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2025年九年级数学特殊四边形的计算提高冲刺
1．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．如图，在菱形中，，点为上一点，将沿翻折，点A落在处，连接并延长交于点，若，求的长．
3．如图，将长方形纸片进行折叠，使折痕的两个端点P、F分别在边上，顶点B落在边的E点处．已知．
(1)试求出的长度；
(2)请求的面积．
4．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．驿城区某校九年级学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距4米的测点D处安置测倾器，测得点M仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高的长（结果精确到1米；参考数据：，，）

5．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点经过最低点，最终荡到最高点处，若，点A与点的高度差米，水平距离米，求点与点的高度差的长．
6．校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上．

(1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm；
(2)设的长度为，矩形的面积为，
①求关于的函数解析式；
②求矩形的面积的最大值．
7．【问题情景】如图正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得度，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．

(1)【模型感知】请直接写出线段之间的数量关系；
(2)【模型应用】如图②，若m，请你计算儿童活动区的面积；
(3)【模型拓展】如图③，连接，若与线段分别交于点、点，则和仍满足（1）中的数量关系吗？若不满足，请写出新的数量关系并说明理由．
8．如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当t为何值时，．
(2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论．
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？
9．综合运用
小亮舅舅有块菱形菜地，已知．小亮舅舅想在，边上分别找一点E、F（不与端点重合），连接、，将菱形菜地分成三个区域，其中和区域种植黄瓜，剩余区域种植韭菜，小亮对此产生了浓厚的兴趣，主动帮助舅舅测量找点．
(1)当时，可以求得 ° ；
(2)保持的度数与第（1）问中的相等，改变点E、F的位置，使得无论点E位于何处，与的和都为10 m．
①请你帮助小亮计算菱形菜地的面积；
②舅舅告诉小亮，他想要种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，请你帮助小亮求的长．
10．综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：
（1）小明证明用到的判定定理是：　　；
． ． ． ．
（2）的取值范围是 　　．
小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
（3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长．
11．如图，已知在正方形中，E是的中点，F为上的动点（不与A，B重合），连接，交于点P，连接．

(1)推断与计算
①当F在中点时，B，P，D三点恰好共线，则__________；
②若正方形的边长为1，在①的条件下，求的面积；
(2)猜想与证明
请猜想与的数量关系，并证明这个结论：
(3)拓展与应用
当是等腰三角形时，求的值．
12．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．

【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
13．五一假期期间，小育和小才约定一同去某公园游玩，如图，该公园有两个门．经测量，东门在西门的正东方向，米．小育自公园东门处出发，沿北偏西方向前往游乐场处；小才自西门处出发，沿正北方向行走一段距离到达C处后，然后沿北偏东方向行走米到达游乐场处与小育汇合．

(1)求公园东门与游乐场之间的距离（结果保留根号）；
(2)若小育和小才两人分别从两门同时出发，假设两人前往游乐场的速度相同．请计算说明小育和小才谁先到达游乐场？（参考数据：，，）
14．“三角形的三条角平分线交于一点”，易知点I到三角形三边的距离相等，把点I到三角形三边的距离相等的线段记为r，下面我们来研究一下直角三角形中r的求法，并学以致用．
(1)已知，如图1，在中，，，，，面积为S，方法一：，∴　　（用a、b、c表示）；
方法二：可以发现四边形为正方形，即，则，，所以可以得到r的另一种表达方式　　（用a、b、c表示）；
由方法一和方法二我们可以得到一个等式 ．
(2)去分母进一步化简这个等式后，我们可以发现直角三角形三边a、b、c存在什么关系？
(3)如图2，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，，，D为边的中点，若E为边上的一个动点，则的最小值为 ．
15．九年级的小明，小亮与其他数学爱好者在网课学习期间交流了如下问题：
(1)如图①，在中，D，E分别为，上两点，，，，，则______．
(2)在学习了北师大版数学九下46页关于直角三角形内接矩形问题后，小明提出了一般三角形的内接矩形问题．如图②，四边形是的一个内接矩形（矩形四个顶点在三角形三边上），如果，，请计算当为多长时，矩形面积最大？
(3)研究完问题（2）后，小亮又想知道如何去画的一个内接正方形，他又请教了数学张老师，知道了用位似的方法可以解决并证明．如图③，在边上任取一点，作正方形，使，落在边上，连接并延长交于点E，作，，，即可得到正方形，大家称线段为“缩放线”．张老师又启发同学们一起解决下列问题，如图④，在中，若，边上的高记为x，在“缩放线”上取，连接，，当时，设三角形的面积为y，请探究y与x的函数关系式．
《2025年九年级数学特殊四边形的计算提高冲刺》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论；
（2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：由四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中：
，
，
．
（2）解：如图，连接交于点，
，
，
，
．
2．
【分析】根据折叠和菱形的性质，得，根据等腰三角形的性质得；设，再根据三角形内角和性质计算得；再根据相似三角形的性质，通过证明，即可完成求解．
【详解】解：过点作，交CD于点G，延长交CD于点H．
得：，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点A落在处，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质等知识；构造辅助线，证明三角形相似是解题的关键．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键．
（1）过P作于H，根据勾股定理求出，进而可以解决问题；
（2）设，则，根据勾股定理求出x，得，，然后利用三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过P作于H，
在中，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积．
4．电池板离地面的高度的长约为8米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，矩形的性质与判定，三角形内角和定理．
连接，并延长交于点F，可证四边形，四边形均是矩形，设米，可求（米），由，解得 米，可求的长．
【详解】连接，并延长交于点F，

