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2025年中考数学精选压轴题之二次函数综合探究
1．【提出问题】
定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______；
【深入探究】
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形 若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，如图一是函数y＝x2﹣1的图象，通过图象可以探究它的对称性，增减性，最值等情况．下面对函数y＝|x2﹣1|展开探索．经历分析解析式、列表、描点、连线等过程得到函数y＝|x2﹣1|的图象如图二所示：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … 8 3 a 0 1 b 0 3 8 …
（1）表格中a＝　 　，b＝　 　；
（2）观察发现：函数y＝|x2﹣1|的图象是轴对称图形，写出该函数图象的对称轴；
（3）拓展应用：①如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是　 　；
②已知方程|x2﹣1|＝k（k是一个常数）有两个解，则k的取值范围是　 　．
3．综合与探究
如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式．
(2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的顶点为，则四边形的面积是_____；（直接写出结果）
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
5．【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．

【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
6．在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B(点A在点B的左侧)两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．
特例感悟：
（1）已知：a=-2，b=4，c=6．
①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=____，|a|·AE·BF=___．
②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB//x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=_____，|a|·AE·BF=_______．
③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=___，|a|·AE·BF=___．
猜想论证：
（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|·AE·BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．
（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动(点C不与点A，B重合)，在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．
7．如图，在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以点C为顶点作，使得，连接．

【特例感知】
（1）如图1，若，，则与之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
【类比迁移】
（2）如图2，若，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，连接，若点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．求y与x的函数表达式，并求出y的最小值．
8．综合与实践
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．求与的函数表达式，并求出的最小值．
9．《函数的图象与性质》拓展学习展示：
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线G1：与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，则a= ，b= ．
【操作】将图1中抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G，如图②．请直接写出图象G对应的函数解析式．
【探究】在图2中，过点C作直线l平行于x轴，与图象G交于D，E两点．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
【应用】P是抛物线G2对称轴上一个动点，当△PDE是直角三角形时，直接写出P点的坐标．

