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七下数学期末复习讲练02 填空题（22个考点共66题）
TOC \t "标题 2,1" \h \u 考点讲练01：同底数幂的乘法 2
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方 2
考点讲练03：同底数幂的除法 2
考点讲练04：单项式乘单项式 3
考点讲练05：单项式乘多项式 3
考点讲练06：多项式乘多项式 4
考点讲练07：乘法公式 5
考点讲练08：平移的概念与性质 6
考点讲练09：轴对称的概念与性质 6
考点讲练10：旋转的概念与性质 7
考点讲练11：二元一次方程的概念 8
考点讲练12：二元一次方程组的概念 8
考点讲练13：解二元一次方程组 8
考点讲练14：三元一次方程组的概念和解法 9
考点讲练15：用二元一次方程组解决问题 10
考点讲练16：一元一次不等式的概念 10
考点讲练17：解一元一次不等式 11
考点讲练18：解一元一次不等式组 11
考点讲练19：用一元一次不等式解决实际问题 11
考点讲练20：命题 11
考点讲练21：证明 12
考点讲练22：定理 12
考点讲练01：同底数幂的乘法
1．（2025·河南安阳·模拟预测）已知，则 ．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）请用“”或“”填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）．
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方
4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ．
5．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则 ．
6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ．
考点讲练03：同底数幂的除法
7．（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ．
8．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）若，，那么 ．
9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，．
（1）计算： ．
（2）的值为 ．
考点讲练04：单项式乘单项式
10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，那么代数式的值为 ．
11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小明家有一块三角形的菜园，三角形的底边长为，底边上的高是，则它的面积是 ．
12．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ．
考点讲练05：单项式乘多项式
13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数，的展开式中的各项系数直观地体现出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示：
根据上述材料，的展开式中项的系数应为 ．
14．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，计算的值为 ．
15．（2025七年级下·全国·专题练习）已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有 （填序号）．
①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长；
②长方形的长宽之比可能为；
③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形；
④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100．
考点讲练06：多项式乘多项式
16．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，长方形的面积是12．分别以为边在正方形外部作正方形①和正方形②，则正方形①和正方形②面积的和为 ．
17．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）观察下列多项式的乘法计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
根据你发现的规律，若，则的值为 ．
18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 ．
考点讲练07：乘法公式
19．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ．
20．（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为
21．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号）
考点讲练08：平移的概念与性质
22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ．
23．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使B点落在处，若，应为 时才能使．
24．（2025·吉林·一模）如图所示，矩形纸片，点为边上一点，连接．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有 （填序号即可）．
考点讲练09：轴对称的概念与性质
25．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ．
26．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ．
27．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行．
考点讲练10：旋转的概念与性质
28．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是 ．
29．（24-25七年级下·北京·期中）初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3元/个、笔桶售价为4元/个，经过统计，这两种物品共售卖25元，请问这两种物品各售卖多少个？ ．（写出一种情况即可）
30．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：、都是“双生数”．将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若，则；计算 ．若一个“双生数”（，，且，为整数），当能被6整除时，求满足条件的所有值中的最小值为 ．
考点讲练11：二元一次方程的概念
31．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）．
32．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ．
33．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）请写出一个二元一次方程组 ，使该方程组解为．
考点讲练12：二元一次方程组的概念
34．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ．
35．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ．
36．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ．
考点讲练13：解二元一次方程组
37．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ．
38．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ．
