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2025年中考数学考前冲刺几何探究题专项复习
1．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，，．将沿着线段方向平移一定的距离得到，连接，．
【尝试初探】
（1）如图，当点和点重合时，求的长；
【深入探究】
（2）如图，连接，当时，求的值；
【拓展延伸】
（3）在点平移到与点重合的过程中，当是等腰三角形时，求的长．
2．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究．
定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形．
(1)观察思考
如图，在双直四边形中，，若，则的值为________．
(2)初步探究
如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由．
(3)类比探究
如图，在（）的基础上，若、，求的长（用含，，的代数式表示）．
(4)拓展应用
如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长．
3．【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
4．综合与实践
【问题背景】
菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断的意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动．
【基础训练】
(1)如图1．在菱形中，于点，于点．求证：；
【类比迁移】
(2)如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：；
【拓展应用】
(3)如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示）
5．综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转α到，连接，．
问题发现：（1）如图1，若，请直接写出的度数_______；线段，，之间的数量关系是_______．
类比探究：（2）如图2，若，求的度数及线段，，之间的数量关系；
拓展延伸：（3）如图3，若，，，当点A到直线的距离为1时，请直接写出的长．
6．将两块大小不同的等腰和等腰，按图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转连接、，延长交于点，连接．进行如下探究：
【初步探究】
（1）如图2，当时，则_____；
（2）如图3，当点、重合时，请直接写出、、之间的数量关系：__________；
【深入探究】
（3）如图4，当点E、F不重合时，（2）中的结论_____；（填“成立”或“不成立”）
【拓展延伸】
（4）如图4，若，，则_____．
7．【问题背景】
（1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：．
【问题拓展】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：．
【拓展探究】
（3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：．
8．【探究发现】
（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度；
9．综合与探究
在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动．
实践操作：
如图，在矩形纸片中，，
第一步：如图1，将矩形纸片沿 过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， 然后把纸片展平．
第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点恰好落在上 的点处，分别与交于点， 然后展平． 问题解决：
（1）求的长．
（2）判断与之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图3，延长相交于点， 请直接写出的长．
10．【问题提出】
（1）如图1，点，，在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则__________；
【问题探究】
（2）如图2，点，，不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
11．如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，点M，N，P分别为的中点．
【猜想证明】
（1）观察图1，试判断的形状并证明你的结论．
【变式探究】
（2）将图1中的绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时的形状并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）将图1中绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中面积的最大值．
12．综合与实践
如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程：
【特例感知】
（1）①如图2，当时，若，则 ；
②如图3，当时，若，则 ．
【猜想证明】
（2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可）
【拓展应用】
（3）如图4，在四边形中，对角线相交于点，若，试求边的长．
13．上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型．
（1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到．
（2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使．
①此时可证，进而得出 ；
②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想．
（二）探索应用
如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使．
（3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ．
14． 综合与实践
“几何画板”是一种常用的几何画图软件，利用“几何画板”可以非常直观、快捷、准确地探究图形的性质．
(1)操作发现，尝试探究
如图1，小颖在“几何画板”上先画了两条互相垂直的直线a，b（交点为O），接着画了等边三角形 ，其中点A，B 分别在直线a，b上，点C 在右侧，连接．固定点A， 使，让点B在直线 b 上运动，发现线段 存在最小值．为了求出线段的最小值，小颖又画了等边三角形（点D在下方），并连接， 如图2，得到与 的数量关系为 ，线段的最小值为 ．
(2)变换条件，再次探究
如图3，小颖改变了直线a，b的位置关系，使两直线所夹锐角为，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，求线段的最小值．
(3)拓展变化，深度探究
如图4，小颖将（1）中的条件“等边三角形”改为“以为直角边的等腰直角三角形”，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，请直接写出线段的最小值．