10．【提出问题】
如图1，在中，，，求的最小值．
【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ．
【拓展提升】
如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值．
11．抛物线可以由抛物线平移得到，通常先求出的顶点坐标，再根据的顶点坐标，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题．
【初步感知】
（1）将抛物线向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得的图象；
【深入探究】
（2）将的图象平移，使得平移后的图象始终过点，且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将的图象向右平移多少个单位长度？
【拓展提升】
（3）将的图象平移后得到的图象，且使得的图象与直线在轴上方只有一个交点，直接写出的取值范围．
12．如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分．
【知识技能】
（1）直接写出抛物线的解析式；
【数学理解】
（2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值；
【拓展探究】
（3）设平面内存在动直线
①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数；
②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
13．探究与拓展
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．
(1)请直接写出点的坐标，和图2中的值；
(2)当时，求点的坐标；
(3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，在中，，点E是斜边上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______．
【类比迁移】
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
15．立志成为数学家的波波，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：
如图1，点M，N在线段上，点M在点N的左侧，若线段，，满足，则称点M、N是线段的钻石分割点．
（1）【类比探究】如图2，D、E是、上两点，且，M、N是边的钻石分割点，连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的钻石分割点．
（2）【知识迁移】如图3，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的钻石分割点．
（3）【拓展应用】如图4，已知一次函数与坐标轴交于A、B两点，与二次函数交于C、D两点，若C、D是线段的钻石分割点，求m的值．
参考答案
1．（1），；（2）存在，点C的坐标为或；（3）存在，或．
【分析】本题考查了新定义，二次函数和一次函数的交点问题、列方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键．
（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法列式计算面积，解方程即可；
（3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，，
∴点，是矩形 “梦之点”，
故答案为：，．
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴点A，B是直线上的点，
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴交于M，
∴，
设点C的坐标为，
∴，
∴．
解得，
∴点C的坐标为或；
（3）解：存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
解得：，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
2．（1）a＝，b＝；（2）x＝0；（3）①x＞1或﹣1＜x＜0；②k＞1或k＝0．
【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）根据函数的对称性得，a＝，b＝，
故答案为： ，；
（2）从图象看，函数的对称轴为x＝0，
故答案为：x＝0；
（3）①从图象看，如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是：x＞1或﹣1＜x＜0，
故答案为：x＞1或﹣1＜x＜0；
②设：y＝k，方程|x2﹣1|＝k（k是一个常数）有两个解，可以看成y＝|x2﹣1|和y＝k有两个交点，
从图象看，此时则k的取值范围是k＞1或k＝0，
故答案为：k＞1或k＝0．
【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
3．(1)，
(2)当时，的面积最大，最大面积为
(3)或或或．
【分析】（1）由，，得．将，代入即可求得抛物线的表达式，进而可求得点的坐标，即可用待定系数法求直线的表达式；
（2）用表示点的坐标为，可得，根据即可得出关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）设点的坐标为．可得，，．分三种情况：
①当为斜边时，，②当为斜边时，，③当为斜边时，，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解： ，，
．
将，代入得解得
二次函数的表达式为．
在二次函数的图象上，
，D．
设直线的表达式为，
把，代入得
解得，
直线的表达式为．
（2）解：如图，过点作轴的平行线交于点．
点的横坐标为，
点的坐标为，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
（3）解：存在，点的坐标为或或或．
，
对称轴为直线，点的坐标为，设点的坐标为．
，，．
分三种情况：
①当为斜边时，，即．
解得，，
点的坐标为或．
②当为斜边时，，，解得，
点的坐标为．
③当为斜边时，，
，解得，
点的坐标为．
综上所述，存在点使得为直角三角形，且点的坐标为或或或．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形存在性质问题等，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
4．(1)
(2)
(3)补全图形见解析，
【分析】（1）根据抛物线的对称性，求出点A的坐标，再利用待定系数法进行求解即可；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，先求出点坐标，C点坐标，利用四边形的面积为即可求解；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：设抛物线对称轴与x轴交于点E，则，
将代入，则，
∴，
∴，
将代入，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形的面积为，
；
故答案为：；
（3）解：过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵抛物线解析式为，
设，则：，
设直线的解析式为：，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
5．
（1）；
（2），，；
（3）或或或16
【分析】（1）先设出抛物线的解析式，利用待定系数法，将三点坐标代入求出抛物线的解析式；
（2）先利用平行四边形的性质，得出，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标；
（3）分，，三种情形，分别求解，求出的长．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上所述，的长为或或或16．
【点睛】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形判定与性质等知识点，熟悉相关性质，进行分类讨论，并结合图形进行求解是解题关键．
6．（1）①6，6；②2，2；③7，7；（2），见解析；（3）27
【分析】(1)①求得点A、B、C的坐标，得到点E、D、F三点重合，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；
②求得点A、B、C的坐标，得到点E、D、F三点重合，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；
③解方程组求得点A、B的坐标，再求得点C、D的坐标，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；
(2)利用参数法，设A、B、C三横坐标分别为：，直线AB的解析式为，根据一元二次方程根与的关系，求得|a|·AE·BF，再利用两点之间距离公式求得CD，即可证明；
(3)设点C的横坐标为，△ACB的面积为S，根据，点A，B的横坐标分别为-4，2，得到，，，利用三角形面积公式即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的最值即可求解．
【详解】(1)已知：，则抛物线的解析式为，
①令，则或，
∴点A、B的坐标分别为，
∵点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为
∵直线AB与x轴重合，
∴点E、D、F三点重合，
如图：
∴CD=6，
|a|·AE·BF=；
②令，则，
∴点A的坐标为
抛物线的对称轴为，
∵直线AB//x轴，
∴点B的坐标分别为
∵点C的横坐标为1，
∴点C的坐标为
∵直线AB//x轴，
∴点E、D、F三点重合，
如图：
∴CD=8-6=2，
|a|·AE·BF=；
③解方程组得：或，
∴点A、B的坐标分别为，
∵点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为
∵直线CD平行于y轴，
∴点D的横坐标为2，
把代入得：，
∴点D的坐标为
如图：
∴CD=CF-FD=6+1=7，
|a|·AE·BF=；
(2)数量关系为：，
理由如下：
设A、B、C三横坐标分别为：，直线AB的解析式为，
联立方方程和，消去并整理得：
，
∵是方程的两根，
∴，，
则，，
∴·AE·BF=
，
又∵点C的横坐标为t，
∴点C的坐标为
∵直线CD平行于y轴，
∴点D的横坐标为t，
把代入得：，
∴点D的坐标为
∴CD=
=，
∴CD=·AE·BF；
(2)设点C的横坐标为，△ACB的面积为S，
过点C作CD平行于y轴交AB于D，
∵点A、B的横坐标分别为-4、2，
则，，
∵，点A，B的横坐标分别为-4，2，
则抛物线的解析式为，
∴点A、B的坐标分别为，
设直线AB的解析式为，则，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
∴点C的坐标为点D的坐标为
∴，
∵，
由于，
∴当时，．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征等知识．理解坐标与图形性质，记住三角形的面积公式，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
7．（1），；（2），证明见解析；（3），最小值18
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等．
（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案；
（2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可；
（3）连接交于，利用勾股定理得到，再证明出四边形是正方形，继而得到关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
故答案为：，；
（2），证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接交于，由（1）知，，，

