资源简介

2025年九年级数学特殊四边形的计算提高冲刺
1．在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点．
(1)如图1，若点F在边上，，求的长；
(2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长；
(3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
2．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形？
(2)当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？
(3)当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？
3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，点E从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．
(1)当点H与点D重合时， _______；
(2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)设矩形的对角线与相交于点．
①当时，t的值为_______；
②当时，直接写出移动的路径长．
4．如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点．
(1)若为等腰直角三角形．
①求直线的函数解析式；
②在轴上另有一点的坐标为，请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值．
(2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．
5．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)过A作于P点，连接，则的值．
6．已知正方形，点E为上一点，将正方形沿折叠，点A落在点F处．延长与交于点G，连接．
(1)如图1，求证：平分；
(2)连接，与交于点H，与交于点K，连接．
①如图2，请探究的形状，并说明理由；
②如图3，若点E为的中点，请直接写出的值．
7．如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证：
(1) ；
(2)四边形是菱形．
8．综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接．
(1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内．
①______；（用含字母a的代数式表示）
②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：．
(2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系．
(3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值．
9．如图，点分别在的边上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形．
(1)你选择的补充条件是______；（填序号）
(2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程．
10．【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形，，对角线，相交于点，，反比例函数与矩形交于点H，G，．
【问题解决】
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的值；
(3)如图2，过点作于点于点，求的值．
11．如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为．
(1)当点落在线段上时，求线段的长．
(2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值．
(3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围．
(4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值．
12．如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，连接交于点G．
(1)求证：；
(2)取的中点P，求证：点B、P、D在同一条直线上；
(3)在（2）的条件下，
①当点G是中点时， ；
②当点E是中点时，求的值．
13．定义：若一个凸四边形的对角线相等，那么我们把这个凸四边形叫作“等线四边形”．

(1)以下四边形中，是“等线四边形”的为_______．（填序号）
平行四边形；矩形；菱形；正方形．
(2)如图，在正方形中，，分别为，上的点，且，连接，．求证：四边形为“等线四边形”．
(3)如图，在中，，．
请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
在的条件下，为直线上一点，若以点为顶点的四边形是“等线四边形”，直接写出这个“等线四边形”的面积．
14．如图，在菱形中，点E，F分别在边，上，
(1)求证：；
(2)为中点，交于点，垂足为．
①求证：；
②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明．
15．【问题再现】如图①，点E，F分别在正方形的边，上，．
求证：．
思路：可以将绕点A顺时针旋转得到，可以把分散的线段，集中到同一条线段上．
（1）请依据该思路对“问题再现”进行证明．
【类比探究】
（2）如图②，在等边中，点D，E在边上，．求线段的长．
【拓展延伸】
（3）如图③，在中，，点D，E在边边上，连接，， ，，，则线段的长为 ．（直接写答案）
参考答案
1．(1)2.5
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据矩形的性质证明，即可求解；
（2）先求出，过点F作于点M，证明，得到，则，设，则，再证明，则，得到，再解一元二次方程即可；
（3）连接，设，由得到，整理得到，可求y有最大值，而，那么当时，有最大值，为，由于，则取最大值时，有最小值为：．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
如图 ，过点F作于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
解得：，（舍），
∴；
（3）解：的长度是存在最小值，连接，
设，
由（1）得，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，y有最大值，
∵，
∴当时，有最大值，为，
∵，
∴
∴取最大值时，有最小值为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握基本图形“一线三等角”相似是解题的关键．
2．(1)当时，四边形是矩形
(2)当时，四边形是菱形，菱形面积为
(3)当或3时，是以为一腰的等腰三角形
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是：
（1）根据矩形的判定得出当时，四边形是矩形，然后列出关于t的方程求解即可；
（2）先证明四边形AQCP为平行四边形，然后根据菱形的判定得出时，四边形为菱形，后列出关于t的方程求解即可；
（3）分，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
当时，四边形是矩形，即：，
解得．
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：，，
，即
，
四边形为平行四边形，
在矩形中，
当，即时，四边形为菱形．
解得：．
答：当时，四边形是菱形；
当时，，面积为：；
（3）解：①当，即时，为等腰三角形，
解得：；
②法一：当，即时，为等腰三角形，
整理得：，
解得，
法二：过点作交于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
又，
，
解得，
综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形．
3．(1)；
(2)；
(3)①4；②．
【分析】（1）先根据菱形的性质、矩形的性质、勾股定理得到、；当点H与点D重合时，，据此求解即可；
（2）分点H在边上和H在边延长线上两种情况，分别根据菱形的性质、矩形的性质求解即可；
（3）①当时，先证明G与C重合、E与B重合，进而完成解答；②先点在固定的射线上，当时，根据菱形的性质、矩形的性质、三角形中位线、勾股定理得到，易得，，最后运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： ∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
当点H与点D重合时，，
∴，解得：．
（2）解：如图1：当点H在边上，即，
∴矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积；
②如图2：当H在边延长线上，即时，设交于M，