15．[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接．
[探索发现]
（1）当时，求证：；
[拓展探究]
（2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由．
《2025年中考数学考前冲刺几何探究题专项复习》参考答案
1．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）证明四边形是矩形得，再根据三角函数和勾股定理求出，进而得解；
（2）连接，设与交于点，证明，得到，，再证明，得到，，进而求出和，从而得解；
（3）由是等腰三角形，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可．
【详解】解：（1）在平行四边形中，，，
∵，
∴，
∵将沿着线段方向平移一定的距离得到，点和点重合，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，设与交于点，
∵将沿着线段方向平移一定的距离得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
在中，，
∴的值是；
（3）①当时，如图，连接，交AC于，
由（2）知：四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，作射线，
∵将沿着线段方向平移一定的距离得到，
∴，当时，最小，
此时四边形仍为菱形，
由①知：，
∴，
∴，
∴不成立；
③当时，点在CD的垂直平分线上，
如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴点在上，
∴，即，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，姜形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
2．(1)
(2)，理由见解析
(3)
(4)或
【分析】（）由已知可得，进而根据锐角三角函数即可求解；
（）证明即可求解；
（）证明，可得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解；
（）分点的对应点在的下方和上方两种情况，分别画出图形，利用正方形和相似三角形的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：分两种情况：①如图，当点的对应点在的下方时，
如图，过点作于点，
由（）知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理（）可得，，
∴，
由折叠的性质可知四边形为正方形，
连接，则，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当点的对应点在的上方时，
同理可得；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想并正确作出辅助线解答是解题的关键．
3．（1）；（2）②④；（3）见解析；（4）
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
∴正确选项的序号是：②④；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4），，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）欲证明，只需要证得即可；
（2）连接，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，由全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）在上取点，使，连接，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
又于点，于点，
，
在与中，
，
，
；
（2）证明：连接，
四边形为菱形，
，，
和均为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在上取点，使，连接，，
由（2）知为等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
．
5．（1） ；；（2）；；（3）或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出底角和的度数；通过旋转得到，由全等性质得出的度数，进而求出；再根据等腰直角三边关系及全等得到的线段相等关系，得出，，之间的数量关系．
（2）仿照（1）的方法得出，结合等腰内角和求出；通过作辅助线构建直角三角形，利用含角的直角三角形性质、勾股定理求出与的关系，进而得到，，之间的数量关系 ．
（3）先由等腰直角的边长求出的长度；根据和为直角，判断、、、四点共圆，再利用四点共圆性质得出为等腰直角三角形；分点在左侧和右侧两种情况，在中运用勾股定理求出的长度．
【详解】（1）在中，，，
由旋转得
，
，即，
在和中，
，
，，
，
．
故答案为： ；
（2）同理（1）可得，，
，，
，
，
在中，
，
又，
（3）在等腰直角三角形中，，
∴，，
．
如图1，当点D在左侧时，过点A作于点P．
，
A，D，B，C四点共圆，
则，
为等腰直角三角形，
．
在中，
，
．
如图2，当点D在右侧时，过点A作于点P，
则，
为等腰直角三角形，
．
在中，，
，
综上所述：BD的长为或
【点睛】本题考查等腰三角形性质、旋转性质、全等三角形判定与性质、四点共圆及勾股定理等知识，解题关键是通过证明三角形全等找到角度和线段关系，并依据不同条件灵活运用相关几何定理求解．
6．（1）；（2）；（3）成立；（4）
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得；
（2）先利用勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得；
（3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再在上取一点，使得，连接，证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得；
（4）设交于点，先求出，再根据（3）的结论求出的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵点、重合，是等腰直角三角形，，
∴，，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
（3）∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，在上取一点，使得，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴当点、不重合时，（2）中的结论成立，
故答案为：成立．
（4）如图，设交于点，
由（3）已证：，
由对顶角相等得：，
∴，
由（3）已证：，
∵，，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）先证明，再利用证明即可；
（2）先证明，，可得，可得，证明，结合，可得，分别为的中点，再进一步求解即可；
（3）如图，延长至，使，证明，可得，，在上取点，且，可得，，证明，可得，再证明，，结合相似三角形的性质可得结论；当在线段上，如图，同理可得结论.
