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2025年中考数学总复习专题突破训练：
解直角三角形的应用
1．“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．
(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度；
(2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点下降的高度（结果保留两位小数，参考数据：，）．
2．如图，在一次联合反潜演习中，军舰测得潜艇的俯角为；位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇的俯角为，设潜艇离开海平面的下潜深度为（单位：m）．
(1)用含有的式子表示潜艇到的水平距离．（结果保留三角函数形式）
(2)试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度（结果保留整数）
3．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图所示，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离3米的点处，测得古树顶端的仰角（古树，山坡的坡面和点在同一平面上，古树与直线垂直），
(1)古树的高度约为多少米？
(2)为了保护古树，考古队员准备在树顶下方0.5米的处拉一根保护绳，其中离距离为6.5米．求绳至少多少米？（结果精确到0.1米，绳子打结处的长度忽略不计）
（参考数据：，
4．小明和他的宇树机器狗“汪汪”周末准备在湖心公园散步，湖心公园步道如图所示，公园书吧D在湖心公园大门A的西北方向上，儿童游乐场E在公园书吧D的北偏东方向上，湖心公园后门C在儿童游乐场E的正东方向米处，休闲美食区B在公园大门A的东北方向米处．（参考数据：
(1)求公园大门A和公园书吧D的距离；（精确到个位）
(2)周日上午小明和他的宇树机器狗到达湖心公园大门A，小明为了测试机器狗的性能，设定机器狗沿着路线到达公园后门C，而小明沿着路线步行走到公园后门，小明步行速度是60米／分，宇树机器狗的速度是80米／分，请通过计算说明，机器狗和小明谁先到达后门.
5．阳光明媚的春日，外出游玩的小颖发现了种在草地斜坡下方的樱花树，这些樱花树的影子一部分落在斜坡下方的地面上，一部分落在斜坡上，为了测量最高那棵樱花树的高度，小颖测量了有关数据，绘制了如图所示的示意图，其中表示最高的樱花树，表示地面，表示斜坡，阳光的光线与斜坡垂直．若米，米，斜坡的坡角为，求最高的那棵樱花树的高度（其中）（结果精确到米）．
6．人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！人民英雄纪念碑位于中华人民共和国北京市天安门广场，碑身正面镌刻毛泽东同志题词“人民英雄永垂不朽”八个镏金大字；背面是毛泽东主席起草、周恩来总理题写的碑文“勿忘历史，勿忘先烈”，在了解相关历史背景后，数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．同学们在点处测得点的仰角；然后沿方向走米到点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，）．
7．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，）
8．辽宁省某校实践活动小组对一个通讯塔杆高度进行了测量，下图为测量示意图(点A，B，C，D均在同一平面内，)．已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得塔杆顶端A点的仰角为，坡底与塔杆底的距离，该通讯塔的高度．（结果精确到，参考数据：）
9．【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度．
【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具．
【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东的方向上，千米，千米，，C在A的正东方向．
【问题解决】
(1)求的长度；
(2)求的长度．（参考数据：）
10．如图，在某张航海图上标明了三个观测点的有序数对：，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋保护区，某时刻海面上出现一盗捕渔船，连接交圆周于点，且．
(1)求的度数；
(2)若在观测点测得位于其北偏东，求航海图上船到直线的距离．
（结果精确到，参考数据：）
11．如图，道路与的夹角为，道路与的夹角为．甲、乙两辆测试车同时从点A出发．甲测试车先朝着正东方向行驶一段路程，到达点B后，再沿北偏东方向行驶，到达终点C．乙测试车先沿正北方向行驶至点E，再沿北偏东方向行驶一段路程到达点D，最后沿着方向行驶一段路程，到达终点C．（参考数据：，，，，）
(1)求道路的长度（结果保留整数位）；
(2)已知甲、乙测试车的平均行驶速度分别为、，哪一辆测试车先到达终点C 请通过计算说明．
12．图1是某款益智类玩具的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点，，处可转动，，，转动时始终与平行．
(1)当转动到如图2形状时，请直接写出，，之间的数量关系；
(2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据，，）
13．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．
(1)求观测点E与电池板边缘点B之间的距离；
(2)求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
14．如图，小明看见某大楼的顶部有一块电子显示屏，她想知道电子显示屏的高度．她先从大楼底部点处步行20米到达山坡的坡脚点处，测得电子显示屏底部点的仰角为60°．沿坡面向上12米走到点处测得电子显示屏顶部的仰角为45°，山坡的坡度．（是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
(1)填空：________°，_______°；
(2)求点距水平面的高度；
(3)求电子显示屏的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）
15．如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米（注：例如点B、点D的水平距离为；A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）．
(1)求坡面的长度（结果保留根号）？