在中，，
∴，
∴矩形与菱形重叠部分图形的面积
综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积．
（3）①如图3：当时，
∵四边形是矩形，
∴是的中点，
∵，
∴是的中位线，
∴O是中点，
∴，
又∵O是中点，，
∴G与C重合，此时，E与B重合，
∴．
故答案为：4．
②如图：过作于M，连接，设，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵矩形的对角线与相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，即，
∵，
∴，
∴点在固定的射线上，
如图4：当时，延长交于N，由题意可知：，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵矩形的对角线与相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，即，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，解得：，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查菱形性质及应用、矩形的性质应用、勾股定理、中位线定理等的应用、解直角三角形等知识点，确定点的轨迹成为解题的关键．
4．(1)①；②，
(2)
【分析】（Ⅰ）①根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式；
②在上取点，使，连接，，则，证明，得出，证明，得出，可求出，根据两点间距离公式求出，，由，则当E、M、共线时，，最小值为，故周长的最小值为，进而可求出M的坐标；
（2）作于H，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式．
【详解】（1）解：①∵矩形，，，
∴，，，，，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式，过点、点，
∴，解得：，
∴直线的解析式；
②∵，
∴，
∵，
∴，
在上取点，使，连接，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴当E、M、共线时，，最小值为，
∴周长的最小值为，
∵，，
∴轴，，
∴M的纵坐标为1，
把代入，得，
解得，
∴．
（2）解：如图，作于H，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
设直线的解析式，
∴，
∴，
∴直线的解析式．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，两点之间线段最短．灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
5．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用证明即可；
（2）延长至F，且使，连接、，利用证明，得出，由为的中位线得，利用平行线的性质即可证明；
（3）过点B作交于Q，利用证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：延长至F，且使，连接、，如图1所示：
则，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴N为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过点B作交于Q，如图2所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
由角的互余关系得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)①为等腰直角三角形，理由见解析；②
【分析】（1）由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可证明，据此证明得到，则可证明结论；
（2）①由折叠的性质可得，由（1）可得，则，可推出四点共圆，得到，则为等腰直角三角形；
②证明，可得到；将绕点C旋转得到，连接，则，，，证明，得到，再证明，得到，设，则，即可得到，可求出，则，即可打得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：①为等腰直角三角形，理由如下：
由折叠的性质可得，
由（1）可得，
∵，
∴，
由正方形的性质可得，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴为等腰直角三角形；
②∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴；
如图所示，将绕点C旋转得到，连接，则，，，
由（2）可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，四点共圆等等，解（2）①的关键在于证明四点共圆，解（2）②的关键在于通过旋转把三条线段转换到一个直角三角形中．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据垂直平分线的性质得，结合平分，得，即可证明；
（2）先由等边对等角得，进行角的等量代换得，证明，故四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
【详解】（1）证明：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
8．(1)
(2)，证明见解析
(3)3
【分析】（1）①利用折叠性质直接求解即可；
②连接，先证明，得到， 再在中，利用勾股定理求解即可；
（2）证明得到，由可得结论；
（3）点和点在点的异旁时，过E作交延长线于R，先证明，是等腰直角三角形，，，再证明得到，进而得到即可求解；当点和点在点的同旁时，同理求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
由折叠性质得；
故答案为：；
②证明：如图2，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠性质得，，，
∴，又，
∴，
∴，
设，
∵M为中点，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
解得，则，
∴；
（2）解：．
证明：如图3，
∵，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：分两种情况：
①点和点在点的异旁时，如图，过E作交延长线于R，
则，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，又，
∴，
∴．
②当点和点在点的同旁时，如图，过E作交延长线于F，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
综上分析可得，．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练运用全等三角形的性质和相似三角形的性质是解答的关键．
9．(1)①（③）
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
（1）添加合适的条件即可；
（2）证四边形是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】（1）解：补充条件①或③皆可，（答案不唯一）；
故答案：①或③
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即．
∵，
∴四边形是平行四边形．
补充条件①：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形．
补充条件③：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据矩形的性质和勾股定理得出，由得，可得，从而可求出反比例函数的解析式；
（2）直接根据正切的定义求解即可；
（3）连接，根据三角形面积关系得到，即，从而可求出的值．
【详解】（1）解：在矩形中，
∵，，，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，即，
将点代入中，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴
（3）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
11．(1)
(2)或
(3)或或
(4)或
【分析】（1）当点落在线段上时，根据正方形的性质和矩形的性质，得到，，证得，推出，然后利用勾股定理求得，代入计算即可得到的长度；
（2）分情况讨论：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，可知此时四边形和都是矩形，然后根据正方形的性质，得到，，，进而用证明，得到，，，最后得到，即可求得的值；②当点在上时，设线段中点为，交于点，连接，此时线段和线段共线，同①，，，，，进而得到和为等腰直角三角形，求得，，，从而得到，最后求得，即可求得的值；