由题意可得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
设米，
∵，
∴四边形，四边形均是矩形，
∴米，米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∴（米），
∴在中，，
解得
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴米，
∴（米）．
答：电池板离地面的高度的长约为8米．
5．4.5米
【分析】作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，在中，根据勾股定理可求，即得，再根据勾股定理和线段的和差关系可求点C与点B的高度差．
本题主要考查了全等三角形，勾股定理，矩形等．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，矩形的判定与性质，添加辅助线构造两个全等的三角形，是解决问题的关键．
【详解】过点A作于F，过点C作于G，
∵，，，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得．
则．
故点与点的高度差的长为4.5米．
6．(1)
(2)① ②矩形的面积最大值为
【分析】（1）根据勾股定理求出长，然后利用等腰直角三角形的性质得到然后根据矩形纸片周长是纸片周长的一半列方程求解即可；
（2）①根据计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵矩形纸片周长是纸片周长的一半，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）①；
②，
∵
∴当时，最大，最大为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，方程，二次函数的图像和性质，利用配方法计算是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，则，得到，，，再证明，即可得到；
（2）由正方形的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，则，得到，设，则，，在中，，即，求出，即，最后根据，进行计算即可得到答案；
（3）将绕点逆时针旋转得到，则，得到，，，，由正方形的性质可得，证明，得到，求得，最后由勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，
，
则，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，即；
（2）解：四边形是正方形，边长为60米，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，
则，
，
，，
由（1）可得，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
，
；
（3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，
，
则，
，，，，
四边形是正方形，为对角线，
，，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
8．(1)
(2)四边形的面积是，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一）
(3)当经过秒或3秒时，与相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定及矩形动点问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
（1）根据题意得出，由于，列方程并解出即可；
（2）根据计算即可得出结论；
（3）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，
∴，
，
∴，
解得：；
（2）解：在中，
∵，QA边上的高，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变；
（3）解：在矩形中，
，
分两种情况：
当时，即，
解得：（秒）；
当时，即，
解得：（秒）．
故当经过秒或3秒时，与相似．
9．(1)
(2)①；②
【分析】（1）连接，，由菱形的性质和得是等边三角形，进一步得到，，有，得到，，，则有是等边三角形可求得答案．
（2）①连接，过点E作交于点G，由菱形的性质得，，有，，则有和是等边三角形，得到，进一步有，，则和，证得，利用边相等求得菱形边长，过点A作于点H，解直角三角形求得的面积即可求得菱形面积；
②过点A作于点H，过点F作交的延长线于点M．结合①知，，，设求得、、、和及面积，根据题意列出即可求得答案．
【详解】（1）解：连接，，如图①，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
（2）①连接，过点E作交于点G，如图②，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴是等边三角形
∴，
∴，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的边长为10 m，
即，
过点A作于点H，则，
∴，
∴，
∴；
②过点A作于点H，过点F作交的延长线于点M．如图③，
由（2）①知，，，设则，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴的长是m．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和解直角三角形，通过做辅助线证明三角形全等是解题的关键．
10．（1）A；（2）；（3）
【分析】（1）延长到，使，连接，由即可证明问题；
（2）由三角形三边的关系即可求出的取值范围；
（3）延长，交于，即可证明，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到．
【详解】（1）证明：如图2，延长到，使，连接，
是中点，
，
在和中，
，
．
故选：；
（2）解：∵，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图3，延长，交于，
四边形是正方形，
，
∴，
，
是中点，
，
∵，
∴，
∴，，
，
垂直平分，
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
11．(1)①；②
(2)，证明见解析
(3)或或
【分析】（1）①如图所示，连接，证明，即可得到；
②先根据正方形的性质得到，，则，由，得到，再由E是的中点，可得；
（2）如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，求出 则，，即可得到，进而证明；
（3）如图3-1所示，当时，如图3-2所示，当时，如图3-3所示，时，三种情况建立方程求出m的值，再根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：①如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵F是中点，
∴，
∵，B、D、P三点共线，
∴，
∴，
故答案为：；

