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七下数学期末复习讲练03 解答题（21个考点共63题）
TOC \t "标题 2,1" \h \u HYPERLINK "file:///C:\\Users\\MAC\\AppData\\Local\\Temp\\Rar$DIa16344.2442\\专题03%20解答题（21个考点讲练%20共63题）2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习考点分类练（优等生培优版）原卷版.docx" \l "_Toc30002" 考点讲练01：同底数幂的乘法 2
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考点讲练01：同底数幂的乘法
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
； (2)；
； (4)（为正整数）．
【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读并解决问题．
观察下列数：我们发现，这列数从第项起，每一项与它前一项的比值都是．我们把这样的一列数称为等比数列，这个共同的比值称为等比数列的公比．
(1)等比数列，，，的第项是________；
(2)一个等比数列的第项是，第项是，求它的第项和第项；
(3)如果一列数是等比数列，公比是，那么根据上述规定有，，所以，，则_______．（用含与的代数式表示）．
【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题：
(1)若，则___________；___________；
(2)若，求，的值；
(3)若，求的值．
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方
【典例】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）若，求的值．
已知为正整数，且，求的值．
【变式1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．
(1)求的值；
(2)若运算的结果为108，求t的值；
(3)，，，则的值为 ．
【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______________；
(2)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：设，
，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算：__________________．
考点讲练03：同底数幂的除法
【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，．
(1)求的值．
(2)计算的结果．
【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1) ；若，则 ．
(2)已知，，，若，则 ．
(3)若，，求的值．
【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算：
(2)；
考点讲练04：单项式乘单项式
【典例】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算：
； (2)；
； (4)．
【变式1】．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）计算：．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算：
； (2)；
； (4)．
考点讲练05：多项式乘多项式
【典例】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式．
又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
若关于的代数式为对称式（为常数）．
(1)求的值；
(2)已知，若，求对称式的值．
【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1…… ……
请根据上述材料解决下列问题：
(1)的展开式中第三项为___________；
(2)的展开式中系数为10的项是___________；
(3)求的展开式中含项的系数．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）．
(1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．
(2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．
(3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法．
考点讲练06：乘法公式
【典例】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，
因为，
所以当时，
的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，即时的值最小，最小值是1，
即的最小值是1．
定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【探究问题】
（1）①已知，则______．
②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值．
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：．
(1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）
公式②：
公式③：
公式④：
图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ，（填序号）；
(2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．
为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
(3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差．
【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为；所以；所以；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
【初步应用】
（1）若，，则 ；
【类题探究】
（2）若m满足．求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
考点讲练07：平移的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点．
(1)求线段的长和的大小．
(2)求图中阴影部分的面积．
【变式1】（24-25七年级下·吉林·期中）如图①，图②是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，且每个小正方形的边长均为1．的三个顶点和线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按如下要求作图．
(1)在图①中，将平移至，使点和点对应，点和点对应，点和点对应．
(2)在图②中，找一个格点，连接，使，并写出点到的距离．
【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点作直线．在直线上取点．使
①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系；
②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）．
考点讲练08：轴对称的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P．
(1)【问题解决】若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若，求和的度数．
②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．
(1)若，，求的长；
(2)连接，则和直线的关系为 ．
【变式2】（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由；
（2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
考点讲练09：旋转的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的；
(2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的；
(3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O；
【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、、均在格点（网格线的交点）上．
(1)画，使它与关于直线成轴对称．
(2)画，使它与关于点成中心对称．
(3)小明在玩激光反射游戏，平面镜位于直线上，他需要从点处发射激光，经镜面反射后击中目标点，请在直线上作出反射点．
【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒．
(1)如图1，直接写出下列答案：
①的度数是________________；
②当旋转时间_______________秒时，射线过点．
(2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值．
(3)若两条射线和所在直线交于点，
①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）；
②若射线在的左侧，当时，求的值．
考点讲练10：二元一次方程的概念
