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最值问题练习题-2025年九年级中考数学最值问题
1．已知三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为．
(1)将三角形作同样的平移得到三角形，在图中画出三角形，并直接写出的坐标；
(2)三角形的面积为___________；
(3)连接，为上的动点，直接写出长的最小值．
2．某校举办数学学科节需购买A，B两种纪念品，若购买A种纪念品2件和B种纪念品3件，共需65元；若购买A种纪念品3件和B种纪念品2件，共需60元．
（1）求A、B两种纪念品的单价各是多少元？
（2）学科节组委会计划购买A、B两种纪念品共100件，且A种纪念品的数量不超过B种纪念品数量的2倍，设购买A种纪念品m件，购买这些纪念品的总费用为W元，请写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．并计算费用W的最小值．
3．数和形是数学研究的两个主要对象，我们经常运用数形结合和转化的思想方法来解决一些数学问题．在平面直角坐标系中，有任意两点，，如何求，两点的距离？
如图1，过点，分别向轴，轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点．在中，由勾股定理得：．其中，，所以，两点间的距离．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离______；
(2)在平面直角坐标系中，若，，且，则的值为______；
(3)如图2，在直角坐标系中，已知点，，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．求的周长的最小值．
4．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，，请按要求完成下列任务．

任务一：将向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，画出，并写出的坐标；
任务二：将绕点B旋转，得到，画出，并写出的坐标；
任务三：在x轴上求作一点P，使的值最小，并求出点P的坐标及的最小值．
5．某运输公司安排大、小两种货车辆恰好一次性将吨的农用物资运往、两村，两种大、小货车的载货能力分别为吨/辆和吨/辆，其运往、两村的运费如下表：
车型 村（元/辆） 村（元/辆）
大货车
小货车
(1)求大、小货车各用了多少辆？
(2)现安排前往村的大、小货车共辆，所运物资不少于吨，其余货车将剩余物资运往村，设大、小两种货车到，两村的总运输成本为元，前往村的大货车为辆．写出与之间的函数解析式，当为何值时，调运总费用取得最小值，最少费用是多少？
6．如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当时，有最小值，求m的值；
（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；
（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．
7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题 ：求代数式的最小值．
解：

的最小值是．
(1)若则= ；
(2)若代数式的最小值是3，求k的值；
(3)已知a、b、c是的三边长，且满足下列关系式：，求c的取值的范围；
(4)已知满足，试比较代数式与的大小．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．
（1）若|a+3|+＝0，h＝2，求C点的坐标；
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在①的条件下，若点B，D及点（s，t）都是以关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的解（x，y）为坐标的点，试判断s+t与m+n的大小关系，并说明理由．
9．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是．
(1)分别判断函数和是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
(2)如果函数 的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
(3)如果函数（其中）是以为上确界的有上界函数，当时，求实数的取值范围．
10．已知在平面直角坐标系中，点．
(1)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论；
(2)若P为x轴正半轴上异于原点O的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，
①当P点在x轴上移动时，试判断线段的长是否会发生变化，如果不变求出线段的长，如果发生变化请说明理由；
②连接，直接写出线段的最小值．
11．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且满足．
(1)求点的坐标．
(2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且．
①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）．
②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系．
12．【研究背景】
小西同学用一张长方形纸片对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知，，点，分别在边，上，且．
【初始探究】
（1）小西将纸片沿直线翻折，点的对应点为，点的对应点恰好落在对角线上．
①求线段的长度；
②若点为线段上一动点，求的最小值．
【拓展提升】
（2）在（1）的条件下，在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，求折痕长．
13．如图，在Rt△ABC中，，，点D是线段AB上一点，把线段CD绕C点逆时针旋转90°到CE，连接AE、BE，BE交AC于点F，交CD于点G．
(1)如图1，求证：AE=BD；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，以BD为边构造等边△BDM，连接CM，直接写出CM的最小值．
14．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
15．如图1．直线l1：y＝与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线l2与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B两点，与直线l1交于点Q（6，a），点P为线段DQ上一动点．
(1)求直线l2的解析式；