39．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”．
（1）最小的“2型数”是 ．
（2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是 ．
考点讲练14：三元一次方程组的概念和解法
40．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则 ．
41．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为 ．
42．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为24，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为 ．
考点讲练15：用二元一次方程组解决问题
43．（23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是 ．
44．（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”）
45．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为 ．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为 ．
考点讲练16：一元一次不等式的概念
46．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
47．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则k的取值范围是 ．
48．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
考点讲练17：解一元一次不等式
49．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式有4个非负整数解，若是整数，则为 ；若不一定是整数，则的取值范围是 ．
50．（24-25七年级下·全国·课后作业）在数轴上表示不等式的解集，这个不等式的正整数解是 ．
51．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的取值范围为 ．
考点讲练18：解一元一次不等式组
52．（2025·宁夏吴忠·一模）关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ．
53．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ．
54．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知不等式组的解集为，则的值为 ．
考点讲练19：用一元一次不等式解决实际问题
55．（24-25七年级下·福建泉州·期中）一次环保知识竞赛共有16道题，规定答对一道题得6分，答错一题扣两分，如果他想得到70分以上的成绩，则他至少需答对 道题目．
56．（24-25七年级下·全国·课后作业）有26人参加一次测验，共有5道题，答对1道题得1分．已知平均分超过4.8分，最低分为3分，其中1人得3分，3人得4分，得5分的至少有 人．
57．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是 ．
考点讲练20：命题
58．（24-25七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）．
59．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．这个命题的条件是 ，结论是 ．
60．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．其中，是真命题的有 （填序号）
考点讲练21：证明
61．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）若要说明命题“若，则”是假命题，则任意举出一个反例，写出和的值： ．
62．（23-24七年级下·北京房山·期末）用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ．
63．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值）
考点讲练22：定理
64．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据．
65．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ．
66．（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ．
答案与解析
考点讲练01：同底数幂的乘法
1．（2025·河南安阳·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法得出关于的方程是解答本题的关键．
根据同底数幂的乘法，可得关于的方程，解出的值即可．
【完整解答】解：，
，
，
故答案为：．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）请用“”或“”填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查同底数幂比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．计算出每一个值进行比较大小即可．
【完整解答】解：；
；
；
；
故答案为：，，，．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．通过观察，然后根据题中所给规律可进行求解．
【完整解答】解：由…..；可知：
；
∵，
∴；
故答案为．
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方
4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了幂乘方运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．前个补给站能量包的总数为，可转化为，即可求解，由可得，即可求出．
【完整解答】解：前个补给站能量包的总数为
（千个），
（为正数），
，
，
故答案为：，．
5．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则 ．
【答案】1
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了逆用幂的乘方运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握幂的乘方运算法则成为解题的关键．
先逆用幂的乘方运算法则化简，然后得到关于x的一元一次方程求解即可．
【完整解答】解：，
，
，
所以，解得：．
故答案为：1．
6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ．
【答案】3
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用，根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则推出，从而得到，即可求出结果．
【完整解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
考点讲练03：同底数幂的除法
7．（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，根据题意得出，根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算将原式化简，代入，即可求解．
【完整解答】
故答案为：．
8．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）若，，那么 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键；
根据积的乘方，结合同底数幂的除法，即可求解．
【完整解答】解：；
故答案为：．
9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，．
