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七下数学第17周《期末复习1》
【课前热身】
1．若35+35+35＝3a，则a的值为　 　 ．
2．关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝1，且当x＝3时，y＝5．当x＞3时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+n＜kx﹣1总成立，则n的取值范围是 　 　 ．
3．如图，在锐角△ABC中，∠B＝30°，AC＝4，S△ABC＝16，P是边AC上的一动点，点P关于直线AB、BC的对称点分别是D、E，连接DE，则DE的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　）
A．16 B．19 C．20 D．21
5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图是一张锐角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出点D或线段BD：①线段AC的中点D；②BD平分∠ABC；③BD是AC边上的高．以上点D或线段BD能通过折纸折出的是　 　 （填写序号）．
7．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°，E、F分别是AD，BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点G，若△EFG有两个角相等，则∠EFG　 　 °．
8．如图，△ADE由△ABC旋转得到，点B与点D是一对对应点．连接CD，CE，若∠BCD＝∠ACE＝80°，则∠CDE的度数为　 　 ．
9．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F与△ABC其中一边平行时，∠AEF的度数是 　 　 ．
10．我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．
（1）试求12☆3和4☆8的值；
（2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由．
11．（1）若b2＝4（ab﹣a2），证明：b＝2a．
（2）若（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a），证明：b+c＝2a．
12．已知a是一个正整数，且a除以3余1，请说明a2+4a+4能被9整除．
13．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
14．某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果（单位：千克） 乙种水果（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 80 50 2500
第二次 40 70 2420
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了a千克，乙种水果减少了1.2a千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数a的值为 　 　 ．
【典型例题】
1．按要求进行尺规作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）如图1，已知点A、B在直线MN外，在MN上找一点P，使得∠APM＝∠BPM．
（2）如图2，已知∠α，点P为直线AB外一点，在直线AB上求作点C，使得∠PCB＝∠α．
2．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，AB＝AC，　 　 ．
求证：　 　 ．
（2）证明上述命题．
3．已知如图1，MN∥GH，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A在MN上，边BC在GH上，在同一平面内有Rt△DEF，∠DFE＝90°，∠EDF＝40°，边DE在直线AB上，D在E的下方．
（1）若点F在直线AB的右侧，如图2，将Rt△DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，求∠AFE度数；
（2）如图3，若将Rt△DEF沿射线BA的方向平移到△BE′F′的位置，若点B是DE的中点，DE′＝6cm，则平移的距离为 　 　 cm；
（3）将Rt△DEF在直线AB上平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出∠FAN度数．
4．双角平分线模型探究
模型1.如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点P，则∠A与∠P之间有一定的数量关系；
模型2.如图2，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，则∠A与∠P之间有一定的数量关系；
模型3.如图3，在△ABC中，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，则∠A与∠P之间有一定的数量关系；
如图，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，求∠BPC的度数；
【巩固练习】
1．已知M＝x2+x，N＝3x﹣1，则M，N的大小关系是（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
2．已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值是　 　 ．
3．若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 　 　 ．
4．某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最大值是 　 　 ．
5．已知方程组的解是，则方程组的解为 　 　 ．
6．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝6，则m的值为　 　 ．
7．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c“变更方程”为cx+by＝a．
（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 　 　 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝1与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值．
8．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
（1）真命题的个数为 　 　 ；
（2）选择一个真命题写出理由．
参考答案与试题解析
1．如图，在锐角△ABC中，∠B＝30°，AC＝4，S△ABC＝16，P是边AC上的一动点，点P关于直线AB、BC的对称点分别是D、E，连接DE，则DE的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接BD，BP，BE，
∵点P关于直线AB、BC的对称点分别是D、E，