(2)已知在y轴上有一动点E，直线l2上有一动点F，连接PE，PF，EF，当△PBD面积为6时，求△PEF周长的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将直线l2沿CD方向平移，使其平移后的直线l3恰好经过点P，平移后点B的对应点为B′，点M为y轴上一动点，点N为平面内任意一个动点，是否存在点M和对应的点N，使得以点P，B′，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)见详解，
(2)11
(3)3
【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、垂线段最短等知识，根据题意确定三角形的平移方式是解题关键．
（1）根据题意确定该三角形的平移方式，再确定点的位置并顺次连接即可得到三角形，然后确定的坐标即可；
（2）根据割补法求出三角形的面积即可；
（3）由点，的坐标可知轴，故当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意可知，三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为，
则该三角形的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度，
故平移后三角形的位置如下图所示，
此时；
（2）三角形的面积．
故答案为：11；
（3）连接，
∵，，
∴轴，
当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，如下图，
，
此时．
2．（1）A种纪念品的单价是10元，B种纪念品的单价是15元；（2）W＝﹣5m＋1500；1170元
【分析】（1）设A种纪念品的单价是x元，B种纪念品的单价是y元，根据关系式列出二元一次方程组；
（2）购买A种纪念品m件，购买这些纪念品的总费用为W元，根据题意列出W与m的函数关系式，由A种纪念品的数量不超过B种纪念品数量的2倍，列出不等式可求m的范围，由一次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）设A种纪念品的单价是x元，B种纪念品的单价是y元，
根据题意，得：，
解这个方程组，得，
答：A种纪念品的单价是10元，B种纪念品的单价是15元；
（2）设购买A种纪念品m件，购买这些纪念品的总费用为W元．
根据题意，得：W＝10m＋15（100﹣m）＝﹣5m＋1500
∵
∴．
∵﹣50，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝66时，W取得最小值，此时W＝﹣5×66＋1500＝1170．
答：费用的最小值为1170元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用．读懂题目，找到正确的数量关系是解答本题的关键．
3．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题，两点之间距离公式，解题的关键是理解题意，掌握材料中的方法．
（1）根据材料中的公式求解即可；
（2）利用两点之间距离公式得到关于的方程，即可求解；
（3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值．
【详解】（1）解：，，
，
，两点间的距离为，
故答案为：；
（2），，且，
，
解得：或，
故答案为：或；
（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的周长最小，的周长的最小值即为的周长，
，
，，
，
，
，
，
的周长的最小值为．
4．任务一：图见解析，；任务二：图见解析，；任务三：
【分析】任务一：根据平移的性质作出图形，再由点的位置写出坐标即可；
任务二：延长到，使，延长到，使，再连接；根据位置写出坐标即可；
任务三：连接交x轴于P，再利用待定系数法求出直线的表达式，根据求一次函数图象与x轴的交点坐标即可得点P坐标，利用勾股定理求出线段的长，根据两点间线段最短即可得出答案．
【详解】解：任务一、二：如图所示，和即为所作；，．
任务三：如图，连接，交x轴于点P，此时的值最小．

设直线的表达式为，
则，解得，
当时，
．
由勾股定理可得的最小值为．
【点睛】本题考查平移作图，中心对称作图，点的坐标，线段最短，勾股定理，熟练掌握平移与中心对称作图，线段最短和勾股定理是解题的关键．
5．(1)大货车用8辆，小货车用7辆；
(2)当时，调运总费用取得最小值，最少运费为元．
【分析】（1）设大货车用辆，小货车用辆，根据大、小两种货车共辆，运输吨物资，列方程组求解即可；
（2）设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为[]辆，根据表格所给运费，求出与的函数关系式；由函数关系式求使总运费最少的货车的最少费用．
【详解】（1）解∶设大货车用辆，小货车用辆，根据题意得∶
，
解得，
答：大货车用辆，小货车用辆；
（2）解；前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为[]辆，
根据题意得∶，
∴与的函数解析式为，，且为整数；
∵现安排前往村的大、小货车共辆，所运物资不少于吨，
∴，
解得∶，
又∵，
∴且为整数，
∵，>，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，最小值为，
∴当时，调运总费用取得最小值，最少运费为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往村的大货车数的关系．
6．（1）10；（2），见解析；（3）或
【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；
（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；
（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：（1）当点P与E不重合时，在中，，
当点P与E重合时，此时最小，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故时，值最小；
（2），理由如下：
如图，当即时，点P在AE上，过点P作，
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：
又∵ab，
∴PHab，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；
当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：
又∵ab，
∴PGab，
∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，
又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，
∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）
＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM
＝∠PCM－∠PDA，
∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键．
7．(1)3
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接用完全平方公式将代数式变形，求出的值，即可求解；
（2）先用完全平方公式将代数式变形，再根据题意列式计算即可求解；
（3）先根据完全平方公式化成两个平方式的和，利用平方式的非负性求出的值，然后再根据三角形的边的关系求出边的取值的范围即可；
（4）先通过方程组得，再利用作差法，将式子转化为关于z的二次三项式，通过完全平方公式变形，确定此二次三项式的符号即可比较大小．
【详解】（1）解：，
，
；
故答案为：3；
（2）解：的最小值为3，
，
；
（3）解：，
，
，
，
a、b、c是的三边长，
，
；
故的取值的范围是：；
（4）解：，
，
，
，
即．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握并运用完全平方公式求代数式的最值、判断式子的符号比较两个代数式的大小等是解答此题的关键．
8．（1）；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据非负数的性质，确定的值，即可确定的坐标，进而根据平移的方式求得点的坐标；
（2）①根据题意可得的坐标，进而可得轴，根据，即可得证；
②根据题意将点的坐标代入二元一次方程，利用加减消元法可得，进而可得与的关系．
【详解】（1）|a+3|+＝0，，
解得
h＝2
先向右平移个单位，再向下平移1个单位
，即
C点的坐标为
（2）①A（a，b），B（m，n）
将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点
的纵坐标相等，即到轴的距离相等
轴
x轴
②依题意，在①的条件下由轴
DE的最小值为1
点向右平移1个单位，再向下平移1个单位到点
点B，D及点（s，t）是px+qy＝k（pq≠0）的解
②-①得：
即代入①得
又
【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，点的平移，点到坐标轴的距离，二元一次方程的解的定义，加减消元法，理解题意掌握平面直角坐标系中点的坐标的意义是解题的关键．
9．(1) 不是有上界函数；是有上界函数，函数的上确界为；
(2)
(3)
【分析】（）根据有上界函数函数的定义和上确界定义分析即可；
（）根据函数的上确界和函数增减性得到，函数的最小值为，根据，函数的最小值不超过，列不等式求解集即可；
（3）当时，，此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，可得当时，最大值为1；当时，函数的最大值即为；当时，最大值为；当时，，此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，当，即时，最大值为；当，即时，函数的最大值即为；当，最大值为；据此可得当时，函数（其中）的最大值为1，此时不满足函数是以为上确界的有上界函数；当时，函数的最大值为，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，函数的最大为，三种情况结合函数是以为上确界的有上界函数，且建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数的图象经过第二象限，当时，的值随着的增大而增大，
∴函数值没有上确界，
∴ 不是有上界函数；
∵一次函数解析式为，，
∴的值随着的增大而增大，
∴时，函数值小于，
∴函数是有上界函数，函数的上确界为；
（2）解：∵在中，，
∴随的增大而减小，
∵，
∴函数的最大值为，最小值为，
∵函数 的上确界是，
∴，
∵这个函数的最小值不超过，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
综上所述，；
（3）解：当时，，
∴此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，
当时，则当时，函数有最大值，最大值为1；
当时，函数的最大值即为；
当时，则当时，函数有最大值，最大值为；
当时，，
∴此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，
当，即时，则当时，函数有最大值，最大值为；
当，即时，函数的最大值即为；
当，即时，则当时，函数有最大值，最大值为；
∴当时，函数（其中）的最大值为1，此时不满足函数是以为上确界的有上界函数；
当时，函数的最大值为，函数的最大值也为，
∴，
∴或（舍去），
∴此时；
当时，函数的最大值为，函数的最大值为，
∵，
∴当时，此时，
∴，
解得，
∴；
当时，函数的最大值为，函数的最大为，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，求不等式组的解集，一次函数和反比例函数的增减性等等，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
10．(1)，证明见解析
(2)①为定值，理由见解析；②
【分析】（1）根据是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，如图，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论；
（2）①是定值，作于，在上截取，连接，如图，证，根据余角的性质可得，进而可根据推出，可得，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论；②由①知点为定点，且，当时，线段有最小值，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）线段、、之间的数量关系为；
证明：，
，
将绕点逆时针旋转得到，如图，
则，，，，
，
，即、、三点共线，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
即；
（2）是定值，且；
作于，在上截取，连接，如图，则，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即是定值；
②由①知点为定点，且，，
，
如图，当时，线段有最小值，
，
，即的最小值为．
【点睛】本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
11．(1)
(2)① ②且
【分析】（1）直接根据绝对值的非负性求出的值即可；
（2）①先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点在轴正半轴上作答即可；
②过点作 轴于，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可.