【典例】（24-25七年级下·吉林长春·期中）某商场店庆期间发放了如图所示优惠券，每人限领一套优惠券（共张）：型优惠券（满减元）张，型优惠券（满减元）张，型优惠券（满减元）张．小亮和爸爸、妈妈一共领到了套优惠券，在商场一次性购物后，使用优惠券共优惠了元．
(1)若小亮一家用了张型优惠券，张型优惠券，则用了______张型优惠券，此时实际消费最少为______元．
(2)若小亮一家同时使用种不同类型的优惠券共张，且型优惠券比型优惠券多用张，求种不同类型的优惠券各用多少张？
(3)若小亮一家同时使用种不同类型的优惠券，为了使实际消费金额最少，应该用______型优惠券______张，______型优惠券______张，此时实际消费金额最少为______元．
【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题：
(1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____；
(2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值．
【变式2】（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程，去分母时项忘记乘以，得该方程的解为，乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求的值．
考点讲练11：二元一次方程组的概念
【典例】（23-24七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元．
(1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组；
(2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由．
【变式1】（22-23七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
(1) (2)
【变式2】（2023七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
(2) (3)
(5) (6)
考点讲练12：解二元一次方程组
【典例】（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m，n的值．
【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期中）若方程组和方程组有相同的解．
(1)求方程组的解．
(2)求a，b的值．
【变式2】（24-25七年级下·山东日照·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是______________；
(2)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________；
(3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
得：，所以
得：
得：，从而得
所以原方程组的解是．
用上述方法求共轭方程组的解．
考点讲练13：三元一次方程组的概念和解法
【典例】（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）期中考试结束后，某班级准备花346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩优秀的同学．已知钢尺每把5元，钢笔每支7元，笔记本每本10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的2倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少？
【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程或方程组
(2) (3)
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下：
（1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
（2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40．
求这次智力竞赛的平均成绩．
考点讲练14：用二元一次方程组解决问题
【典例】（24-25七年级下·浙江温州·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元．
(1)求和的值．
(2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案．
(3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆．
【变式1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
(1)点表示的数为，点表示的数为____，______；
(2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度．
(3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
【变式2】（24-25七年级下·浙江·期中）某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
考点讲练15：一元一次不等式的概念
【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）①如果，那么_____；
②如果，那么_____；
③如果，那么_____；
（2）由（1）你能归纳出比较与大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
【变式1】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小．
方法一解：∵，
∴（不等式的基本性质3）
根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)52；
(7)．
考点讲练16：解一元一次不等式
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）回忆并写出“第11章一元一次不等式”中所有概念的定义．
【变式1】（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值．
【变式2】（22-23七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明．
考点讲练17：解一元一次不等式组
【典例】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）找出解不等式的过程中的错误，并改正．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
两边都除以5，得．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）下列各数中哪些是不等式的解？
，，0，1，2.5，3，，，8，12
（2）不等式有多少个正整数解？试写出3个正整数解．
考点讲练18：用一元一次不等式解决实际问题
【典例】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组：
；(2)；
；(4)．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是______；（写出一个即可）
(2)若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
考点讲练21：命题
【典例】（24-25九年级下·江西抚州·期中）中秋佳节，亲戚好友互相走动送礼物，已知购买1盒月饼和2盒蛋黄酥共需200元；购买2盒月饼和3盒蛋黄酥共需360元．
(1)求一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格；
(2)小红计划购买月饼和蛋黄酥共15盒，总费用不超过1600元，问最多可以购买月饼多少盒？
【变式1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图．
【背景】水杯容积：．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递．开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况）
【问题】
(1)接到温水的体积是_____，接到开水的体积是_____；（用含的代数式表示）
(2)若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？
(3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值；
【变式2】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒2》成为首部登顶动画票房榜榜首的亚洲电影，与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来，哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件深受游客喜爱，某经销商计划同时购进哪吒系列手办盲盒摆件和雕像模型摆件两种玩具．据了解，16个手办盲盒摆件和10个雕像模型摆件的进价共计1600元；24个手办盲盒摆件和20个雕像模型摆件的进价共计2800元．
(1)求购进一个哪吒系列手办盲盒摆件和一个雕像模型摆件各需多少元？
(2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进手办盲盒摆件和雕像模型摆件共200个，要求购买的总费用不超过12400元，求最多可以购买雕像模型摆件多少个？
考点讲练20：证明
【典例】（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列语句是否是命题，若是，写出它的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)延长BA到点C；
(3)同角的补角相等；
(4)平方后等于1的数是1．