∴BD＝BP，BE＝BP，∠ABD＝∠ABP，∠CBE＝∠CBP，
∴BD＝BE，∠DBE＝2∠ABC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝BP．
当BP⊥AC时，BP取得最小值，
此时，
∴BP＝8，
则DE的最小值为8．
故选：C．
2．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　）
A．16 B．19 C．20 D．21
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确；
∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，即∠BCG＝90°，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
又∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠GCD，故结论③正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，
∴，故结论④正确；
∵∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确；
若CA平分∠BCG，而∠BCG＝90°＝∠EGC，
∴∠ECG＝∠ACB＝45°，与题干条件不相符，故结论②错误．
故选C．
4．若35+35+35＝3a，则a的值为　6　 ．
【解答】解：∵35+35+35＝3a，
∴3×35＝3a，
∴36＝3a，
∴a＝6．
故答案为：6．
5．关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝1，且当x＝3时，y＝5．当x＞3时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+n＜kx﹣1总成立，则n的取值范围是 　n≤2　 ．
【解答】解：当x＝3，y＝5代入kx﹣y＝1，
得3k﹣5＝1，
∴解得k＝2，
∵x＞3时，对于每一个x的值，x+n＜2x﹣1总成立，
∴n＜x﹣1，对于x＞3恒成立，
∴n≤2．
故答案为：n≤2．
6．如图是一张锐角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出点D或线段BD：①线段AC的中点D；②BD平分∠ABC；③BD是AC边上的高．以上点D或线段BD能通过折纸折出的是　①②③　 （填写序号）．
【解答】解：由题知，
将边AC对折，使得点A和点C重合，
则折痕与AC的交点即为线段AC的中点．
故①符合题意．
将∠B对折，使得点A落在BC边上，
则折痕即平分∠ABC．
故②符合题意．
将△ABC沿着过点B的直线对折，使得点A落在AC上，
则折痕即为AC边上的高．
故③符合题意．
故答案为：①②③．
7．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°，E、F分别是AD，BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点G，若△EFG有两个角相等，则∠EFG　40°或50　 °．
【解答】解：（1）当∠FGE＝∠FEG时，
设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG（180°﹣x）
在四边形GFCD中，由内角和为360°得：
（180°﹣x）+2x+∠C+∠D＝360°，
∵∠C+∠D＝210°，
∴（180°﹣x）+2x＝360°﹣210°，
解得：x＝40°，
（2）当∠GFE＝∠FEG时，此时AD∥BC不合题意舍去，
（3）当∠FGE＝∠GFE时，
同理有：x+2x+∠C+∠D＝360°，
∵∠C+∠D＝210°，
∴x+2x+210°＝360°，
解得：x＝50°，
故答案为40°或50．
8．如图，△ADE由△ABC旋转得到，点B与点D是一对对应点．连接CD，CE，若∠BCD＝∠ACE＝80°，则∠CDE的度数为　100°　 ．
【解答】解：由旋转得，∠AED＝∠ACB，AC＝AE，
∴∠AEC＝∠ACE＝80°．
∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠DCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠AED＝∠DCE，
∵∠AEC＝∠AED+∠CED＝80°，
∴∠DCE+∠CED＝80°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠DCE+∠CED）＝100°．
故答案为：100°．
9．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F与△ABC其中一边平行时，∠AEF的度数是 　33°或123°或78°　 ．
【解答】解：∵E，F分别是边AB，AC上的点，
∴当A′F与△ABC其中一边平行时，有以下两种情况：
当A'F∥BC时，有两种情况：
①延长A'F交AB于点H，如图1所示：
∴∠FHA＝∠FHE＝∠B＝90°，
设∠AEF＝α，
由三角形的外角性质得：∠EFA'＝∠AEF+∠FHE＝α+90°，
由折叠的性质得：∠EFA＝∠EFA'＝α+90°，
在△AEF中，∠A+∠AEF+∠EFA＝180°，
∴24°+α+α+90°＝180°，
解得：α＝33°，
∴∠AEF＝α＝33°；
②如图，
在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，则∠C＝66°；
将△AEF沿若EF折叠，得到△A′EF，则有∠A′FE＝∠AFE；
∵A'F∥BC，
∴∠A'FA＝∠C＝66°，
又∵∠A'FE＝∠AFE，且∠A'FA＝∠A'FE+∠AFE＝66°，
∴∠A'FE＝∠AFE＝33°；
在△AEF 中，∠A＝24°，∠AFE＝33°，
∴∠AEF＝180°﹣24°﹣33°＝123°；
当A'F∥AB时，如图2所示：
∴∠A'FC＝∠A＝24°，
∴∠A'FA＝180°﹣∠A'FC＝156°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠A'FE＝EQ\F（1，2）∠A'FA＝78°，
在△AEF中，∠AEF+∠AFE+∠A＝180°，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AFE+∠A）＝180°﹣（78°+24°）＝78°；
综上所述：∠AEF的度数是33°或或123°或78°．
故答案为：33°或123°或78°．
10．我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．
（1）试求12☆3和4☆8的值；
（2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由．
【解答】解：（1）12☆3＝1012×103＝1015；
4☆8＝104×108＝1012；
（2）相等，理由如下：
∵（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，
a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，
∴（a+b）☆c＝a☆（b+c）．
11．阅读下列材料：
若a2﹣2ab+b2＝0，则（a﹣b）2＝0．得a＝b；
若a2+b2+c2+2ab﹣2bc﹣2ca＝0，