【详解】（1）∵满足，
∴；
（2）①∵
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴；
∵且点在轴正半轴上，
∴
②如图3，过点作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动，
如图4，设直线与轴交于点，当时，最小．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，且，
又∵，
∴、均是等腰直角三角形，
∴，
∴且；
【点睛】此题考查的是坐标与图形，绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算．
12．（1）①；②；（2）
【分析】（1）①过点作于点，可得四边形是矩形，根据翻折的性质有，得出，根据得出，进而在中，勾股定理求得，即可求解．
②如图所示，过点作，过点作于点，过点作交于点，交于点，设交于点，则，根据，进而在中，求得，进而求得的长，即可求解；
（2）连接，根据折叠的性质得出垂直平分，在中，求得，进而得出是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：（1）①过点作于点，如图，
在长方形中，，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
根据翻折的性质有，
，，
，即
在中，
②如图所示，过点作，过点作于点，过点作交于点，交于点，设交于点，则
∵，
∴，
∴，
∴，设，则
∴，
∴，
∴
即的最小值为，
∵，，
∴
∴，
∵，
在中，
∴，
∴
∴的最小值为
（2）如图所示，连接
由（1）可得，
根据翻折的性质有：，，，，，
∵在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，
∴垂直平分，
∴，
在中，
，
设，则
∴
解得：，
∴，则
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握折叠的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)-
【分析】（1）由旋转可得，CE=CD，∠DCE=90°，即可由余角的性质求得∠ACE=∠BCD，则可由SAS证△ACE≌△BCD，即可得出结论；
（2）先证△CGH≌△BGD（SAS），得CH=BD，∠GCH=∠GBD，从而证得AE=CH，∠ACH=∠EAC=45°，又∠AFE=∠CFH，所以△AFE≌△CFH（AAS），EF=FH，即可证得结论；
（3）当CM⊥BM时，此时CM是最小，在∠BCM内，作∠MCN=60°，CN交BM于N，则∠MNC=30°，设CM= x，则CN=2x，MN=x，再证BN=CN=2x，则BM=（+2）x，再在Rt△CMB中，由勾股定理，求出CM长即可．
【详解】（1）解：由旋转可得，CE=CD，∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．
（2）解：如图，在GF上截取GH=GD，连接CH，
∵GH=GD，∠CGH=∠BGD，CG=BG，
∴△CGH≌△BGD（SAS），
∴CH=BD，∠GCH=∠GBD，
∵CG=BG，
∴∠GCB=∠GBC，
∴∠BCH=∠GCB+∠GCH=∠GBC+∠GBD=∠CBA，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCH=∠CBA=45°，
∴∠ACH=∠BCH=45°，
由（1）知：△ACE≌△BCD，
∴AE=BD．∠EAC=∠CBA=45°
∴AE=CH，∠ACH=∠EAC=45°，
又∠AFE=∠CFH，
∴△AFE≌△CFH（AAS），
∴EF=FH，
∴FG=FH+GH=EF+GD．
（3）解：当CM⊥BM时，此时CM是最小，如图，在∠BCM内，作∠MCN=60°，CN交BM于N，
∵CM⊥BM，∠MCN=60°，
∴∠MNC=30°，
设CM= x，则CN=2x，MN=x，
∵△BDM是等边三角形，
∴∠MBD=60°，
∵∠ABC=45°，
∴∠MBC=15°，
∵∠CMB=90°，
∴∠BCM=75°，
∴∠BCN=∠BCM-∠MCN=75°-60°=15°，
∴∠MBC=∠BCN，
∴BN=CN=2x，
∴BM=（+2）x，
∵AC=4，
在Rt△CMB中，由勾股定理，得CM2+BM2=AC2，
∴x2+[(+2)x]2=42，
解得：x1=-，x2=-(不符合题意，舍去)，
∴CM=-，
∴CM最小值为-．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，本题属三角形综合题目，难度适中，属中考试常考试题目．