【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线，被直线所截，分别在和的内部作射线和射线．现有以下三个条件：①；②；③．若以①②为题设，③为结论组成一个命题，请判断这个命题的真假，若为真命题，请说明理由；若为假命题，请举出反例．
【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
①先画出相应的图形，并判断命题的真假；
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整．
解：，
．
，
① ．
又，可解得（ ）．
，
．
，
．（ ）
又，可解得（ ）
（ ）．
考点讲练21：定理
【典例】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题，
(1)如果，那么；
(2)两直线被第三条直线所截，同位角相等．
【变式2】（17-18八年级下·全国·课后作业）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
答案与解析
考点讲练01：同底数幂的乘法
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键
（1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解；
（3）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解；
（4）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解．
【完整解答】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读并解决问题．
观察下列数：我们发现，这列数从第项起，每一项与它前一项的比值都是．我们把这样的一列数称为等比数列，这个共同的比值称为等比数列的公比．
(1)等比数列，，，的第项是________；
(2)一个等比数列的第项是，第项是，求它的第项和第项；
(3)如果一列数是等比数列，公比是，那么根据上述规定有，，所以，，则_______．（用含与的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【难度系数】0.65
【思路引导】（）求出等比数列的公比即可求解；
（）求出等比数列的公比即可求解；
（）根据的特点找到规律即可求解；
本题考查了同底数幂的乘法、数字的规律变化问题，理解定义是解题的关键．
【完整解答】（1）解：∵，，
∴等比数列的公比为，
∴第项是，
故答案为：；
（2）解：∵等比数列的第项是，第项是，
∴等比数列的公比为，
∴第项为，第项为；
（3）解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题：
(1)若，则___________；___________；
(2)若，求，的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)1，
(2)，
(3)64
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法、有理数的乘方，正确理解新运算的法则是解题关键．
（1）根据，利用新运算的法则计算即可得；根据新运算的法则可得，由此即可得；
（2）根据可求出，再根据新运算的法则计算即可得；
（3）根据代入计算可得，从而可得，再根据新运算的法则计算即可得．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
，
故答案为：1，．
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
．
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
将代入得：，
∴．
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方
【典例】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）若，求的值．
（2）已知为正整数，且，求的值．
【答案】（1）；（2）160
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识点是解题关键．
（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法法则得到，再解方程即可；
（2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值．
【完整解答】解：∵
，
又，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
．
【变式1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．
(1)求的值；
(2)若运算的结果为108，求t的值；
(3)，，，则的值为 ．
【答案】(1)96
(2)
(3)21
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．
（1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得；
（2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得；
（3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得．
【完整解答】（1）解：由题意得：
．
（2）解：由题意得：
，
∵运算的结果为108，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴
，
故答案为：21．
【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______________；
(2)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：设，
，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算：__________________．
【答案】(1)3
(2)①证明见解析；②3
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法运算法则．
（1）根据题意可得，进而求解；
（2）由，，，得，，，得出，从而；
（3）设，，由结论得，据此计算即可求解．
【完整解答】（1）解：由题意可得：，
，
（2）①证明：，，，
，，，
，
，
即：，
；
②解：
，
设，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
考点讲练03：同底数幂的除法
【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，．
(1)求的值．
(2)计算的结果．
【答案】(1)
(2)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的除法法则解答即可；
（2）逆用积的乘方法则解答即可．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴；
由（1）得，
∴
．
【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1) ；若，则 ．
(2)已知，，，若，则 ．
(3)若，，求的值．
【答案】(1)4，64
(2)15
(3)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法．
（1）根据新定义列式求值即可；
（2）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，即可解得m的值；
（3）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，最后化简求值即可．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：4，64；
（2）解：由题意得：，，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：15；
（3）解：由题意得：，，
∴，
∴，
∴的值为．
【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算：
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了负整数指数幂，零指数和含乘方的有理数混合计算，整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案．
【完整解答】（1）解：
；
（2）解：
．
考点讲练04：单项式乘单项式
【典例】（24-25七年级下·四川成都·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查整式的运算，实数的混合运算，熟练掌握整式的运算法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则、逆用同指数幂的乘法法则，零指数幂的运算是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）根据单项式乘以单项式，同底数幂的积的乘法进行计算即可；
（3）根据单项式乘单项式，单项式除单项式进行计算即可求解；
（4）根据负整数指数幂，零指数幂和化简绝对值进行计算即可求解．
【完整解答】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【变式1】．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）计算：．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查整式的运算，原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并即可．
【完整解答】解：

．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