（3）分情况讨论：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形；②当点在上时，此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；③当点在上，且时，设交于点，易证，此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形，然后根据矩形的性质和勾股定理求得，即可求得的值；④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
（4）分情况讨论：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，根据面积关系可证，结合，利用可证，得到点为正方形的对角线中点，接着利用可证，从而求得，进而求得，可知此时；③当点在上时，作于点，于点，设与交于点，则四边形、四边形和四边形均为矩形，设，则，，，，先证明，得到，用表示出，进而得到，然后根据重叠部分面积，用表示出来；接着利用勾股定理用表示出，最后根据面积关系得到关于的方程，解之，结合，即可得到，进而得到此时的值．
【详解】（1）解：当点落在线段上时，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
．
（2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示，
则，
四边形为矩形，，，，
四边形和都是矩形，
，；
四边形是正方形，为的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当在线段上，线段中点落在线段上时，；
②当点在上时，
线段中点落在线段上，
此时线段和线段共线，
设线段中点为，连接，设交于点，如图所示，
四边形是正方形，为的中点，
，，，，
，
同①可知四边形和都是矩形，
，
线段和线段共线，，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当点在上，线段中点落在线段上时，；
综上，当线段中点落在线段上时，或．
（3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
②当点在上时，如图所示，
此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；
③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示，
，，，
，
此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形；
作于点，设，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形．
（4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示；
②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示，
则四边形和都是矩形，
，；
，
，
；
，
，，
，
，即点为正方形的对角线中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示，
则四边形、四边形和四边形均为矩形，
设，则，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
重叠部分面积
，
在中，，
，
，
整理得，，
解得，
，即，
，
，
，
时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的识别等，熟练掌握以上知识点作出合适的辅助线采用分类讨论的思想是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)①2；②
【分析】（1）利用正方形的性质即可证明；
（2）作于点，作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质以及点P是的中点得出，，通过证明，推出，得到点P在的平分线上，再根据正方形的性质即可证明；
（3）①连接，利用相似三角形的性质与判定即可求解；②作、，垂足分别为、，设正方形的边长为，先证明，得到，，利用正方形的判定推出四边形是正方形，再通过证明得到，利用线段和差求出的长，即可求解．
【详解】（1）证明：正方形，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，作于点，作于点，连接，
，，
是等腰直角三角形，
点P是的中点，
，，
，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，即，
，
，
点P在的平分线上，
正方形，
点D在的平分线上，
点B、P、D在同一条直线上．
（3）解：①如图，连接，
由（2）得，点B、P、D在同一条直线上，
点G是中点，
，
正方形，
，，
，
．
故答案为：2；
②如图，作、，垂足分别为、，则，
设正方形的边长为，
则，
点E是中点，
，
，，，
，
，，
，
，
又，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、相似三角形的性质与判定，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
13．(1)；
(2)见解析；
(3)见解析；或．
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可求解；
（）连接，由四边形是正方形，得，，然后证明即可；
（）根据作垂线的方法即可求解；
分当时和当时两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
矩形的对角线相等，符合题意；
菱形的对角线互相垂直，不符合题意；
正方形对角线相等，符合题意；
故选：，
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等线四边形”；
（3）解：如图，即为所求；
如图，当时，设交交于点，与交于点，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴“等线四边形”的面积为；
如图，当时，设交交于点，过作交于延长线于点，则，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴“等线四边形”的面积为
，
综上可知：“等线四边形”的面积为或．
14．(1)证明见解析
(2)①证明见解析 ②；证明见解析
【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知证明即可得证；
（2）①先证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，结合三角形相似的判定证明，得到比例式，再利用相似的判定定理2证明即可；
②延长，交于点，证明，利用特殊角三角函数计算解答即可．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）①证明：如图，连接EF，
由（1）知，
，
，
是等边三角形，
为中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
．
②解：，
证明如下：如图，延长，交于点，
，
，
，
即，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
即．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
15．（1）见解析
（2）
（3）2
【分析】（1）将绕点A顺时针旋转得到，证明，即可由全等三角形的性质得出结论；
（2）将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点F作交延长线于G，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，再证明，即可求解；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点D作于G，先证明，再求得，则，设，则，由勾股定理得：，从而求得，根据得，解得：，即可求解．
【详解】解：（1）∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
将绕点A顺时针旋转得到，如图①，
由旋转性质得：，，，，
∴，，
∴，G、B、E三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴即．
（2）∵等边
∴，，
∵
∴
将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点F作交延长线于G，如图①，
由旋转可得：，，，，
∴，
∴，
∴
∴
∵交延长线于G，
∴
∴
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∵，，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点D作于G，如图③，
由（2）同理可得，
∴
∵
∴
由旋转可得：，，
∴
在中，，
设，则，
由勾股定理得：
∴
∵
∴
解得：
∴．
故答案为：2.
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质应用，勾股定理，直角三角形的性质．利用旋转性质，正确作出辅助线是解题的关键．

展开更多......

收起↑