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2024-2025学年七年级数学下册期末检测卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）．
1．沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意．图1是一沙燕风筝的示意图，在下面的四个图中，能由图1经过平移得到的是（ ）
A． B．C．D．
2．已知，下列不等式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．两个角分别为， B．两个角分别为，
C．两个角分别为， D．两个角分别为，
4．下列各对数是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
5．不等式的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．C．D．
6．小红家离学校1500米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了18分钟，假设小红上坡路的平均速度是2千米/时，下坡路的平均速度是3千米/时，若设小红上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（ ）
A．16 B．15 C．14 D．12
8．如图，在 ABC中，，，点D在边上（如图1），先将沿着翻折，使点A落在点处，交于点E（如图2），再将沿着翻折，点C恰好落在上的点处（如图3），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．计算： ．
10．若，，则 ．
11． ．
12．如图，在 ABC中，，在同一平面内，将 ABC绕点A逆时针旋转到的位置，则 ．
13．已知方程组，则 （用只含的代数式表示）
14．已知不等式组无解，则a的取值范围是 ．
15．命题“如果，那么a与b互为倒数”的逆命题为 命题（填“真”或“假”）．
16．设x为实数，我们用{x}表示不小于x的最小整数，如：{3.2}＝4，{﹣2}＝﹣2.我们可以得出x≤{x}＜x＋1．那么满足{2.5x﹣3}＝4x﹣的x的取值是 ．
17．某品牌护眼仪进价200元，标价320元出售，商店规定可以打折销售，但其利润率不能低于，那么这种商品最多可以打 折．
18．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题（本大题共10小题，共96分．）
19．计算：
(1)； (2)．
20．用适当方法解下列方程组
(1) (2)
21．解不等式（组）
(1)解不等式； (2)解不等式组 ，并把解集表示在数轴上．
22．如图，图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度， ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． 按要求分别在图①、图②、图③中画三角形．
(1)把 ABC向上平移2个单位长度，得到．其中与、与是对应点． 在图①中画出；
(2)在图②中画出，使与 ABC关于直线对称；
(3)在图③中画出，使与 ABC关于线段的中点成中心对称．
23．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G．
(1)根据甲同学的作图及题设，求证：；
(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由．
24．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形，得，即．③
把方程①代入③，得，解得．
把代入①，得，方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代入”法解方程组
(2)已知满足方程组，求的值．
25．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送货件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同．
(1)请你求出他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
(2)端午节来临之际，快递业务激增，该快递员某天送件数比揽件数的2倍少4件，要想获得报酬不少于239元，则该快递员这一天至少揽件多少件？
26．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：．
(1)图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积．
27．【定义】
若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”． 例如：不等式的解都不是不等式 的解， 则 是 的“相斥不等式”．
【应用】
(1)在不等式①，②， ③这三个一元一次不等式中， 是的“相斥不等式”的有 （填序号）；
(2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，同时也是 的“相斥不等式”， 求的取值范围；
(3)若是关于的不等式是非零常数）的“相斥不等式”，求的取值范围．
28．如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．
(1)如图，形中，若，，则 ；
(2)如图，形中，若，，则 ；
(3)如图，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
(4)在（）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
参考答案
一、选择题．
1．D
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．
【详解】根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：
故选：D．
2．C
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：．不等式两边都加上4，不等号的方向不变，即，原变形成立，故此选项不符合题意；
．不等式两边都减去3，不等号的方向不变，即，原变形成立，故此选项不符合题意；
．不等式两边都除以2，不等号的方向不变，即，原变形不成立，故此选项符合题意；
．不等式两边都乘以，不等号的方程改变，即，原变形成立，故此选项不符合题意；
故选：．
3．C
【分析】根据反例证明命题是假命题即举出一个例子使得命题的条件成立，结论不成立即可．
【详解】解：∵命题“两个锐角的和是锐角”的条件是两个锐角，结论是两个锐角的和是锐角，
∴举反例说明此命题是假命题，只需要举例说明两个锐角的和不是锐角即可，
∴只有选项C符合题意，
故选C．
4．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案．
【详解】解：A．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
是二元一次方程的解，选项A符合题意；
B．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
不是二元一次方程的解，选项B不符合题意；
C．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
不是二元一次方程的解，选项C不符合题意；
D．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
不是二元一次方程的解，选项D不符合题意．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查解不等式，不等式解集在数轴上的表示，先解不等式，再在数轴上表示其解集，即可求解．
【详解】解：，
解得：，
把解集在数轴上表示出来，如下图：
故选：A.