先分别对各题运用幂的乘方、积的乘方计算，然后再运用单项式乘单项式法则计算即可．
【完整解答】（1）解：
．
（2）解：
（3）解：
．
（4）解：
．
考点讲练05：多项式乘多项式
【典例】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式．
又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
若关于的代数式为对称式（为常数）．
(1)求的值；
(2)已知，若，求对称式的值．
【答案】(1)
(2)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可；
（2）就，，得出，，把代入即可求解．
【完整解答】（1）解：，
交换a、b的位置，
∵代数式为对称式，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∴，，
把代入得：
．
【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1…… ……
请根据上述材料解决下列问题：
(1)的展开式中第三项为___________；
(2)的展开式中系数为10的项是___________；
(3)求的展开式中含项的系数．
【答案】(1)
(2)和
(3)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键．
（1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项；
（2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可；
（3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案．
【完整解答】（1）解：由题意得，
∴第三项为，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
∴系数为10的项为和，
故答案为：和；
（3）解：，，，…，
观察可知：展开式的前两项为，
∴当时，含项的系数为．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）．
(1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．
(2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．
(3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法．
【答案】(1)见详解
(2)，，，
(3)5种
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查几何的基础模型，通过4个不同的长方形可以拼接成新的长方形，同时也是因式分解的几何表示方法．
（1）通过图形可知，边需要和边重合，则有另一边为的矩形，边和边重合，则有另一边为的矩形，然后将的边重合，则得到新的矩形，
（2）根据图②中的矩形数量，可知面积可以表示为，根据新的矩形的两边长分别为和可得，矩形面积为，故可以用等式来连接，图③同理可得，
（3）根据前边的推论，结合多项式乘法即可推出其他种长方形．
【完整解答】（1）解：如图所示：
（2）解：图②的面积可以表示为：，也可以表示为，
∴，
图③的面积可以表示为：，也可以表示为，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：根据条件可得，除了图②和图③外，还可以拼出五种不同的长方形，
第一种，由，
故长方形的长为，宽为，由1个卡片，2个卡片，2个卡片，1个卡片拼得；
第二种，由，
故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得；
第三种，由，
故长方形的长为，宽为，由1个卡片，1个卡片，2个卡片，2个卡片拼得；
第四种，由，
故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，1个卡片，1个卡片拼得；
第五种，由，
故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得．
考点讲练06：乘法公式
【典例】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，
因为，
所以当时，
的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，即时的值最小，最小值是1，
即的最小值是1．
定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【探究问题】
（1）①已知，则______．
②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值．
【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1．
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；
②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（2）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可．
【完整解答】（1）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
②当时，为“完美数”，
理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（2）∵，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1．
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：．
(1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）
公式②：
公式③：
公式④：
图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ，（填序号）；
(2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．
为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
(3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差．
【答案】(1) ③ ④ ②
(2)10
(3)165
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键．
（1）由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可；
（2）由，可得，，由题意知，，由公式①，可得，可得的结果，计算求出满足要求的解即可；
（3）由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可．
【完整解答】（1）解：由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，
故答案为：③，④，②．
（2）解：设，
∴，，
由题意知，，
∴，
由公式①，可得，即，
∴，
∴或，
∴或，
解得，或（舍去），
∴大正方形的边长的值为．
（3）解：由题意知，，，
∴或（舍去）
∴，整理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴正方形与正方形的面积之差为．
【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为；所以；所以；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
【初步应用】
（1）若，，则 ；
【类题探究】
（2）若m满足．求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
【答案】（1）3；（2）；（3）．
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）由完全平方公式即可计算；
（2）由完全平方公式即可计算；
（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解
【完整解答】解：（1）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
解得：，
∴阴影部分的面积．
考点讲练07：平移的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点．
(1)求线段的长和的大小．
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)，
(2)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质得到，则，根据平移可得，进而根据平行线的性质可得，根据，即可求解；
（2）根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案．
【完整解答】（1）解：沿着方向平移得到，
，，，，
，，
，
，
，
，
．
（2）平移，
，
，
　，
， ，，
．
【变式1】（24-25七年级下·吉林·期中）如图①，图②是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，且每个小正方形的边长均为1．的三个顶点和线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按如下要求作图．
(1)在图①中，将平移至，使点和点对应，点和点对应，点和点对应．
(2)在图②中，找一个格点，连接，使，并写出点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点到的距离为3
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查三角形的平移，平行线的性质，正确理解概念是解题的关键。
（1）根据平移的定义，即可解答；
（2）根据”两直线平行，内错角相等”，即可解答.
