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2024-2025学年七年级数学下册5月份月考试卷（第5~8章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（ ）
A． B． C． D．15
2．已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（ ）种
A．3 B．7 C．10 D．12
4．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （ ）
A．28 B．32 C．30 D．29
6．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　）
A． B．5 C． D．5或
10．如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为 ．
12．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为．
13．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ．
14．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为 ．
15．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米．
16．如图，，E是线段上一点，F是线段的延长线上一点，的平分线交于点G，交线段的延长线于点I，过点D作于点H．且．下列结论：
①；
②；
③；
④若，则．
正确结论的序号是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，有一根长度为的木条，从两端各截取长度为的木条．
(1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求的值；
(2)若得到的三根木条能组成三角形，写出的取值范围．
18．（6分）某超市销售，两种型号的篮球，已知采购3个型篮球和2个型篮球需要220元，采购1个型篮球和4个型篮球需要290元．
(1)该超市采购1个型篮球和1个型篮球分别需要多少元？
(2)若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购型篮球多少个？
(3)在（2）的条件下，若该超市以每个型篮球58元和每个型篮球98元的价格销售完采购的篮球，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
19．（8分）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”．
(1)若，在，，中，的“3系数补角”是______；
(2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小．
20．（8分）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式．
请根据定义完成下列问题：
(1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组；
(2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　；
(3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围．
21．（10分）计算：如图1，已知，，求的度数．
归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明．
应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________．
拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设
①试说明与的数量关系；
②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）．
22．（10分）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．

(1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值，
①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____．
②请猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____．
(3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示）
23．（12分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
24．（12分）如图，直线，直线交于点，交于点，是直线上的动点（不与重合），以为直角顶点作直角三角形，且，点在直线右侧，记．
(1)当点在点右侧时，若，求的度数；
(2)在点运动过程中，若射线、、满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求的度数；
(3)已知的平分线和的平分线交于点，当点在运动过程中，且满足点在直线和之间，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可．
本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．A
【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解．
【详解】解：，，
，，
，
、、都为正数，
∴，
，
，
．
故选：A．
3．B
【分析】需要分类讨论：若购买A、B两种商品分别为x、y件；若购买A、C两种商品分别为a、b件；若购买B、C两种商品分别为m、n件；列出方程求其正整数解即可.
【详解】解：①若购买A、B两种商品分别为x、y件，
根据题意得：，
∵x、y都是正整数，
∴；
②若购买A、C两种商品分别为a、b件，
根据题意得：，
∵a、b都是正整数，
∴或；
③若购买B、C两种商品分别为m、n件，
根据题意得：，
∵m、n都是正整数，
∴或或或；
综上，小明的购买方案有7种；
故选：B.
4．A
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得．
本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有4个整数解，
，
解得：．
故选：A．
5．C
【分析】根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，来计算．设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，根据BE=4EC，D为AB中点，找到相关等量关系，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可求解．
【详解】设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，
∵BE=4EC，
∴根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，
有：，，
∴，
∵D为AB中点，
∴，，
∵，，
∴，即，
∵四边形BEFD面积为14，
∴，
∴，解得，
∵△ABC的面积为，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．
【详解】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则根据题意，得
解得：．
∵n为正整数，
∴必为180的倍数，
又∵，
∴．
解法2：∵．
∴，即．
又∵，
∴，
解之得．
∵边数n为正整数，
∴．
故选A．
7．A
【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解．
【详解】解：由得：，
∵不等式的解集是，
且
设
则
∴的解集是，
即，
故选：A．
8．A
【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．
【详解】解：将变形为,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：，
因为方程组的解是，
所以，解得：，
所以方程组的解是，
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为 可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键．
【详解】解：根据题意得：,解得：,
又横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为，
横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为，
,
在”幻圆”中填上部分数，如图所示：
可以为或，
当时，，
当时，，
的值为或，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，设交于点，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得，，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的序号是①②③④，
故选：．
二．填空题
11．或或
【分析】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式组，解题的基本思路是设，解一元一次方程，用含n的式子表示x，再根据新定义，确定x的取值范围，进一步确定的取值范围，进而求解．
【详解】令(n为整数)，则原方程为．
．
∵表示不超过x的最大整数
，
，
解得，
或或，
分别将n的值代入，
或或．
故答案为：或或．
12．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可．
【详解】解：解方程组，
得，
因为为负数，为非正数，
所以，
解得，
因为，
所以．
要使不等式的解集为，
必须，
解得．
又因为3，且为整数，
所以．
故答案为：．
13．3或13
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分，和三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解．
【详解】解：分以下三种情况：
①当，
解得，
，，
三角形的三边分别为8、8、13，，
∴此时能组成三角形；
∴底边长为13；
②，
解得，
，
三角形的三边分别为13、13、3，，
∴此时能组成三角形，底边为3；
③，
解得，
综上所述，该三角形的底边等于3或13．
故答案为：3或13
14．
【分析】本题考查了正多边形的内角计算，角的平分线的计算，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键；
先计算正多边形的内角，再根据角平分线的定义计算即可．
【详解】∵正五边形的内角为，正六边形的内角为，
、分别平分正八边形与正六边形的内角，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案．
【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为，
∴边数为：，
∴无人机飞行的总路程是：（米），
故答案为：．
16．①②③
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
根据平行线的性质及三角形外角的性质，垂直的定义，角平分线的定义对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
故①结论正确；
如图，延长交于点，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴②结论正确；
∵ ，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴③结论正确；
若，则，
∵是的外角，
∴，
而与不一定相等，
∴不一定成立，
∴④不正确；
综上所述，正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题
17．（1）解：根据题意可知：组成等边三角形的三条边分别为、、．
等边三角形的三条边相等．
．
解得：．
即的值为．
（2）根据题意可知：组成三角形的三根木条长度分别为、、．
三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．
．
①当，即时．
则，
解得：．
．
②当，即时．
则，
解得：．
．
综上所述：．
18．（1）解：设该超市采购1个型篮球需要元，1个型篮球需要元．
根据题意，得
解得
答：该超市采购1个型篮球需要30元，1个型篮球需要65元．
（2）设采购型篮球个，则采购型篮球个．
根据题意，得，
解得，所以的最大值为30．
答：最多可采购型篮球30个．
（3）根据题意，得，
解得．
因为，且为正整数，所以可取28，29，30，
所以能实现利润不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案．
方案1：采购型篮球22个，型篮球28个；
方案2：采购型篮球21个，型篮球29个；
方案3：采购型篮球20个，型篮球30个．
19．（1）解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是；
故答案为：
（2）解：设，，
如图，设与相交于点H，