14．（1）；（2）存在，，，，；（3）
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）利用平行线的性质，通过等面积变形的方法求解即可；
（3）首先利用函数法求出的面积最大时的M点的坐标，然后构造∠OCH=30°，再作NK⊥CH于K点，当M，N，K三点共线时，即MK⊥CH时，取得最小值，从而利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）将两点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在，理由如下：
由（1）得：，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
①如图，过A点作BC的平行线，交抛物线于P1点，
此时，根据平行线间距离处处相等，可得，
∵直线AP1与直线BC平行，
∴设直线AP1的解析式为：，
将代入得：，
∴直线AP1的解析式为：，
此时，联立，
得：，
解得：，，
代入分别求得：，，
∴，；
②由①可知，将直线BC向下平移至AP1时，即向下平移2个单位，满足条件，
同理，将直线BC向上平移2个单位，与抛物线的交点也满足条件，如图所示，
此时，直线P1P2的解析式为：，
联立，
得：，
解得：，，
代入直线分别求得：，，
∴，；
综上，存在这样的P点，分别为，，，；
（3）如图所示，作MQ∥y轴，交直线BC于Q点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
根据二次函数的性质，，抛物线开口向下，
∴当时，取得最大值，此时，，
此时，作直线CH，交x轴于H点，使得∠OCH=30°，再作NK⊥CH于K点，
则在Rt△CNK中，∠NCK=30°，
∴NK=CN，
即：求得最小值，等价于求的最小值，
显然，当M，N，K三点共线时，即MK⊥CH时，取得最小值，如图所示，
此时，延长MQ交CH于点R，则∠MRK=30°，
∵，∠OCH=30°，
∴OH=，即：，
设直线CH的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线CH的解析式为：，
∵直线MR∥y轴，
∴M，R的横坐标相同，
∴将代入，得：，
即：，
∴，
在Rt△MRK中，∠MRK=30°，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，熟练运用平行线的性质进行等面积变形，并且结合含有特殊角的直角三角形进行辅助线构造是解题关键．
15．(1)；
(2)；
(3)存在， 或或或
【分析】（1）设直线的解析式为：，将点Q的坐标代入直线：y＝并解得a的值，再将Q点坐标代入即可求解；
（2）根据面积为可以计算得出P点的坐标，此时作P关于y轴的对称点，关于直线的对称点,连接交y轴、直线于E、F两点，周长取得最小值，求得线段的长度即可；
（3）先根据平移后经过点P得出直线的解析式为：，计算出的长度，再根据菱形的性质得出M点的坐标，最后根据菱形四条边相等列方程即可得出N点的坐标（注意考虑到所有可能的情况）．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
将点的坐标代入直线：得：
∴，
将代入直线得，
解得：
故直线的解析式为：；
（2）解：由题意可得：,
∵面积为，
∴，
∴，
则，
此时作P关于y轴的对称点，关于直线l2的对称点,如下图所示，
可得，
设 而 由
解得： （不合题意的根舍去）
∴，
连接交y轴、直线l2于E、F两点，周长取得最小值，
,
即为线段的长度，
故周长的最小值为；
（3）解：存在，理由如下；
将直线沿方向平移，使其平移后的直线经过点P，平移后点B的对应点为点，∴Q移动到P的同时B移动到，
∵B，,,
∴,
∴
①当和为邻边时，如图，
在中，，
∴，
∴点M的坐标为，
将向右平移3个单位再向上平移个单位得到点M，将点P作相同的移动得到点N，
∴点N的坐标为，
同理可得，，
②当和为邻边时，如图，
设，
∵
∴
解得，或，
当时，
将P向左平移3个单位再向下平移个单位得到点M，作相同的平移得到点N，
∴，
同理可得，，
综上可知，存在点M和对应的点N，使得以点P，B′，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、几何最值问题以及菱形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称构造等腰三角形，将所求线段和的最小进行转化，灵活运用菱形的性质解题是关键．

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