(2)一天傍晚，小明从A出发去山顶C散步，已知小明从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她早上出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶C处？
《2025年中考数学总复习专题突破训练：解直角三角形的应用》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键．
（1）根据对称性得出，再根据锐角三角函数求出，即可求出答案
（2）过点E作于H，得出，再分别求出和时，的值，即可求出答案．
【详解】（1）解：由对称知，，，．
在中，，
．
答：遮阳宽度为；
（2）解：过点E作于H，
．
，，
．
．
四边形为矩形．
．
．在中， ．
．
当时，．
当时， ．
从减少到，求点下降的高度约为．
2．(1)
(2)米
【分析】本题考查了解直三角形的应用——仰角与俯角问题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形求解．
（1）利用线段利用正切 求得；
（2）分别在，中，用含的式子表示，再利用等量代换列出关于的方程，即可求出的值，即潜艇C离开海平面的下潜深度．
【详解】（1）解：过点C作，交的延长线于点D，
设潜艇离开海平面的下潜深度为（单位：m），
即为潜艇C的下潜深度，
在中，，，
∴=；
（2）在中，，，
∴，
∴
∴
答：潜艇C离开海平面的下潜深度为．
3．(1)古树的高度约为
(2)绳至少为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，勾股定理等知识，掌握坡比是解题的关键．
（1）延长交点H，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解．
（2）过B点作与交与M， 则，由平行线的性质得出，即可得出，同（1）解出，，进而可求出，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：解：如图，延长交点H，则，
山坡上坡度，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，，
在中，，
答：古树的高度约为
（2）解：过B点作与交与M，
则，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
答：绳至少为
4．(1)米
(2)小明
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点D作，过点A作，分别交的延长线于一点，交于一点，交的延长线于一点，证明四边形是矩形，在中，，解得米；在中，解得米；得米，，在中，把数值代入，解得，，
（2）结合，得米；再算出（米），再分别求出机器狗所走的路程和机器狗所花费的时间，同理得出小明所花费的时间，因为，故小明先到后门．
【详解】（1）解：过点D作，过点A作，分别交的延长线于一点，交于一点，交的延长线于一点，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由题意可得，，
如图所示：，
在中，，
即，
解得米；
在中，
即，
解得米；
∴米；
∴米；
∴米；
在中，，
∴，
设，
则
∴
∴，，
在中，，
即
解得，
经检验：是 原分式方程的解，
∴（米）；
（2）解：由（1）得，，米，米，米；
∴（米）
∴（米）
∴米；
∴米；
∴（米），
在中，，
∴
∴（米）
则机器狗所走的路程为（米）
∴机器狗所花费的时间（分），
则小明所走的路程为（米）
∴小明所花费的时间（分），
∵，
∴小明先到后门．
5．最高的那棵樱花树的高度为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于E，解得到米，则米，再证明，据此解，求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于E，
由题意得，，
∴，
在中，米，
∴米，
∵，
∴，
在中，米，
答：最高的那棵樱花树的高度为米．
6．纪念碑顶部点到地面的距离的长约为38米．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
设定未知量，表示线段长度，列方程求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵米，
∴
设米，则，
∴，
答：纪念碑顶部点到地面的距离的长约为38米．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质；解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算即可；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，
，
．
答：的长为．
（2）由题可知，
，
又，
，
．
答：B，D之间的距离．
8．该塔杆的高度为约
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，能熟练利用三角形函数解直角三角形是解题的关键．
过作于，过作于，由三角函数得，，，，即可求解．
【详解】过点作于点，作于点，
由题意得：，
在中，，
，
，
∴四边形为矩形，
，
∵，
∴，
在中，，
，
．
答：该塔杆的高度为约．
9．(1)千米
(2)千米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）连接，过点B作于F，则，进而可得，解可求出的长，再解求出的长即可得到答案；
（2）过点E作于H，则四边形是矩形，千米，解求出的长，解求出的长；求出，解求出的长，再求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，连接，过点B作于F，
∴，
由题意得，
∴，
在中，千米，
在中，千米，
答：的长度约为千米；
（2）解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴千米，
在中，千米，
在中，千米；
∵， ，
∴，
∴在中，千米，
∴千米，
∴千米，
答：的长度为千米．
10．(1)
(2)航海图上船到直线的距离为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，同弧所对的圆周角相等，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等可得；
（2）过点作于点，设，解，得到，解得到，求出，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴；
（2）解：过点作于点，
依题意，得，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：
答：航海图上船到直线的距离为．
11．(1)米
(2)甲测试车先到达终点
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.