（1）计算： ．
（2）的值为 ．
【答案】 3 7
【难度系数】0.65
【思路引导】此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质．
（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；
（2）应用规定和积的乘方计算即可．
【完整解答】解：（1）根据定义，即，
∵，
∴，
解得：，
因此，．
故答案为：3；
（2）
，
根据定义，，即，解得：．
故答案为：7．
考点讲练04：单项式乘单项式
10．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，那么代数式的值为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了代数值求值，根据已知条件求出，再将所求代数式化简，然后整体代入计算即可．
【完整解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小明家有一块三角形的菜园，三角形的底边长为，底边上的高是，则它的面积是 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】此题考查整式的混合运算，根据三角形的面积公式列式计算可得答案．
【完整解答】解：三角形的底边长为，底边上的高是，
则它的面积是
故答案为．
12．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】
本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．
【完整解答】
解：，
，
故答案为：．
考点讲练05：单项式乘多项式
13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数，的展开式中的各项系数直观地体现出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示：
根据上述材料，的展开式中项的系数应为 ．
【答案】20
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可得的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，那么把把看做一个整体，可得的展开式中从左往右第三项的系数，据此可得答案．
【完整解答】解：观察可知的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，
∴把看做一个整体，的展开式中从左往右第二项的系数为4，第三项的系数为6，
∴的展开式中从左往右第三项的系数为，即第三项为，
∴的展开式中项的系数应为20，
故答案为：20．
14．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，计算的值为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了多项式乘以多项式运算和整体代入求值，把整体代入化简后的结果，求出结果即可，解题的关键是熟练掌握整体代入．
【完整解答】解：∵，
，
故答案为：．
15．（2025七年级下·全国·专题练习）已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有 （填序号）．
①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长；
②长方形的长宽之比可能为；
③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形；
④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100．
【答案】①③
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了列代数式，整式的加减，多项式乘多项式等知识，注意数形结合；由图知，九个部分中有四个正方形，有五个长为b，宽为a的长方形，每个长方形的周长为，则三个这样的长方形周长为，再计算出大长方形的周长即可判断①；根据大长方形的两边，若长宽之比可能为，则可推出a或b的值，从而可判断②；当长方形为正方形时，可得a与b的关系，从而判断③；根据当长方形周长为60，得，计算出长方形的面积，根据面积即可判断④，最后可作出判断．
【完整解答】解：由图知，九个部分中有四个正方形，有五个长为b，宽为a的长方形，
所以每个长方形的周长为，
所以三个这样的长方形周长为；
而由图知大长方形的一边为，另一边为，则其周长为，
即图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长；
故①正确；
若，则；
若，则；
即或时，长方形的长宽之比为，否则不成立；
故②错误；
当长方形为正方形时，即，
则有，从而九个部分都为正方形；
故③正确；
根据当长方形周长为60时，即，
得，
长方形的面积为
，
由于均为正数，则，
即大长方形面积不可能为100；
故④错误；
综上，正确的有①③．
故答案为：①③．
考点讲练06：多项式乘多项式
16．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，长方形的面积是12．分别以为边在正方形外部作正方形①和正方形②，则正方形①和正方形②面积的和为 ．
【答案】33
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，根据题意得到，根据求出即可．
【完整解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，则，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即 正方形①和正方形②面积的和为33，
故答案为：33．
17．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）观察下列多项式的乘法计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
根据你发现的规律，若，则的值为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查完全平方公式变形求值，整式的乘法，观察等式发现规律是解题的关键．
通过观察多项式的乘法计算得出，的值，将其代入中即可．
【完整解答】由题意知，，，
∴，
故答案为：．
18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了完全平方公式变形求值；找准等量关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键．设每个小长方形的长为宽为则每个小长方形的面积为，根据大长方形的周长为，且阴影部分的面积为，列出二元二次方程组，再求出的值，即可得出结论．
【完整解答】解：设每个小长方形的长为，宽为，则每个小长方形的面积为，
由题意得：
整理得：
由①得：，
即③，
③②得：，
，
即每个小长方形的面积为，
故答案为：
考点讲练07：乘法公式
19．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ．
【答案】540
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了有理数混合运算的应用，由长方形的面积得，即可求解；能根据题意列出算式是解题的关键．
【完整解答】解：由题意得
（），
故答案为：．
20．（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了平移的性质，由平移可得空白部分长方形的长为，宽为，即得空白部分长方形的面积为，进而可求出阴影部分的面积，掌握平移的性质是解题的关键．
【完整解答】解：由平移可得，空白部分长方形的长为，宽为，
∴空白部分长方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
21．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号）
【答案】①③⑤
【难度系数】0.4
【思路引导】本题考查了三角形的面积和平移的性质，利用线段转化和面积转化，可以求解．
【完整解答】解：由平移性质可得，，，故①正确，②不正确；
阴影部分的周长为，③正确；