【完整解答】（1）解：如图所示，即为所求
（2）如图所示，点Q即为所求
∴点到的距离为3．
【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点作直线．在直线上取点．使
①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系；
②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②面积的最大值为，此时的度数为
【难度系数】0.4
【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；
②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【完整解答】（1）证明：补全图形如图所示，
作，
∵将线段沿平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
（2）解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：
，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：
∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是，如图所示：

∴面积的最大值为
由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
考点讲练08：轴对称的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P．
(1)【问题解决】若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若，求和的度数．
②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①，；②
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，角度的和差计算，掌握折叠的性质，数形结合分析是关键．
（1）根据折叠的性质得到，根据两直线平行内错角相等即可求解；
（2）①根据平行线的性质得到，，，结合折叠的性质得到即可求解；
②结合①的计算得到，，则，有即可求解．
【完整解答】（1）解：∵折叠，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形是长方形，
∴，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴；
②根据上述过程可得，，
，
∵，
∴，
解得，，
∴．
【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．
(1)若，，求的长；
(2)连接，则和直线的关系为 ．
【答案】(1)6
(2)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可；
（2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得．
【完整解答】（1）解：∵和关于直线对称，
∴点与点关于直线对称，
∴，
∴．
（2）解：∵和关于直线对称，
∴点与点关于直线对称，
∴，即，
故答案为：．
【变式2】（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由；
（2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键：
（1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点；
（2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求．
（3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
【完整解答】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求；
理由：两点之间，线段最短．
（II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求．
（Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
考点讲练09：旋转的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的；
(2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的；
(3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握平移与旋转的性质是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）连接和，交点即为所求．
【完整解答】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：如图：点即为所求，
【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、、均在格点（网格线的交点）上．
(1)画，使它与关于直线成轴对称．
(2)画，使它与关于点成中心对称．
(3)小明在玩激光反射游戏，平面镜位于直线上，他需要从点处发射激光，经镜面反射后击中目标点，请在直线上作出反射点．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了画轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；
（1）利用轴对称的性质找到对应点，顺次连接，即可求解；
（2）根据中心对称的性质找到对应点，顺次连接，即可求解；
（3）根据轴对称的性质，连接交与点，则点即为所求．
【完整解答】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，连接交与点，则点即为所求．
【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒．
(1)如图1，直接写出下列答案：
①的度数是________________；
②当旋转时间_______________秒时，射线过点．
(2)如图2，若，求此时对应的旋转时间的值．
(3)若两条射线和所在直线交于点，
①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）；
②若射线在的左侧，当时，求的值．
【答案】(1)① ②
(2)秒
(3)① ②
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
（1）①根据两直线平行，同旁内角互补，从而得到结果；
②由的度数列出方程，得到结果；
（2）由，得到内错角相等，再利用三角形内角和，求出结果；
（3）①由的内角和得到方程，求得结果，
②注意要根据题意，画出图形，结合条件，利用的内角和，求得结果.
