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2024-2025学年七年级数学下册期末测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）．
1．如图是运动员冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，，将 ABC绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
B．
C． D．
7．用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形．若，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（ ）
①当时，与相等； ②是原方程组的解；
③无论为何值时，； ④若，，则的最大值为11；
A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．计算： ．
10．已知，则 ．
11．“若则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在位置，若，则 °
13．若，则 ．
14．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则 ．
15．已知不等式组无解，则的取值范围为 ．
16．如图，在 ABC中，，点D、E分别是边上的动点，将 ADE沿着折叠，得到，若，则的度数是 °．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．）
17．计算：
(1)； (2)．
18．解下列方程组：
(1) (2)
（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上；
解不等式组：
20．如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， ABC的顶点都在格点上．
(1)在图①中把 ABC向右平移4格，再向上平移2格得到，画出；
(2)在图②中把 ABC绕点顺时针旋转，得到 A1BC1，画出 A1BC1；
(3)将图②中画出的 A1BC1，绕点顺时针旋转，得到，画出；
(4)填空：图②中AC与的关系为___________．
21．求代数式的值，其中．
22．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
23．为了打造区域中心城市，实现仙桃跨越式发展，我市某路段拓宽工程正按投资计划有序推进．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，市政公司现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：元/台·时） 挖掘土方量（单位：/台 时）
甲型挖掘机 100 60
乙型挖掘机 120 80
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
(2)如果每小时支付的租金不超过元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
24．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
25．【材料阅读】
利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题．
例：若满足，求的值．
解：设，则，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
【初步应用】（1）已知，，则___________；
【问题解决】（2），求；
【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
26．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．

(1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
(2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数．
参考答案
一、选择题．
1．C
【分析】本题考查学生对平移和旋转的认识，知道平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动．旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．然后根据平移与旋转定义判断即可．
【详解】解：列四个图案中，可以通过右图平移得到的是：

故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，由不等式的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A．∵，
∴，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴当时，，当时，，故本选项不符合题意；
C．∵，
∴，故本选项符合题意；
D．∵，
∴，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．A
【详解】试题分析：选项A利用积的乘方运算法则得到，故选项A正确；选项B利用同底数幂的乘法法则计算可得，故选项B错误；选项C利用同底数幂的除法法则计算可得，故选项C错误；选项D利用幂的乘方法则计算可得，故选项D错误．故答案选A.
考点：幂的乘方；积的乘方；同底数幂的乘法； 同底数幂的除法.
4．A
【分析】利用相反数的定义得到y=-x，再把y=-x代入原方程组得关于x、k的方程组，然后解此方程组即可．
【详解】解：把y=-x代入方程组得
解关于x、k的方程组得．
故选A．
5．C
【分析】本题考查的是命题与定理，根据绝对值的性质、实数的大小比较法则判断．
【详解】解：A. 当时，，而，可以说明“若，则”是真命题，故选项A不符合题意；
B. 当时，，故无法说明“若，则”是假命题，故选项B不符合题意；
C.当时，，而，可以说明“若，则”是假命题，故选项C符合题意；
D. 当时，，故无法说明“若，则”是假命题，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】由旋转的性质可得，，，证明是等边三角形，得到，进一步证明，即可判断A；根据大角对大边即可判定B；根据三角形三边的关系即可判断C；根据现有条件无法证明，即可判断D．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
当A，D，E共线时，则，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故A符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D不符合题意；
故选A．
7．C
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，用两种不同的方法，表示出阴影部分的面积，列式求解即可．
【详解】解：由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
阴影部分的面积
∴
故选：C．
8．D
【分析】①当时，则有即可求解；②当，取不同值时解不同，即可求解；③解此方程组得，即可求解；④可求，由，可求，进而可求解．
【详解】解：①当时，则有
，
解得：，
故①错误；
②当，取不同值时解不同；
故②错误；
③解此方程组得，
所以，
故③正确；
④
，
因为，
所以，
解得：，
因为，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故④正确；
故选D．
二、填空题
9．
【分析】该题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆用，熟练掌握性质是解题的关键．根据，再把已知代入计算即可．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：．
11．真
【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可．
【详解】解∶ “若则”的逆命题是∶ 若，则是真命题，
故答案为∶ 真．
12．
【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等及翻折对应角相等．
根据平行线的性质可得，再根据折叠可得，据此即可求得．
【详解】解：由折叠知，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．
【详解】解：∵
∴
．
故答案为：．
14．3
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可．
【详解】解：根据题意可得出：，，
解得：，
∴，
故答案为：3．
15．已知不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】a≤2
【分析】求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案．
【详解】解：不等式组无解，
∴a-1≤1，
解得：a≤2，
故答案为：a≤2．
16．33或123
【分析】本题考查平行线的性质及折叠的性质，三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形分情况讨论是解题关键．
分两种情况讨论，，且点在直线的上方，，且点在直线的下方，根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图1，，且点在直线的上方，设交于点F，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴；
如图2，，且点在直线的下方，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的度数是或，
故答案为：33或123．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）
．
18．（1）解：
解：①代入②，得，解这个方程，得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是；
（2）解：原方程组可以化简为
，得，解得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
19．（1）解：
数轴表示如下：
（2）解：
解①得：，
解②得，
不等式组的解为：．
20．（1）解：如图所示，
即为所求；
（2）解：如图所示，
A1BC1即为所求；
（3）解：如图所示，
即为所求；
（4）平行且相等
因为 ABC绕点顺时针旋转可得到（两次旋转），根据旋转性质，对应线段平行且相等，
所以AC与的关系为平行且相等．
故答案为：平行且相等．
21．解：
，
把代入得：
原式．
22．解：（答案不唯一）已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等），
．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
23．（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台，
，
得，
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用甲型号的挖掘机a台，租用乙型号的挖掘机b台，
，
∴，
解得，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，，
当时，（舍去），
答：有1种租用方案．
24．（1）解：根据题意可得，，
即，
得，即，
把代入①，可得，
可得，
；
（2）解：，解得：，
，解得：，
，
则，
，即．
25．解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设，，
则，
，
∵，
∴，
∴；
（3）由题意得，长方形的长，宽，
则有，
由题意得，
即，
∴，
∴或（舍去）．
∴阴影部分的面积为：，
答：阴影部分的面积为16．
26．（1）的大小不变．
∵直线与直线垂直相交于，
∵、分别是和角的平分线，

（2）如图2，延长、交于点．

∵直线与直线垂直相交于，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴；
（3）∵与的角平分线相交于，
∵、分别是和的角平分线，
在中，有一个角是另一个角的3倍，故有：
①
②（舍去）
③
④（舍去）
或．

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