∵，，
∴，
∵，
∴，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
∴，
联立①②得，
，
解得，
即是；
如图，当在之间时，过作，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，
，
解得，
∴；
如图，当在的下方时，
同理可得：，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，
，
解得：，
综上：是或
20．（1）解：∵当时，则无正整数解，
∴是0阶不等式；
∵
∴
∴．
∴有3个正整数解，为1，2，3．
∴是3阶不等式组．
故答案为：0，3；
（2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式，
∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4，
∴．
故答案为：；
（3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解，
∴
∴，，
∴m为偶数，且，
∴，
∴，
∴可得图如下所示：
∴的取值范围是．
21．解：计算：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
归纳：；
证明：，
．
，，
，，
∴，
∴，
∴；
应用：∵在纸片中剪去，得到四边形．
∴结合归纳可得：，
∵，
∴；
拓展：
①如图，∵，分别平分外角，，
∴，，
∴
，
；
②当时，
，
，
为钝角三角形；
当时，，
为直角三角形；
当时，
，
，
由题意可得，，
，都是锐角．
为锐角三角形．
22．（1）解：①∵是的外角，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
当得，当得；
故答案为：，；
②，理由如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∴，
故答案为：；
（3）如图，延长到G，延长，交于点H，

∴，，
∵平分，平分，
∴平分，平分，
由（1）得，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：；
23．（1）解：①，
整理得：，
解得：；
②，
解得：；
③，
解得：；
，
解不等式可得：，
解不等式可得：，
所以不等式组的解集为：；
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
，
，
根据“相依方程”的含义可得：
，
，
解得：；
（3）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：，，，，，
，
∴，
则，
解得：，而为整数，则或0，
当时，，
∴，
因为，
解得：，
根据“相依方程”的含义可得：，
解可得：，
解可得：，
所以不等式组的解集为：；
当时，，
∴，
综上：．
24．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当平分时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
当平分时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上分析可知：的度数为或．
（3）猜想：或．
证明：当点G在点F左侧时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当点G在点F右侧时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或．

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