【完整解答】（1）解：①，
，
故答案为： ；
②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，过点时，旋转了，
∴此时，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，
∴设，
，
，
又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，旋转了 即：
，
，
，
∴此时对应的旋转时间的值是秒；
（3）解：①
∵根据题意有：，
，
在中，，
，
；
②∵的旋转速度要比的旋转速度快，
∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
∴在中，，
即：，
，
．
考点讲练10：二元一次方程的概念
【典例】（24-25七年级下·吉林长春·期中）某商场店庆期间发放了如图所示优惠券，每人限领一套优惠券（共张）：型优惠券（满减元）张，型优惠券（满减元）张，型优惠券（满减元）张．小亮和爸爸、妈妈一共领到了套优惠券，在商场一次性购物后，使用优惠券共优惠了元．
(1)若小亮一家用了张型优惠券，张型优惠券，则用了______张型优惠券，此时实际消费最少为______元．
(2)若小亮一家同时使用种不同类型的优惠券共张，且型优惠券比型优惠券多用张，求种不同类型的优惠券各用多少张？
(3)若小亮一家同时使用种不同类型的优惠券，为了使实际消费金额最少，应该用______型优惠券______张，______型优惠券______张，此时实际消费金额最少为______元．
【答案】(1)，；
(2)用了型优惠券张，用了型优惠券张，用型优惠券张；
(3)，，，，．
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了有理数运算的应用，一元一次方程的应用，二元一次方程整数解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据有理数的混合运算即可求解；
（）设用了型优惠券张，则用了型优惠券张，用了型优惠券张，根据题意列出方程，然后解方程即可；
（）：设用型优惠券张，用型优惠券张，用型优惠券张，由题意得，，且为正整数，然后分当选取优惠券时，，当选取优惠券时，，当选取优惠券时，三种情况分析即可．
【完整解答】（1）解：用型优惠券数量为
（张），
∴（元），
此时实际消费最少为（元），
故答案为：，；
（2）解：设用了型优惠券张，则用了型优惠券张，用了型优惠券（张），
根据题意得：，
解得：，
∴用了型优惠券张，用了型优惠券张，
答：用了型优惠券张，用了型优惠券张，用型优惠券张；
（3）解：设用型优惠券张，用型优惠券张，用型优惠券张，
由题意得：，，且为正整数，
当选取优惠券时，，
无解；
当选取优惠券时，，
解得：，
∴（元），
此时实际消费金额最少为（元），
当选取优惠券时，，
解得：，
∴（元），
此时实际消费金额最少为（元），
∵，
∴用型优惠券张，型优惠券张，此时实际消费金额最少为元，
故答案为：，，，，．
【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题：
(1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____；
(2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值．
【答案】(1)A
(2)存在唯一“超级中国结”的坐标为
(3)的值为
【难度系数】0.4
【思路引导】本题主要考查二元一次方程的计算，理解题目中的相关概念及计算，掌握二元一次方程的解的计算是关键．
（1）根据“中国结”的定义代入计算即可求解；
（2）根据“超级中国结”的定义进行计算，当时，可得，分类讨论即可求解；
（3）根据“奇妙中国结”的定义计算，根据题意得到轴，“奇妙中国结”的纵坐标为，代入，整理得，分类讨论计算即可求解．
【完整解答】（1）解：，“复兴线”，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
故选：A；
（2）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，
当时，由，消去得到：，
∴此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况，
①当，即时，方程无解，不存在“超级中国结”；
②当，即时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（为任意实数）；
③当，即时，
得，
∴这种情况下存在唯一“超级中国结”的坐标为．
（3）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”，
∵，即纵坐标相等，
∴轴，“奇妙中国结”的纵坐标为，
代入，整理得，
当，即时，等式不成立，舍去，
当，即时，，
∵均为整数，
∴，或，
对应的，
当时，，此时“奇妙中国结”没有在线段上，应舍去，
∴的值为．
【变式2】（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程，去分母时项忘记乘以，得该方程的解为，乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，根据两位同学的解法求出，的值是解题的关键．
（1）按照甲同学的做法得到的值，
（2）把代入得到的值，从而得到的值．
【完整解答】（1）解：甲同学的做法为：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
，
；
（2）解：把代入，得：，
解得：，
；
考点讲练11：二元一次方程组的概念
【典例】（23-24七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元．
(1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组；
(2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
【难度系数】0.94
【完整解答】8.解：（1）根据题意，得
（2）是，理由如下：
把代入方程①中，左边＝5×3＋4×2＝23＝右边，
把代入方程②中，左边＝10×3＋2×2＝34＝右边，
所以是二元一次方程组的解．
【变式1】（22-23七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
(1)
(2)
【答案】(1)是，理由见解析
(2)是，理由见解析
【难度系数】0.94
【思路引导】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答．
【完整解答】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，
∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组；
（2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，
∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组．
【考点点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组．
【变式2】（2023七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析
(2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析
(3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析
(4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析
(5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析
(6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析
【难度系数】0.94
【思路引导】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
【完整解答】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；
（2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组；
（3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；
（4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组；
（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组；
