不确定的字母或含有字母的式子。
知识点二：方程的意义
1.含义:含有未知数的等式叫做方程。
2.关系:方程都是等式,但等式不一定是方程。
知识点三：解方程
1.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值。
2.解方程:求方程的解的过程。
3.简易方程的解法:根据四则运算中各部分之间的关系来求方程的解;根据等式的基本性质求方程的解。
知识点四：列方程解决问题
1.列方程解应用题就是用字母表示应用题中的未知数,根据等量关系列出方程,再解所列方程,得到答案:
2.找等量关系的方法:
(1)以一般数量关系为等量关系式;
(2)以公式为等量关系式;
(3)以典型“关系句”为等量关系式;
(4)按“事情的发展”为等量关系式。
3.列方程解应用题的一般步骤:
(1)弄清题意,找出未知数并用字母表示
(2)找出应用题中数量间的相等关系，列方程
(3)解方程,求出未知数的值;
(4)检验或验算,写出答案。
高频考点01：用字母表示数
【典例精讲01】三个连续自然数，已知中间一个数是m，那么前一个数是　 　，后一个数是　 　，三数之和是　 　。
【思路点拨】三个连续自然数，已知中间一个数是m，那么前一个数是m-1，后一个数是m+1，三数之和是3m。
【标准答案】m-1；m+1；3m
【考点评析】用字母表示数
【举一反三01】淘气今年a岁，爸爸比他大26岁，爸爸今年　 　岁．妈妈的年龄是淘气的3倍，妈妈今年　 　岁．
【举一反三02】（2025五上·和平期末）甲数是a， 比乙数多1.8， 乙数是　 　，甲乙两数的和是　 　。
【举一反三03】（2024五上·汉寿期末）五年级学生订阅《小学生数学》380份，比四年级学生多订a份，则380－a表示　 　，380＋380－a表示　 　。
高频考点02：方程与等式的认识
【典例精讲02】下列各式中，哪些是方程？ 哪些是等式？(填序号)
①a+b=b+8 ②10-3=x
③6+9=15 ④2x+7=x+12
⑤7-x<6 ⑥x=12
⑦2a+4=7 ⑧6x+5
⑨15÷3x ⑩5÷(2x-1)=1
方程：　 　。
等式：　 　。
【思路点拨】含有等号的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。
【标准答案】①②④⑥⑦⑩；①②③④⑥⑦⑩
【考点评析】等式的认识及等量关系；方程的认识及列简易方程；等式的性质
【举一反三04】如果x=y，那么根据等式的性质填一填。
x+5=y+　 　 x÷10=y÷　 　
x-　 　=y-c x×　 　=y×a
【举一反三05】 在 里填运算符号，在括号里填数。
（1）x+80=175
x+80-80=175 (　　)
x+80+10=175 (　　)
（2）x÷60=300
x÷60×60=300 (　　)
【举一反三06】如果☆=5★，△=▲÷2，那么横线上应填什么？
（1）☆+6=5★+　 　 2☆=★×　 　
（2）△×　 　=▲ ▲+▲=△×　 　
高频考点03：解方程
【典例精讲03】如果x=5是方程 mx+20=35的解，那么m=　 　。
【思路点拨】将5 代入方程，方程为5m+20=35，解得：m = 3
【标准答案】3
【考点评析】综合应用等式的性质解方程
【举一反三07】在(40-2x)÷4中，当x=　 　时，结果是0；当x=　 　时，结果是1。
【举一反三08】 根据等式的性质，在圆圈里填运算符号，在方框里填数。
（1）12-x=2.8
解：12-x+□=2.8 □
2.8+x=12
2.8+x-2.8=12 □
x=□
（2）6.3÷x=0.7
解：6.3÷x x=0.7 □
0.7×x=6.3
0.7x □=6.3 □
x=□
【举一反三09】（2025六上·光明期末） 解方程。
x+20%x=3.6
高频考点04：列方程解应用题
