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2025年中考数学考前高频考点冲关：切线的判定与性质
1．如图，是以为斜边的等腰直角三角形，点O为圆心、长为半径作半圆交的延长线于点A，过点C作，且．连接，分别交于点E，F，与交于点G．
(1)求证：①；
②是的切线．
(2)若，求的长．
2．如图，在中，，点在边上，以为半径的半圆交于点，交于点，在边上取一点，连接，使．
(1)求证：为半圆的切线；
(2)若，，求的长．
3．如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，的延长线与过点的直线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：是⊙的切线；
(3)点是的中点，点在上且与点异侧，过点作于点，判断与的数量关系并说明理由．
4．如图1，在中，，以为直径作交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，在上取一点，连接，，．若，．求的面积．
5．如图，内接于是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求圆O的半径．
6．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
7．已知：中，，以为直径的分别交，于点，．

(1)如图①，若点为的中点，连接，求和的大小；
(2)如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长．
8．如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，求四边形面积的最大值．
9．如图，在中，，，过A，C两点的交于点D，过点D作的切线交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
10．如图，，分别与相切于B，C 两点，的延长线交弦于点E，，连接．
(1)求证：．
(2)若，的直径为4，求的长．
11．如图1，四边形内接于，平分，交于点E，过点D作的切线，交的延长线于点F．
(1)求证：．
(2)如图2，若经过圆心O，且，求的值．
12．如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分．
(1)求证：．
(2)若是的切线．
①求证：．
②若，，是的中点，则的半径为_____．
13．如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，，求的长．
14．如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接．
(1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
(2)在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积．
15．如图，在中，以为直径的交于点，连接．
(1)如图1，若，，求证：为的切线；
(2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积．
《2025年中考数学考前高频考点冲关：切线的判定与性质》参考答案
1．(1)①见解析；②见解析；
(2)．
【分析】（1）①利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
②利用等腰直角三角形的性质，平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）过点作交于，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点作交于，如图：
∵，，，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和条件适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）连接，则，又，故，所以，从而得，然后通过切线的判定方法即可求证；
（）连接，设半圆的半径为，由，则，，，又，所以，故，然后用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆的直径，
∴是半圆的切线；
（2）解：连接，设半圆的半径为，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的长为．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查圆的相关性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及切线的判定，解题的关键是熟练运用圆周角定理、圆内接四边形的性质及全等相似三角形的判定条件．
（1）通过证明，得到，从而证明；
（1）连接，通过证明，而为的半径来判定是的切线；
（2）延长至点，使得，连接、、、， 证明，得到，，推导线段数量关系．
【详解】（1）证明∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（3）解：，理由如下：
延长至点，使得，
连接、、、，
∵四边形为圆内接四边形
∴
∵
∴
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴
4．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了圆的几何性质、切线的判定定理、勾股定理和三角形面积计算公式，熟练掌握是解题的关键．
（1）连接，则，得为的垂直平分线，，根据等腰三角形性质可得，，即．
（2）先求出的长，因为为直径，所以是直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；过点作与点，根据圆周角性质得，易得，再根据勾股定理求出，得、的长，即可求出的面积．
【详解】（1）解：连接，
是的直径，
．
，
为的垂直平分线．
，
，
，即．
又为的半径，
是的切线．
（2）解：连接，
在中，，
，
∴，
是的直径，
，
在中，，，
．
过点作与点，
∴，
又，
，
在和中，，
的面积为：，
故面积为3．
5．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明；
（2）根据圆周角定理得出，证明，得出，证明，即可得，求出，，，，即可求解．
该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】（1）解：连接，
，
弧弧，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
则，
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角和角平分线的定义可得出，则可判断，根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证；
（2）根据勾股定理求出，然后根据求解即可．
【详解】（1）证明：，
．
平分，
．
．
．
．
，
．
即．
是的切线．
（2）解：在中，
，，
，．
．
．
7．(1)
(2)2
【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解直角三角形．
（1）连接，根据点为的中点，推出，由圆周角定理得到，即可求出，根据四边形是圆内接四边形，即可推出，即可求解；
（2）连接，过点作，根据切线的性质得到，易证四边形是矩形，推出，易证，在中，解直角三角形求出，证明，推出，根据即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点作，
，
为的切线，
，即，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，即半径的长为．
8．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，即可；
（2）连接，根据切线的性质可得，再由是等边三角形，可得，可证得是等腰三角形，即可；
（3）根据直角三角形的性质可得，，从而得到．过点作于点．在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，此时，，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是内接四边形，
∴，
∵，
．
（2）证明：如图，连接．
是的切线，
∴，
．
又在中，，
是等边三角形，
∴．
，
，
，
∴，
是等腰三角形．
，
平分．
（3）解：由（2）得在中，，，
．
是直径，
是直角三角形，且．
∴，
∴，
．
如图，过点作于点．
在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意求出，由等边对等角得到，利用三角形内角和定理求出，根据，求出，再结合切线的性质得到，根据，即可证明；
（2）延长交于点F，分别过点作的垂线，垂足分别为，由（1）知，得到，即，求出，，，再根据，推出，设，则，由，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点F，分别过点作的垂线，垂足分别为，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质定理、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
（1）连接，利用切线的性质得到，推出，再根据三线合一得到，等量代换即可证明；
（2）延长和交于点，利用平行线的性质得到，得出，通过证明是等腰直角三角形，求出，得出的长，最后证明即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，分别与相切，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：如图，延长和交于点，
由（1）得，，，
的直径为4，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，并延长交于点M，连接，根据是的切线，得出，即，根据圆周角定理得出，即可得．根据圆周角定理得出，证出．根据平分，得出，即可得，证出．
（2）设，则，勾股定理求出．根据平分，得出，，从而得出，．证明，得出．如图2，过点作于点，则，勾股定理得出，从而得．根据，列方程得出，．由（1），可得，证出，即可求出．
【详解】（1）（证法不唯一）证明：如图1，连接，并延长交于点M，连接．
是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
．
∵，
∴，
．
∵，
∴
平分，
，
，
；
（2）解：，
设，则，
是的直径，
，
，
平分，
，，
，，
，
，
，即，
如图2，过点作于点，
则，
，
，
，
，即，
．
由（1），可得，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)①见解析；②．
【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）①连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似
三角形的判定定理解答即可；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
；
（2）①证明：连接并延长交于点，如图：
由（1）知：，
，，
，
∵是的切线，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图：
∵是的切线，
，
∵，
∴．
∴，
由①知：，
，
，
，
∵是的中点，
，
，，
，
，， ，
∴四边形为矩形，
， ，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意可证，且，可得，即是的切线；
（2）由同弧所对的圆周角相等，可得，由余角的性质可得；
（3）由题意可得，根据勾股定理可求的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
又，
，
是的切线；
（2）证明：是的直径，
，
，
由（1）可知是的切线，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）解：如图，连接，
是半圆弧的中点，
，
在中，，，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
14．(1)①②，③
(2)
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等腰三角形性质可得，根据角平分线性质得，可得，得，即得；
（2）先求出，，得，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可．
【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查构造真命题，角平分线定义，等腰三角形性质，圆切线的判定和性质，扇形的面积，三角形面积，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
（1）由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理即可求出，结合时半径即可证明；
（2）过点作于点，求出，由圆周角定理求出，易证为等边三角形，求出，利用即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
是的直径，
为的切线；
（2）解：如图，过点作于点．
为的切线，
，
，
．
，
为等边三角形，
，
．

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