（6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组．
【考点点拨】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键．
考点讲练12：解二元一次方程组
【典例】（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m，n的值．
【答案】(1)；
(2)．
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键，也是本题的难点所在．
（1）根据二元一次方程组的解的定义进行解答即可；
（2）根据方程解的定义得到二元一次方程组，解方程组即可．
【完整解答】（1）解：因为关于x，y的方程组与方程组有相同的解，
所以这两个方程组的解也是方程组的解，
解得；
（2）把分别代入方程与方程，得
解得
【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期中）若方程组和方程组有相同的解．
(1)求方程组的解．
(2)求a，b的值．
【答案】(1)
(2)
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系．
（1）由题意得，解方程组即可解答．
（2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到关于a、b的方程组，据此求解即可．
【完整解答】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴，
得，解得，
将代入①得，解得
∴方程组的解为．
（2）解：由（1）可得是方程和方程的解，
∴，
解得
【变式2】（24-25七年级下·山东日照·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是______________；
(2)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________；
(3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
得：，所以
得：
得：，从而得
所以原方程组的解是．
用上述方法求共轭方程组的解．
【答案】(1)
(2)；1
(3)
【难度系数】0.94
【思路引导】本题考查了新定义、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义即可解答；
（2）根据新定义可得，，解出的值即可解答；
（3）仿照题意的方法解共轭方程组即可．
【完整解答】（1）解：由题意得，方程的共轭二元一次方程是．
故答案为：．
（2）解：关于、的方程组为共轭方程组，
，，
解得：，．
故答案为：；1．
（3）解：，
得：，所以，
得：，
得：，从而得，
所以原方程组的解是．
考点讲练13：三元一次方程组的概念和解法
【典例】（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）期中考试结束后，某班级准备花346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩优秀的同学．已知钢尺每把5元，钢笔每支7元，笔记本每本10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的2倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少？
【答案】若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本
【难度系数】0.4
【思路引导】本题主要考查了三元一次不定方程，根据题意得出x，y，z的取值范围是解题关键．设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本，根据题意结合奖品的价格得出，，再利用共花费346元，分别得出x，y，z的取值范围，进而得出z的取值范围，分别分析得出所有的可能．
【完整解答】解：设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本，
则有，，，，，
∴，即 ．
∵x，y，z均为正整数，，
∴
∴z只能取14，9和4，
①当z为14时，，， 则；
②当z为9时，，， 则；
③当z为4时，，， 则．
综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本．
【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程或方程组
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度系数】0.94
【思路引导】本题考查了解一元一次方程，三元一次方程组，熟练掌握解题方法是解题的关键．
（1）按照移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（3）利用加减消元求解即可．
【完整解答】（1）解：
解得：，
∴原方程的解为：；
（2）解：，
∴原方程的解为：；
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴原方程组的解为：．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下：
（1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
（2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40．
求这次智力竞赛的平均成绩．
【答案】49分
【难度系数】0.4
【思路引导】考查三元一次方程组的应用 ，先算出答对第1题，第2题，第3题的人数，等量关系为：答对第1题的人数答对第2题的人数；答对第2题的人数答对第3题的人数；答对第1题的人数答对第3题的人数，把相关数值代入即可求解；进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．
【完整解答】解：设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为，，．
，
解得，，．
题全答对的只有4人，答对两题的有17人，3题全错的有5人
参赛总人数为：人，
平均得分为：分，
答：这次竞赛的平均得分为49分．
考点讲练14：用二元一次方程组解决问题
【典例】（24-25七年级下·浙江温州·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元．
(1)求和的值．
(2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案．
(3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆．
【答案】(1)的值为，的值为
(2)共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；
(3)或
【难度系数】0.4
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键；
（1）根据“买辆款和辆款需付款万元，买辆款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案；
（3）设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论．
【完整解答】（1）解：设款的单价为万元，款的单价为万元．
根据题意得：
解得：
（2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，
根据题意得：，
又，均为正整数，
或
共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；
（3）万元，
款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同．
设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆，
款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，
，即款中没有享受国补的有辆，
根据题意得：
解得：
，， 均为非负整数，
或
款中享受国补的有或辆．
故答案为：或．
【变式1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
(1)点表示的数为，点表示的数为____，______；
(2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度．
(3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度