【典例精讲04】（2025五上·潮南期末）陈大爷是一位饲养专业户，它养的鸡和鸭一共有817 只，已知养鸡的只数比养鸭的只数的3.2倍多17，养的鸡和鸭各有多少只 (列方程解答)。
【思路点拨】假设养的鸭有x只，由养鸡的只数比养鸭的只数的3.2倍多17得出鸡有3.2x+17只，根据养的鸡和鸭一共有817 只，建立方程x+3.2x+17=817，解方程得出x的值即为鸭的只数，再将x的值代入3.2x+17得出鸡的只数。
【标准答案】解：设养的鸭有x只，鸡有3.2x+17只
x+3.2x+17=817
3.2x+x=817-17
4.2x=800
x≈190
3.2x+17
≈3.2×190.5+17
≈610+17
=627（只）
答：养的鸡和鸭各有627只、190只。
【考点评析】列方程解含有一个未知数的应用题
【举一反三10】（2024五上·越秀期末）某市 2023 年国庆假期， 旅游收入达 6.9 亿元， 比上一年同期收入的 3 倍还多 0.3 亿元。上一年该市国庆假期的旅游收入是多少亿元？（列方程解答）
【举一反三11】 某班女生人数比男生人数的 多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，那么男、女生人数恰好相等。这个班男生和女生原来各有多少人？
【举一反三12】某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为多少？
高频考点05：列方程解相遇问题
【典例精讲05】 先根据线段图把等量关系补充完整，再列出方程。
小雪和小宇同时从家出发，x分钟后在图书馆相遇。
等量关系：　 　+　 　=总路程
方程：　 　
【思路点拨】首先需要理解小雪和小宇如何从家出发，在x分钟后在图书馆相遇。这里的关键是等量关系，即小雪走的路程加上小宇走的路程等于他们从家到图书馆的总路程。
【标准答案】小宇走的路程；小雪走的路程；65x+60x=2250
【考点评析】列方程解相遇问题
【举一反三13】小华和小军两人计划骑自行车同时从相距86 km的两地出发，相向而行。小华每小时行12km，小军每小时行 10km，由于小华的自行车出现故障，因此他停下来修车用了2个小时，然后继续骑行，两人出发几小时后相遇？(用方程解答)
【举一反三14】小明、小刚两人沿着 600 m的环湖路跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。小明的速度是290米/分，小刚的速度是250 米/分。经过多少分钟小明第一次追上小刚？
【举一反三15】如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？
04 因数与倍数 真题演练
1．（2025五上·潮南期末）下面说法中正确的是 (　　)。
A．无限小数一定大于有限小数
B．平行四边形的面积一定大于三角形的面积
C．含有未知数的等式就是方程
D．解方程也就方程的解
2．（2024五上·汉寿期末）小马虎把4x＋0.5错写成了4（x＋0.5），结果比原来（　　）。
A．多0.5 B．多4 C．多2 D．多1.5
3．（2024五上·汉寿期末）a2（　　）2a。
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
4．（2025·成都期末）一根绳子剪去全长的 ，还剩下6m。这根绳子原来长多少米？设这根绳子原来长 xm，正确的方程是(　　)。
A．B． C．D．
5．（2024五上·期末）某天作业，老师布置了一道题：甲、乙两艘船同时从 A海港出发，沿同一条航线航行，甲船速度是乙船的1.5倍。经过3 小时，两船相距54 km。求乙船每小时行多少千米。
解：设乙船每小时行xkm。 (1.5x+x)×3=54 2.5x×3=54 2.5x=18 x=7.2 答：乙船每小时行 7.2 km。 不对，请再仔细想一想!