∴，
∴，，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴与的函数表达式：，
由，
∴其最小值为18．
8．（1），；（2），证明见解析；（3），最小值18
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案；
（2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可；
（3）连接交于，利用勾股定理得到，再证明出四边形是正方形，继而得到关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
故答案为：，；
（2），证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接交于，由（1）知，，，

∴，
∴，，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴与的函数表达式：，
由，
∴其最小值为18．
9．问题：，1；操作：；探究：-4＜x＜-2或0＜x＜1；应用：（-2，+）或（-2，-）.
【分析】问题：利用待定系数法将A和B的坐标代入，求出a和b的值即可；
操作：根据题意求出平移后的抛物线G2的表达式，结合G1的表达式即可得出结果；
探究：画出图像，求出两部分的抛物线的对称轴，以及D和E的坐标，结合开口方向，可得x的取值范围；
应用：由题意判断出∠DPE=90°，在△DPE中利用勾股定理求出PQ的长，从而得出点P坐标.
【详解】解：问题：∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
故答案为：，1；
操作：∵抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，
B（3,0），C（0，），，
∴平移后的抛物线G2的表达式为，
∵G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G，
∴图像G的解析式为；
探究：由题意可得：当x≥0时，，开口向下，对称轴为直线x=1，
令y=0，解得：x1=0，x2=2，
∴E（2，），
∴当0＜x＜1时，y随x增大而增大；
当x＜0时，，开口向下，对称轴为直线x=-2，
令y=0，解得：x1=-4，x2=0，
∴点D（-4，），
∴当-4＜x＜-2时，y随x增大而增大；
综上：图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x的增大而增大时，
x的取值范围是当-4＜x＜-2或0＜x＜1；

应用：∵△PDE是直角三角形，P是抛物线G2对称轴上一个动点，
∴只存在∠DPE=90°，
由题意得：D（-4，），E（2，），
当点P在直线l上方时，如图，设直线l与G2的对称轴交于点Q，
可得Q（-2，），
∴DQ=2，QE=4，DE=6，PQ⊥DE，
设PQ=m，在△PDQ和△PEQ中，
PQ2+DQ2=PD2，PQ2+QE2=PE2，
即，，
在△PDE中，PD2+PE2=DE2，
即，
解得：m=或m=（舍），
∴m+=+，
∴点P的坐标为（-2，+），
当点P在直线l下方时，同理PQ=，
此时点P的坐标为（-2，-），
综上：点P的坐标为（-2，+）或（-2，-）.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，待定系数法求二次函数表达式，勾股定理，有一定难度，解题的关键是结合图像，利用数形结合思想求解.
10．【解决问题】的最小值为2；【深入探究】；【拓展提升】线段的最小值为1
【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，解直角三角形；
[解决问题] 小明：根据勾股定理表示出，根据二次函数的性质求最值，即可求解；
小红：延长至点，使得，则点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而求得的最小值；
[深入探究] 设，则，勾股定理表示出，进而根据二次函数的性质求得的最小值，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出的最小值；
[拓展提升] 延长至点，使得，由题意得，证明，设，则，，延长至点，使得，得出点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而即可求解．
【详解】[解决问题]小明：设，则，在中，，
，
当时，有最小值，
的最小值为；
小红：如图1，延长至点，使得，
此时，且为等腰直角三角形，
，
点在过点且与的夹角为的直线上运动，
当于点时，最小，
此时，
的最小值为