则（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝0，
[（a+b）﹣c]2＝0，
得a+b＝c；
解决下列问题：
（1）若b2＝4（ab﹣a2），证明：b＝2a．
（2）若（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a），证明：b+c＝2a．
【解答】解：（1）∵b2＝4（ab﹣a2），
∴b2＝4ab﹣4a2，
∴b2﹣4ab+4a2＝0，
∴（b﹣2a）2＝0，
∴b＝2a；
（2）∵（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a），
∴b2﹣2bc+c2＝4ac﹣4a2﹣4bc+4ab，
∴b2﹣2bc+c2﹣4ac+4a2+4bc﹣4ab＝0，
即：（2a﹣b﹣c）2＝0，
∴2a﹣b﹣c＝0，
∴b+c＝2a．
12．已知a是一个正整数，且a除以3余1，请说明a2+4a+4能被9整除．
【解答】解：∵a是一个正整数，且a除以3余1，
∴设 a＝3x+1（x是非负整数），
a2+4a+4
＝（3x+1）2+4（3x+1）+4
＝9x2+18x+9
＝9（x2+2x+1）
＝9（x+1）2，
∵（x+1）2是正整数，
∴9（x+1）2能被9整除，
∴a2+4a+4能被9整除．
13．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
【解答】解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6，
解得：x＝6﹣2y，
当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2，
方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为：，；
（2）由题意得：，解得，
把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m；
（3）x﹣2y+mx+5＝0，
（1+m）x﹣2y＝﹣5，
∴当x＝0时，y＝2.5，
即固定的解为：，
（4），
①+②得：2x﹣6+mx+5＝0，
（2+m）x＝1，
x，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m是1的约数，
2+m＝1或﹣1，
m＝﹣1或﹣3．
14．某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果（单位：千克） 乙种水果（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 80 50 2500
第二次 40 70 2420
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了a千克，乙种水果减少了1.2a千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数a的值为 　1.5　 ．
【解答】解：（1）设甲种水果的进价是每千克x元，乙种水果的进价是每千克y元．
由题意得：，
解得：，
答：甲种水果的进价是15元，乙种水果的进价是26元．
（2）①设购进的甲种水果为mkg，则有：
15m+26（150﹣m）≤3240，
解得m≥60，
答：购进的甲种水果至少为60kg．
②设利润为w元，
w＝22（m﹣a）﹣15m+35（150﹣m﹣1.2a）﹣26（150﹣m），
整理得：w＝﹣2m﹣64a+1350，
所以，当m＝60时，w最大为1134；
即：﹣2×60﹣64a+1350＝1134，
解得：a＝1.5，
所以a的值为1.5．
15．按要求进行尺规作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）如图1，已知点A、B在直线MN外，在MN上找一点P，使得∠APM＝∠BPM．
（2）如图2，已知∠α，点P为直线AB外一点，在直线AB上求作点C，使得∠PCB＝∠α．
【解答】（1）解：如图1中，点P即为所求；
（2）图形如图2所示．
16．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，AB＝AC，　CD⊥AB于D　 ．
求证：　∠BCD∠A　 ．
（2）证明上述命题．
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD∠A．
故答案为：CD⊥AB于D；∠BCD∠A；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠A，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°∠A）﹣（90°﹣∠A）∠A．
17．已知如图1，MN∥GH，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A在MN上，边BC在GH上，在同一平面内有Rt△DEF，∠DFE＝90°，∠EDF＝40°，边DE在直线AB上，D在E的下方．
（1）若点F在直线AB的右侧，如图2，将Rt△DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，求∠AFE度数；
（2）如图3，若将Rt△DEF沿射线BA的方向平移到△BE′F′的位置，若点B是DE的中点，DE′＝6cm，则平移的距离为 　2　 cm；
（3）将Rt△DEF在直线AB上平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出∠FAN度数．
【解答】解：（1）∵MN∥GH，
∴∠ACB+∠NAC＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAN＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAN＝90°﹣∠BAC＝60°，
∵∠EDF＝40°，
∴∠AFD＝180°﹣∠BAN﹣∠EDF＝80°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠AFE＝∠DFE﹣∠AFD＝10°；
（2）∵点B是DE的中点，
∴BD＝BE，
设BD＝BE＝x，则DE＝2x，
∵将Rt△DEF沿射线BA的方向平移到△BE'F'的位置，
∴BE'＝DE＝2x，
∴DE'＝3x＝6，
∴x＝2，
∴DB＝2，
故答案为：2；
（3）当∠DAF＝90°时，如图，
由（1）知，∠BAN＝60°，
∴∠FAN＝∠DAF﹣∠BAN＝30°，
当∠AFD＝90°时，如图，
∵∠DFE＝90°，
∴点A，E重合，
∵∠EDF＝40°，
∴∠DAF＝50°，
由（1）知，∠BAN＝60°，
∴∠FAN＝∠BAN﹣∠DAF＝10°，
若F在直线左侧时，∠FAD＝90°，
同理可得∠FAN＝90°+60°＝150°；
若F在直线左侧时，∠AFD＝90°，
同理∠FAN＝50°+60°＝110°．
即当以点A，D，F为顶点的三角形是直角三角形时，∠FAN度数为30°或10°或150°或110°．
18．根据以下情境，探索完成任务，
你研究过三角形的角平分线吗？
问题背景 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有二般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．在我们人教版义务教育教科书数学八上第29页第11题研究过双内角平分线的夹角的问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究：