【详解】证明：（1）∵D是的中点，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴分别为的中点，
又∵D是的中点，
∴，，
∴；
（3）如图，延长至，使，
∵，，
∴，
∴，，
在上取点，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
当在线段上，如图，
同理可得：.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
8．（1），；（2），理由见详解；（3）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角和平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）证，得，，再由平行线的判定得即可；
（2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论；
（3）延长至使得，连接，先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出的长．
【详解】（1）解：为边的中点，
，
，，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）解：，理由如下：
如图2，延长至点，使，连接，
为的中点，
，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
；
（3）解：延长至使得，连接，
为边的中点，
，
，，
，
，，
，
在中，，，，D为边的中点，
，
，
，
，
∴，
，
，
，即，
，
，
∴，
，
∴，
，即，
∴．
9．（1）3；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由四边形是矩形，可得由折叠，可得，设． 则，在中，，可得最后由勾股定理求解即可；
（2）由第一步折叠，可得垂直平分，由第二步折叠，可得，再证明最后由全等三角形的性质可得结论；
（3）连接．由四边形是矩形，可得再证明可得求得，由线段垂直平分线的性质可得再求得最后由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
由折叠，可得．
设． 则．
在中，，
在中，，
即．
解得．
（2）． 理由：
由第一步折叠，可得垂直平分．
由第二步折叠，可得．
在和中
（3）解：四边形是矩形，
，
如图，连接．
垂直平分．
由（2）得．
四边形是菱形．
在中．
【点睛】本题考查了矩形性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作出正确的辅助线．
10．（1）；（2），理由见解析；（3）仍然成立，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义及角度和差关系．
（1）根据平角得，结合角平分线得，再结合；
（2）有题意得，结合角平分线得，结合即可；
（3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可．
【详解】解：（1）∵点、、在一条直线上，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
（2）．理由：
∵是内的一条射线，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）仍然成立．理由：
∵平分，平分，
∴．
∵是内的一条射线，
∴，
∴，
则．
∵，
∴．
11．（1）等腰直角三角形，见解析；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）12.5
【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质：
（1）根据线段的和差关系得到，三角形的中位线定理得到，推出，即可得出结论；
（2）连接，证明，得到，推出，再根据三角形的中位线定理推出，即可得出结论；
（3）根据是等腰直角三角形，得到，根据，得到最大时，最大，此时的面积最大，进行求解即可．
【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵点M，N，P分别为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
连接，延长交于点，交于点，
∵旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M，N，P分别为的中点，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（3）由（2）知：是等腰直角三角形，，
∴，
∴当最大时，的面积最大，
∴当最大时，最大，的面积最大，
∵，
∴的最大值为10，
∴的最大值为5，
∴面积的最大值为：．
12．[特例感知]（1）①；②；
[猜想证明]（2）四条线段的比例关系为：，理由见详解
[拓展应用]（3）
【分析】（1）①当时，平行四边形是正方形，可证，得到，由此即可求解；②当时，四边形是矩形，则，，，可证，得到，由此即可求解 ；
（2）选择图1中的①：根据平行四边形的性质得到，且，可证，得到，，再证明，得到，即，由此即可求解；选择图1中的②：证明方法同上；
（3）如图所示，过作交于，则，，设，则，，设，，先证明，得到，解得，，再证明，得到，求出，，最后根据和列方程求解即可．
【详解】解：[特例感知]
（1）四边形是平行四边形，
①当时，平行四边形是正方形，如图所示，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
②当时，如图所示，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：；
[猜想证明]（2），理由如下，
选择图1中的①，四边形是平行四边形，点在线段上，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
图1中的②：四边形是平行四边形，点在直线上，，
同理，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，四条线段的比例关系为：；
[拓展应用]（3）如图所示，过作交于，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，，
∵，
∴
∵，
∴设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
去分母得，
整理得，
∵中，，
∴，整理得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明相似．
13．（1），或（，）；；（2）①；②直角，见解析；（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，熟练掌握相关知是解题的关键．
（1）由题易得，再根据，得到，所以，进而得到；
（2）①根据相似三角形的性质直接得解即可；
②由前述两问可得到，进而可证出，从而得解；
（3）证，得到，当最大时，最小，而，当且仅当三点共线时取等，进而得解．
【详解】解：（1）由题易知，或，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，或（，）；；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②为直角三角形，证明如下，
证明：由（1）得，
由（2）①得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
故答案为：直角；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，最小，
由题可知，点D在以A为圆心，2为半径的圆上运动，
∴，当且仅当三点共线时取等，
此时，
故答案为：．
14．(1)，2
(2)
(3)
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，推出，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，即线段最小值；
（2）同（1）可证，推出，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，即线段最小值；
（3）分和两种情况，时，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E，仿照（1）可证，；时，在下方作等腰直角三角形，使，证明，可得，即
【详解】（1）解：和是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
如图，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，
，
，
在中，，
的最小值为，
线段的最小值为，
故答案为：，2；
（2）解：如图，过点D作于点E，
同（1）可证，
，
由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，
，，
，
在中，，
的最小值为，
线段的最小值为；
（3）解：分两种情况：
当时，如图，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E，
和是等腰直角三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，
，，
四边形是正方形，
，
的最小值为，
线段的最小值为；
当时，如图，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E，
和是等腰直角三角形，
，，，
，即，
又，
，
，即，
由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，
，
的最小值为，
的最小值为，
综上可知，的最小值为．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段的性质，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造全等（相似）三角形，第三问注意分情况讨论．
15．（1）证明过程见详解
（2），理由见详解
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）如图所示，过点作，可得，由平行线的性质得到，根据，即可求解；
（2）设，则，根据平行线的性质，角的和差关系得到，由此即可求解．
【详解】解：（1）证明：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

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