[深入探究]；
设，则，
∵，
∴
∴
∴当时，取得最小值，最小值为
∵是的中点，
∴
∴的最小值为
[拓展提升]如图2，延长至点，使得，由题意得，
，
，，
又，
，
，
设，则，，
如图3，延长至点，使得，
，
，
，
，
点在过点且与的夹角为的直线上运动，
当于点时，最小，此时，
，
线段的最小值为．
11．（1）上， 3，右，2；
（2）右平移3个单位长度；
（3）的取值范围为，，或．
【分析】(1)根据抛物线顶点，向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得抛物线，顶点得出结论；
(2)设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为，再由已知可得: ，由“x为任意实数”可得，从而得出结论；
(3)把代入，得到，从而得到: 的图象与直线有交点时b的取值范围及交点的坐标，再由已知条件“在x轴上方只有一个交点”得出结论．
【详解】解：（1）抛物线的顶点是，抛物线的顶点为，而点向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得点，
将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得的图象，
故答案为：上，3，右，2；
（2）设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为，
将的图象平移，使得平移后的图象始终过点且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，，
整理，得，，
为任意实数，
，，
，
，
最多将的图象向右平移3个单位长度；
（3）①当平移后两个图象相切，只有一个交点时，，
即：，
两函数图象相切，
，
解得：，，
当时，两图象交于点，
当时，两图象交于点，
，都在轴上方，
当或，两图象在轴上方只有一个交点，
（2）当平移后两个图象不相切，在轴上方只有一个交点时，
与轴的交点为，
时，二次函数的值为：，
过点为，
过点为，
当时，两图象在轴上方只有一个交点，另一个交点在轴上.
解得：，
两图象在轴上的交点坐标为或，另一个交点在轴上方，.
与轴的交点为，
的对称轴为.
与轴的交点横坐标小于大于0，
的对称轴大于，
两个图象的一个交点在第四象限，一个交点在第一象限，，
与轴的交点为，
的对称轴为，
与轴的交点横坐标大于小于0，
的对称轴小于，
两个图象的一个交点在第三象限，一个交点在第二象限.
当或是，两图象在轴上方只有一个交点，
综上所述：的取值范围为，，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移规律是解题的关键．
12．（1）（2）（3）①当或时有2个交点；当时有4个交点；当时有3个交点
②不存在这样的，理由见解析
【分析】（1）先求出的顶点是，结合即可求解；
（2）作交于点Q，求出，设，则，可得，记边上的高为，则，记边上的高为，则，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）①根据函数图象解答即可；
②令，可求得，令，可求得，代入求出n的值，结合n的取值范围即可求解．
【详解】（1）∵
∴的顶点是
∴的顶点是
（2）作交于点Q，如图所示
设
依题可知
则
解得
∴
设，则
∴
记边上的高为，则，记边上的高为，则
∴
可知为关于的二次函数，其最大值在对称轴处取得
∴最大值为
（3）①当或时有2个交点
当时有4个交点
当时有3个交点
②令，即
解得
同理令，即
解得
若，即
即，即
∴
由①可知，若动直线与曲线有四个交点，则有
∴不存在这样的使得
【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键．
13．(1)点的坐标为，，
(2)点的坐标为或
(3)最大值为，的值为9
【分析】（1）根据点的坐标，代入二次函数解析式中，可求得，从而可得二次函数解析式，再求出点的坐标，然后求出点的坐标，再求出关于的函数解析式，从而可求得；
（2）先根据，求出的值，再求出点的坐标；
（3）先说明四边形为平行四边形，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，用表示出与，再根据，得出，求出的最大值．
【详解】（1）解：∵二次函数，点的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴点的坐标为．
二次函数，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
设点的横坐标为，的面积为，
∴，
当时，，
∴；
（2）当时，，解得：，
当点的横坐标为时，
，此时点的坐标为；
当点的横坐标为时，
，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，
∴四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
记点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值为，
此时的值为9．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，的最值，求一次函数的解析式等知识点，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式．
14．（1），；（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①，当时，的最小值为；②当时，为或．
【分析】（1）先证明，，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论；
（2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论；
（3）①先证明四边形为正方形，如图，过B作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为，结合，再解方程可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点B与点D关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
如图，当时，
此时，
同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，
当时，的最小值为；
②如图，∵，正方形，记正方形的中心为，
∴，
连接，，，
∴，
∴在上，且，为直径，
∴，
过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面积为，
∴，
解得：，，经检验都符合题意，
如图，
综上：当时，为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由DE∥AB证明△DCG∽△CAM，△CGH∽△CMN，△CHE∽△CNB，得到DG、GH、HE与AM、MN、NB之间的关系式，可证明DG2+HE2=GH2，从而证明G、H是线段DE的钻石分割点；
（2）可由直线y=-x+4与坐标轴分别交于A、B两点求出点A、B的坐标，用含a的代数式分别表示点P、E、F的坐标，再由两点的距离用含a的代数式分别表示AE2、FB2、EF2，证明AE2+FB2=EF2，从而证明E、F是线段AB的钻石分割点；
（3）由y=-2x+6与y=x2-4x+m联立成方程组并且解方程组，用含m的代数式分别表示点C、D的坐标，根据直线y=-2x+6与坐标轴交于A、B两点求出点A、B的坐标，由C、D是线段AB的钻石分割点列方程求m的值．
【详解】解：（1）证明：如图2，，
，，
，，
，
；
同理，
、是线段的钻石分割点，
，
，
、是线段的钻石分割点
（2）如图3，直线与坐标轴分别交于、两点，
，；
点在双曲线上，
，
，，，
，
，
，
，
，
、是线段的钻石分割点．
（3）如图4，直线与轴、轴分别交于、两点，
，；
由，得，整理，得，
直线与抛物线有两个交点，
△，
，
解得；
抛物线与轴的交点在点的上方，
，
的取值范围是；
解方程组，得，，
，，，，
、是线段的钻石分割点，
，
，
整理，得，
进一步整得，
解得，（不符合题意，舍去），
的值为．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质以及勾股定理、解一元二次方程、二次根式的化简等知识与方法，由于解题过程中涉及的等式变形较为复杂，所以在进行整理时应注重准确性，此题属于考试压轴题．

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