模型一 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点P，则∠A与∠P之间有一定的数量关系；
模型二 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，则∠A与∠P之间有一定的数量关系；
解决问题
任务一 如图，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
任务二 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，求∠BPC的度数；
任务三 在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【解答】解：任务一：∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，
∴，，，
∵∠BAC+∠CAG＝180°，
∴，即∠EAF＝90°，
∵∠BCH＝∠BAC+∠ABC，∠ECH＝∠EAC+∠E，
∴∠BCH＝2∠ECH＝2∠EAC+2∠E＝∠BAC+2∠E，
∴∠ABC＝2∠E，
∴，
∴∠F＝180°﹣∠EAF﹣∠E＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
任务二：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，
∴∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，
∵∠AED+∠PED+∠1＝180°，∠ADE+∠PDE+∠2＝180°，∠1+∠2＝80°，
∴2（∠AED+∠ADE）＝360°﹣80°＝280°，
∴∠AED+∠ADE＝140°，
∴∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE）＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝110°．
任务三：如图，当点F在点E左侧时，∠EBF＝α，∠DCF＝β，
∵EB∥CD，
∴∠EBC+∠DCB＝180°，
∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠DCF＝180°﹣β，
∵∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，
∴，，
∴，
∴，
∴．
如图，当点F在D、E之间时，∠EBF＝α，∠DCF＝β，
∵EB∥CD，
∴∠EBC+∠DCB＝180°，
∵∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
如图，点F在点E右侧时，∠EBF＝α，∠DCF＝β，
同理可得：，，
∴．
综上所述：或或．
19．已知M＝x2+x，N＝3x﹣1，则M，N的大小关系是（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
【解答】解：M＝x2+x，N＝3x﹣1，
∵M﹣N＝（x2+x）﹣（3x﹣1）＝x2+x﹣3x+1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
20．已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值是　1　 ．
【解答】：∵a﹣b＝1，
∴a＝b+1，
∴a2﹣b2﹣2b＝（b+1）2﹣b2﹣2b＝b2+2b+1﹣b2﹣2b＝1．
故答案为：1．
21．若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 　2≤a＜3　 ．
【解答】解：解不等式组得：，
∴不等式的解集为a＜x≤5，
∵关于x的不等式组的解集共有3个整数解，
∴这3个数为3，4，5，
即2≤a＜3．
故答案为：2≤a＜3．
22．某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最大值是 　199　 ．
【解答】解：由题意可得，2件A产品的消费金额满足：200≤2件A产品的价格＜300，
300≤2件A产品的价格+1件B产品的价格＜400，
设B产品的单价为x元，
300≤200+x＜400，
解得：100≤x＜200，
∵B产品的单价为整数，
∴B商品的单价的最大值为199元．
故答案为：199．
23．已知方程组的解是，则方程组的解为 　　 ．
【解答】解：∵的解是，
∴，
由①得：x＝1，
由②得：y＝4，
∴方程组的解为，
故答案为：．
24．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝6，则m的值为　3　 ．
【解答】解：∵，
∴3x+3y＝6m，
∴x+y＝2m，
∵x+y＝6，
∴2m＝6，
∴m＝3，
故答案为：3．
25．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c“变更方程”为cx+by＝a．
（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 　4x+2y＝3　 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝1与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值．
【解答】解：（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为4x+2y＝3．
故答案为：4x+2y＝3．
（2）方程2x﹣3y＝1的“变更方程”为x﹣3y＝2，
2x﹣3y＝1与x﹣3y＝2组成的方程组为，
解得，
将代入mx+ny＝p，
得﹣m﹣n＝p，
∴m+n＝﹣p，
∴（m+n）m﹣p（n+p）+2025
＝﹣pm﹣p[n﹣m﹣n]+2025
＝﹣pm+pm+2025
＝2025．
26．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
（1）真命题的个数为 　3　 ；
（2）选择一个真命题写出理由．
【解答】解：（1）条件：①②，结论：③，为真命题；
条件：①③，结论：②，为真命题；
条件：②③，结论：①，为真命题，
所以，真命题的个数为3．
故答案为：3．
（2）命题一：条件：①②，结论：③
证明：如图所示：当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当②∠C＝∠D，
故∠4＝∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A＝∠F，
即．
命题二：条件：①③，结论：②，
证明：当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
故可得：∠C＝∠D，
即．
命题三：条件：②③，结论：①，
证明：当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
当②∠C＝∠D，
则∠4＝∠D，
故DB∥EC，
则∠2＝∠3，
可得：∠1＝∠2，
即．
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