（1）过点作于点，求出和， 即可得到的长；
（2）利用解直角三角形，先分别计算甲、乙检测走过的总路程，再根所它们的速度，得到所用的时间，即可得到结果.
【详解】（1）解：∵甲车先朝着正东方向行驶到达点后，再沿北偏东方向行驶，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
∵在中， ，
，即，
解得
，
∵在中， ，
，
解得，
，
答：道路的长度为米；
（2）解：甲测试车先到达终点，理由如下：
∵在中，，
，
，
∴甲测试车共行驶，
∵甲测试车的平均行驶速度为，
∴甲测试车所用时间约为，
，
∴ ，
如图，分别作
∵在中，
，
即，，
，
∵在中，，
，
即，
，
即
，
，
∴乙测试车共行驶，
∵乙测试车的平均行驶速度为：，
∴乙测试车所用时间约为，
∴甲测试车先到达终点．
12．(1)
(2)
【分析】（1）过C作，根据平行线的性质即可得到解答；
（2）如图，连接，过点作于，过点作于点，过点作交的延长线于，根据等腰三角形的性质证明四边形是矩形进而求出的值，最后根据题目已给的三角函数值得出解答即可．
【详解】（1）如图所示，过C作，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）如图，连接，过点作于，过点作于点，过点作交的延长线于，
由（1）知，
∴，
，，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
点到的距离为．
【点睛】本题考查了平行线的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．
13．(1)观测点E与电池板边缘点B之间的距离为
(2)太阳能电池板宽的长度约为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形：
（1）过点作，设，分别解，求出的长，根据的长，列出方程求出的值，进而求出的长；
（2）过点作，易得：，进而求出的长，根据点O是的中点，求出的长即可．
【详解】（1）解：过点作，设，由题意，得：，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴；
答：观测点E与电池板边缘点B之间的距离为；
（2）过点作，则：四边形为矩形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
14．(1)；
(2)米
(3)广告牌的高度约为米
【分析】（1）根据题意可得：， ， 然后根据已知易得在中， ，从而可得， 进而可得，最后利用角的和差关系以及平角定义进行计算，即可解答；
（2）在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（3）延长交于点，根据题意可得：米， ，，米， 然后在中， 利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再分别在和中， 利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
∵山坡的坡度，
在中，，
则，
，
，
，，
故答案为：；；
（2）解：在米，米，，
(米)，
∴点距水平面的高度为米；
（3）解：延长交于点，
由题意得：米， 米，
在中，米，，
(米) ，
米，
在中，，
(米)，
在中，
米，
米，
∴广告牌的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．(1)米；
(2)能到达山顶C处，理由见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点C作，垂足为E，在中，先利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过作，垂足为G，根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据平角定义求出，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点C作，垂足为E，
在中，，米，
（米），
（米），
坡面BC的长度为米；
（2）解：若他出发，他在7：25前能到达山顶C处，
理由：如图：过作，垂足为G，
由题意得：，
，
，
，
在中，，米，
（米），
，
，
在中，（米），
在中，（米），
小龙从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，
小龙从A到B的需要的时间（分钟），从B沿着BC上山需要的时间（分钟），
小龙从A出发去山顶C散步需要的时间（分钟），
，
若她出发，他在前能到达山顶C处．

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