②∵正方形的边长为1，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴
∴，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；

（3）解：由（2）得
如图3-1所示，当时，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在直线上，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴在中，；

如图3-2所示，当时，
∴，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴在中，；

如图3-3所示，时，
∴，
∴，即
解得或（所去），
经检验是原方程的解，
∴在中，；
综上所述，的值为或或．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，勾股定理，求角的正切值，等腰三角形的定义等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
12．线段的长为．
【分析】方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；
方案二：将绕点旋转至处，证明，推出，设，同方案一即可求解．
【详解】解：方案一：连接，如图2．

∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由翻折的不变性，知，，，
∴，，又，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．

∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由旋转的不变性，知，，，
则，
∴共线，
由翻折的不变性，知，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
13．(1)米；
(2)小育先到达游乐场，理由见解析；
【分析】（1）根据矩形的性质及锐角三角函数即可解答；
（2）根据等腰直角三角形及矩形的性质即可解答．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∵米，，，
∴米，米，
∴米，
∵米，
∴（米），
∴（米），
即公园东门与游乐场之间的距离米；
（2）解：∵，米，
∴米，
∴米，
∴（米），
∵（米），
∴，
∴小育先到达游乐场，
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，锐角三角函数，掌握锐角三角形函数是解题的关键．
14．(1)，，
(2)
(3)10
【分析】（1）如图1，作，且，由及得到，即可得到，再证明四边形为正方形，得到，，由得到，进一步求得，即可得到；
（2）由变形得到直角三角形三边a、b、c的关系为：；
（3）作点D关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点E，连接，由，得到此时的值最小，进一步求出即可．
【详解】（1）解：如图1，作，且，
方法一：∵的三边长，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴；
方法二：∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，，
（2）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即直角三角形三边a、b、c的关系为：；
（3）解：∵，D为边的中点，
∴，
∴点，
如图，作点D关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点E，连接，
，
此时的值最小，
∵在矩形中，，，D为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为10，
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质、勾股定理、轴对称最短路线问题、全等三角形的判定和性质等知识，运用等积法和轴对称是解题的关键．
15．(1)4；
(2)当时，矩形面积有最大值15；
(3)y与x的函数关系式．
【分析】（1）由可证明，列出比例式即可得到答案；
（2）过点作于，交为，利用，，可求得，设，，则，由，可得，利用相似三角形性质可求得，，再利用，建立等式，列出与的函数关系即可求得答案；
（3）借助（2）的思路，用表示出，过点作于点，由等腰三角形性质可得，，由AAS可证明，可得，通过证明，可得：，即可得，再通过即可得y与x的函数关系式．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
故答案为：4．
（2）过点作于，交为，
∵，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
即：
∴当时，矩形面积有最大值15．
（3）记边上的高记为x，则边上的高为
则∵
∴，
∴，
∵
∴，解得：
过点作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，且，，
∴（AAS），
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴
即：y与x的函数关系式．
【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

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