(3)1，，，8．
【难度系数】0.4
【思路引导】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴的动点问题，一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，进而求得的长；
（2）设的速度分别为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
（3）以为，点的中点；为，点的中点；为，点的中点；进行讨论即可求解．
【完整解答】（1）解：∵是最大的负整数，且，满足，
∴，
∴．
∴
故答案为：；
（2）解：设的速度分别为，由题意得
解得：．
∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度．
（3）解：依题意，当为，点的中点，
当时，有，
解得（舍去），
当时，有，
解得；
当为，点的中点，，
有，
解得；
或，
解得；
为，点的中点，，
有，
解得．
综上所述，的值为1，，，8．
【变式2】（24-25七年级下·浙江·期中）某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块
(2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块
(3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块
【难度系数】0.4
【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组．
（1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可；
（2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可；
（3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论．
【完整解答】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块，
依题意得：
解得
答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块．
（2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，
根据题意得：
可得，
∵，为非负整数，
∴或或
答：有以下三种裁切方案：
方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；
方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；
方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块．
（3）解：①采用方案3，根据题意，得：
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块．
②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，
根据题意，得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块．
③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块
根据题意,得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
考点讲练15：一元一次不等式的概念
【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）①如果，那么_____；
②如果，那么_____；
③如果，那么_____；
（2）由（1）你能归纳出比较与大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
【答案】（1）；；；（2）见解析
【难度系数】0.94
【思路引导】本题主要考查如何比较两代数式的大小．
（1）①②③给等式和不等式的两边两边同时加，结合等式和不等式的性质即可解答；
（2）可根据题（1）的结论得到答案．
【完整解答】解：（1）①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
故答案为：；；；
（2）由（1）归纳出：比较、两数的大小，如果与的差大于0，那么大于；如果与的差等于0，那么等于；如果与的差小于0，那么小于．
【变式1】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小．
方法一解：∵，
∴（不等式的基本性质3）
根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答．
【答案】，两种方法见解析
【难度系数】0.94
【思路引导】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可．
【完整解答】解：法一∵，（已知），
∴（不等式的基本性质3）；
法二：∵，
∴，即（不等式的基本性质1，不等式两边同时加）．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)52；
(7)．
【答案】(1)既不是等式也不是不等式
(2)是不等式
(3)是等式
(4)是不等式
(5)是等式
(6)既不是等式也不是不等式
(7)是不等式
【难度系数】0.94
【思路引导】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子．
【完整解答】（1）解：既不是等式也不是不等式；
（2）解：是不等式；
（3）解：是等式；
（4）解：是不等式；
（5）解：是等式；
（6）解：52既不是等式也不是不等式
（7）解：是不等式．
考点讲练16：解一元一次不等式
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）回忆并写出“第11章一元一次不等式”中所有概念的定义．
【答案】见解析
【难度系数】0.85
【思路引导】根据所学基本概念解答即可．
【完整解答】解：不等式：用不等号连接的式子．
一元一次不等式：只含一个未知数，未知数的次数为1的整式不等式．
不等式的解集：所有满足不等式的未知数的值．
解不等式：求不等式解集的过程．
不等式的性质：
1.不等式的两边，同加或同减同一个数或式子，不等号方向不变．
2.不等式的两边，同乘或同除同一个正数，不等号方向不变．
3.不等式的两边，同乘或同除同一个负数，不等号方向改变．
解不等式的基本步骤：去分母-去括号-移项-合并同类项-系数化为1．
【考点点拨】本题考查了一元一次不等式的基本概念，熟练掌握概念是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值．
【答案】
【难度系数】0.85
【思路引导】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【完整解答】解：依题意得，且，
．
【考点点拨】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
【变式2】（22-23七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明．
【答案】见解析
【难度系数】0.94
【思路引导】根据一元一次不等式的定义举例说明即可．
【完整解答】解：∵当系数等于0时，不等式中x无论取何值，不等式的解集均为全体实数或无解，
此时不等式中不含有未知数，
例如：若不等式为：，当x的系数时，此时，不等式变为，无论x取何值，此不等式均不成立．；
【考点点拨】本题考查的是一元一次不等式应具备系数不为条件，因为系数为时，不等式的解集均为全体实数或无解，此时不等式中不含有未知数．
考点讲练17：解一元一次不等式组
【典例】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【难度系数】0.65
【思路引导】先根据不等式的解法求解不等式，然后把解集在数轴上表示出来．
此题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算法则．
【完整解答】解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
把这个不等式的解集表示在数轴上如图所示：
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）找出解不等式的过程中的错误，并改正．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
两边都除以5，得．
【答

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