6．D
【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间=18；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度=1500，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设小红上坡用了x分钟，下坡用y分钟，根据题意得：
，变形得：，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查翻折后对应角相等，三角形的内角和等于，根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠可得，
∴，
故选B．
二、填空题
9．
【分析】本题考查了零指数幂“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、化简绝对值，熟练掌握零指数幂是解题关键．先计算零指数幂、化简绝对值，再计算减法即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．63
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键；
先把所求式子变形为，再代值计算即可.
【详解】解：∵，，
∴；
故答案为：63.
11．4049
【分析】本题考查了因式分解的运用．直接利用平方差公式分解即可进行简便计算．
【详解】解：
．
故答案为：4049．
12．35
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，再由计算即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可得：，
∴，
故答案为：35．
13．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．消去k，然后再求出结果即可．
【详解】解：，
得：，
整理得：．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题即可得出答案．
【详解】解：不等式组无解，
，
故答案为：．
15．真
【分析】本题考查了命题与定理∶判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．熟练掌握真命题的定义是解题的关键；
根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，然后根据真命题的定义进行判断作答即可．
【详解】解：命题“如果，那么a，b互为倒数”的逆命题为：
如果a，b互为倒数，那么，正确，为真命题，
故答案为：真．
16．或
【分析】根据x≤{x}＜x＋1，列出不等式组，求解，再求出使为整数的x即可得出．
【详解】根据题意得：
，且为整数，
解得：，
∴，
∴可取整数，
即或，
解得：或 ，
故填：或 ．
17．7.5
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这种商品可以打折，根据其利润率不能低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：设这种商品可以打折，
根据题意得：，
解得：，
即这种商品最多可以打7.5折，
故答案为：7.5．
18．②③
【分析】本题考查了平方差公式的应用以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键．
根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确．
【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，
故①错误；
设能被4整除的正整数为（为正整数且），
，令，
将两式相加可得：，即，
解得：，
将代入，解得．
为正整数且，、为正整数，
除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，
故②正确；
假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）．
与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数；
若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是；
被4除余2的正整数都不是“智慧数”．
故③正确；
综上所述，正确的结论是②③．
故答案为：②③．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：
将①代入②得，，
解得③，
将③代入①得，，
原二元一次方程组的解为；
（2）解：
①④得，③，
②得，④，
③④得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
原二元一次方程组的解为．
21．（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴原不等式的解集为：；
（2）解： ，
解①得，，
解②得，，
∴原不等式组的解集为，
解集表示在数轴上如图所示，
22．（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
（3）如图，即为所求，
23．（1）解：，
，
；
（2）解：两边分别平行的两个角相等是假命题，
如图②，，
，．
，
．
即两边分别平行的两个角相等或互补，原命题不是真命题．
24．（1）解：
将方程②变形，得，
即．③
把方程①代入③，得，解得．
把代入①，得，解得，
方程组的解为
（2）
，得，即，
．
25．（1）解：设他每送一件货物和每揽一件货物的报酬各是、元
解得
答：他每送一件货物和每揽一件货物的报酬各是元、2元；．
（2）解：设该快递员这一天揽件a件，则送件件，
∵该快递员某天送件数比揽件数的2倍少4件，要想获得报酬不少于239元，
∴．
解得：．
答：该快递员这一天至少揽件49件．
26．（1）解：大正方形的面积为：，
大正方形是由中间的小正方形和4个全等的三角形组成，面积为：，
所以；
（2）解： ∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
（3）解： ∵，
∴四边形的面积为．
27．（1）解：∵的解都不是的解，
∴是的“相斥不等式”；
∵的解有可能是的解，
∴不是的“相斥不等式”；
∵的解都不是的解，
∴是的“相斥不等式”；
故选①③；
（2）解：解不等式得，
解不等式得，
解不等式得，
根据“相斥不等式”的定义得，
解得：；
（3）解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”，
∴，
解不等式得，
∴，
解得：．
28．（1）过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，设与交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3），
理由：过点作交于点，
∴，
∵，，
∴，
由（）可得，
∵，
∴，
∴；
（4）如图，当，位于两侧时，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
即∠BAM-∠MCD=a+20°；
当，，三点共线时，，
∴；
当，位于同侧时，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
即∠MCD -∠BAM=a-20°，
综上，∠BAM-∠MCD=a+20°或∠MCD -∠BAM=a-20．

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