时，四边形的周长为，的周长比四边形的周长少，④不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴边上的高h为，
∴，
∴，
∴，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
考点讲练08：平移的概念与性质
22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案．
【完整解答】解：，，
，
由折叠的性质得，
，，
，
，
．
故答案为：．
23．（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使B点落在处，若，应为 时才能使．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了折叠的性质，直线平行的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键；
根据折叠的性质得到，要，则要有，从而得到，即可求出；
【完整解答】解：长方形纸片沿折叠，使点落在处，
，
∵，
，
∴，
；
应为时才能使；
故答案为：．
24．（2025·吉林·一模）如图所示，矩形纸片，点为边上一点，连接．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有 （填序号即可）．
【答案】②③
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了折叠的性质，角的和差，角平分线的定义，由平角定义可得，即可判断①；由折叠的性质可得，，进而可判断②；由，得，即得，得到，即可判断③；由角平分线的定义得，即得，可得，进而得，得到，即可判断④，综上即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【完整解答】解：若，则，故①错误；
由折叠可得，，，
∵，
∴，故②正确；
若，则，
∴，
∴，
解得，
∴，故③正确；
若平分，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上，正确的结论有②③，
故答案为：②③．
考点讲练09：轴对称的概念与性质
25．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ．
【答案】70
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
由旋转得，再根据可得答案．
【完整解答】解：由旋转得，
，
∵，
∴．
故答案为：70．
26．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解．
【完整解答】解：∵中，，，，
∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；
…
由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．
又∵，
∴．
故答案为：．
27．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行．
【答案】或
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解．
【完整解答】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
①如图，

当时，，
此时旋转的度数为，
()；
②如图

当时，，
，
此时旋转的度数为，
()；
综上所述：或．
故答案为或．
考点讲练10：旋转的概念与性质
28．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】3
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键．
把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可．
【完整解答】解：把代入可得，
∴．
故答案为3．
29．（24-25七年级下·北京·期中）初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3元/个、笔桶售价为4元/个，经过统计，这两种物品共售卖25元，请问这两种物品各售卖多少个？ ．（写出一种情况即可）
【答案】售卖笔记本3个，售卖笔桶4个
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，设笔记本售卖个，笔筒售卖个，根据两种物品共售卖25元，列二元一次方程，即可解答，熟知等量关系是解题的关键．
【完整解答】解：设笔记本售卖个，笔筒售卖个，
则可得，
为正整数，
是方程的一个解，
故售卖笔记本3个，售卖笔桶4个，
故答案为；售卖笔记本3个，售卖笔桶4个（答案不唯一）
30．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：、都是“双生数”．将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若，则；计算 ．若一个“双生数”（，，且，为整数），当能被6整除时，求满足条件的所有值中的最小值为 ．
【答案】
【难度系数】0.4
【思路引导】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键．
直接利用新定义计算即可得出结论；把合并，再用a、b表示，最后计算即可．
【完整解答】解： ，
故答案为：．
当时，
由题：为整数，
为的倍数
或或或或或
经讨论得：或或或
当时，
故答案为：；．
考点讲练11：二元一次方程的概念
31．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）．
【答案】 ②③④ ①④ ④
【难度系数】0.85
【思路引导】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可．
【完整解答】解：①②③④中，
把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解，
把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解，
把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解，
把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解，
即②③④是方程的解；
把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解，
把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解，
把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解，
把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解，
即①④是方程的解；
∴④是方程组的解．
故答案为：②③④，①④，④．
32．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【难度系数】0.85
【思路引导】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键．
以x，y为主元素，任意构造即可．
【完整解答】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个，
如：
故答案为：（答案不唯一）．
33．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）请写出一个二元一次方程组 ，使该方程组解为．
【答案】（答案不唯一）
【难度系数】0.94
【思路引导】根据二元一次本题考查的是二元一次方程组解的定义，根据方程组的解找出与的和差倍分数量关系是解答此题的关键．
方程组的解为，找到与的数量关系，然后列出方程组即可．
【完整解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴这个方程组可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
考点讲练12：二元一次方程组的概念