小马虎没有做对这道题(如图)，以下出错的原因，分析比较合理的是(　　)。
A．他的小数乘除法计算不过关，因此做错了
B．他若设“甲船每小时行 xkm”，所列的方程就对了
C．他误以为这是“两船的相遇问题”，列方程的等量关系错了
D．他思路是对的，只是列方程时多写了一个括号，去掉括号方程就对了
6．（2023五上·越秀期末）在 和 问个式子当中， 属于方程的有( ) 个。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023五上·天河期末）小南玩投掷塑料飞镖游戏，投了两次，一共获得60分。第一次投中区域P，第二次投中区域Q，投中区域Q的得分是投中区域P的得分的3倍。投中区域P得多少分？设投中区域P得x分，依题意列方程，正确的是（　　）
A．3x+x＝60 B．3x＝60 C．60﹣3x＝x D．3x+2x＝60
8．（2023五上·增城期末）下列选项中的问题能用“2x+6”来表示的是（　　）
A．求平行四边形的周长
B．求线段总长度
C．求梯形的面积
D．竹筐里桃子有x个，桃子比橘子多6个，桃子和橘子一共多少个？
二、填空题
9．（2020五上·德城期末）如果3 +4=25，那么4 +3=　 　。
10．（2025五上·潮南期末）张斌买了4支钢笔和6本笔记本共花了68.8元，王勇买了同样的5支钢笔和3本笔记本共花了59.9元。每支钢笔　 　元，每本笔记本　 　元
11．（2024·期末）据了解，火车票价是按“全程票价×”的方法确定的。已知A站总里程数与H站之间的总里程数是1500km，全程票价为600元。下图是沿途各站之间的里程数：
张叔叔要从D站上车，F站下车，票价应该是　 　元；李阿姨从B站上车，票价为240元，她的目的地是　 　站。
12．（2024五上·期末）如图，把一些长 3c m、宽 2 cm的纸片按如图摆在桌子上，每增加1张纸片，盖住桌面的面积增加　 　cm2，n张纸片盖住桌面的面积是　 　cm2。
三、计算题
13．（2025五上·潮南期末）解方程。
⑴4.8x-6.24=3.6 ⑵3.5(x+1.8)=11.9
14．（2024五上·天台期末）根据图文信息列方程解答。
（1）
（2）
四、解决问题
15．（2024五上·潮阳）王老师买了一个大容量的U盘，总容量是256G。使用一年后，他发现“未用空间”是“已用空间”的2.2倍。这个U盘已用了多少G (列方程解答)
16．（2025·龙泉驿期末）科幻片中，要在地球赤道附近修建两条轨道(如图所示)。1号轨道贴近赤道地面，整体呈圆形；2号轨道始终与1号轨道保持1m 的距离；且2号轨道、1号轨道与赤道所在地球截面在同一平面。为此他们展开了“2号轨道比1号轨道长多少米”的讨论。你认为谁说得对？ 请说明理由。如果无法判断，那么请写出你遇到了什么困难。
淘气说：“只长了不到10 m。” 笑笑说：“可能要长几百米。” 奇思说：“可能要长几千米。” 机灵狗：“你们说得都不对！ 赤道那么长，可能要长1万米以上。”
17．（2023五上·花都期末）2023年9月23日至2023年10月8日，浙江杭州举办了一场盛大的体育盛宴——第十九届亚运会，简称“杭州亚运会”。中国运动员用优异的运动成绩和良好的精神风貌，在团结协作、顽强拼搏、永不言弃等方面生动诠释了中华体育精神。在奖牌榜上，中国体育代表团的金牌数、银牌数、奖牌总数都位列第一名。已知中国队共获383枚奖牌，比金牌数的2倍少19枚，中国队获得多少枚金牌？（用方程解答）
18．（2023五上·南岸期末）太阳系的八大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周是多少天？
19．（2023五上·东区期末）甲、乙两地相距450千米，客货两车同时从甲乙两地相对开出，4.5小时后两车相遇，其中客车速度是货车速度的1.5倍，客货两车的速度分别是多少？（列方程解）
20．（2023五上·越秀期末）科学研究认为，人的睡眠分为浅度睡眠和深度睡眠两种方式。正常人的夜间睡眠以浅度睡眠为主， 时间大约是深睡眠的 2.5 倍。若以成年人夜间睡眠 7 小时来计算，深度睡眠有多少小时？（列方程解答）
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