34．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用．
根据题意得出，，，先求出，然后联立，再解出，的值即可．
【完整解答】解：∵解方程时，小明把看错了，得，
∴，
∵正确的答案是，
∴，，
解得：，联立，
解得：，
故答案为：，，．
35．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ．
【答案】5
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲将①中的看成了它的相反数解得的值，代入可得到，的值，再根据乙抄错②中的得到的值，代入可得到的值，结合两个式子的值即可得到答案．
【完整解答】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：，
∴③，，
∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：，
∴④，
∴，
解得：
∴，
故答案为：5．
36．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解看成，解出x，y即可．
【完整解答】解：∵二元一次方程组的解是，
∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组，
∴，
解得：，
则二元一次方程组的解是，
故答案为：
考点讲练13：解二元一次方程组
37．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】此题主要考查了球场上的积分问题，设设该队在联赛中胜场，平场、负场，根据题意列方程组即可解题．
【完整解答】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场，
列方程为：，
故答案为：．
38．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了列方程组，审清题意找准等量关系成为解题的关键．
设该队在联赛中胜场，平场、负场，根据“足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列出方程组即可解答．
【完整解答】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场，
由题可得：．
故答案为：．
39．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”．
（1）最小的“2型数”是 ．
（2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题是一个新定义阅读题，主要考查整式的加减和三元一次方程组，考查了学生阅读、归纳材料的能力；重点是理解题目意思，熟练掌握整式的加减
（1）根据“k型数”直接求解即可；
（2）根据题目中的要求进行整式的加减运算，分情况讨论即可．
【完整解答】解：（1）设这个四位数（其中，b，c，且均为整数），若，且k为整数，称m为“k型数”，
∵，b，c，且均为整数
∴,，即，
∴当时，有最小的“2型数”为，
故答案为：；
（2）设四位数，
∵四位数m是“型数”，
∴，则，
是“型数”，则十位数与个位数的差是个负数，
∴，或，
当时，，与矛盾，舍去，
当时，，
∴可取、两个数，则，
将m的百位数字与十位数字交换位置，得到新四位数，
也是“型数”，则，
联立上述式子得：，
①当时，，
解得，则四位数；
②当时，，
解得，则四位数；
满足条件的所有四位数m有和．
则满足条件的m的最大值是．
故答案为：．
考点讲练14：三元一次方程组的概念和解法
40．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于、的方程，继而进行求解即可得答案．
【完整解答】根据题意可得：
解得，
∴，
故答案为：．
41．（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，结合黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，再建立方程组解题即可．
【完整解答】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，
由题意得．
故答案为：．
42．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为24，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为 ．
【答案】4
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析图形，从中找出等量关系，设①小长方形的长为，宽为b，根据正方形阴影面积正方形面积个小长方形面积，根根据大长方形阴影面积为长为，宽为的长方形面积个小长方形面积，列方程组求出即可．
【完整解答】解：设①小长方形的长为，宽为b，
根据②正方形边长为，阴影面积为，
根据③大长方形的长为，宽为，阴影面积为，
∴联立得，
整理得，
解得，
一个小长方形①的面积为4．
故答案为：4．
考点讲练15：用二元一次方程组解决问题
43．（23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是 ．
【答案】
【难度系数】0.94
【思路引导】先根据图示可得不等式组，求解即可．
本题考查了不等式的性质，解题关键是不等式组中出现的等式也可类似解方程组的方法，使用代入法求解．
【完整解答】解：根据图示可知
，
由①②得④，
把④代入③得，
∴．
故答案为：．
44．（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”）
【答案】＞
【难度系数】0.94
【思路引导】本题考查的是不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题关键．
根据不等式的基本性质直接求解即可
【完整解答】解：∵，，
∴＞，
故答案为：＞．
45．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为 ．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为 ．
【答案】
【难度系数】0.4
【思路引导】本题考查二元一次方程的解，列代数式，整式的加减，不等式的性质，熟练根据题意进行列式，并根据题意得出等式是解题的关键．根据题中定义即可得出最小的“同差数”；设，则，根据题意，得出，且，，，，，，列式求出，利用与的差为一个两位数且为完全平方数，结合，的取值范围得出，则可得，，则可表示为，利用除以余数为，结合分离整数法得出是的整数倍，结合，的取值范围得出或或，分别求解判断是否合理即可，
【完整解答】解：的千位数字最小为，百位最小为，
由千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，
则的十位数字最小为，个位最小为，
则最小的“同差数”为，
故答案为：；
设，则，
根据题意，得，且，，，，，，
则，
则，，
则，
∵与的差为一个两位数且为完全平方数，
∴，且是完全平方数，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵除以余数为，
∴是整数，
∴是的整数倍，
由题意可得，，
∴，
∴或或，
结合，的取值范围，
当时，即，
解得：，
此时；
当时，即，
解得：（，舍）或，
此时；
当时，即，
解得：（，舍）；
综上所述，或，最大值为，
故答案为：．
考点讲练16：一元一次不等式的概念
46．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
【答案】1
【难度系数】0.94
【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
利用一元一次不等式的定义列示求解即可．
【完整解答】解：由题意，得且，
．
故答案为：1．
47．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则k的取值范围是 ．
【答案】
【难度系数】0.94
【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，再计算即可．
【完整解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴，
∴，
故答案为：．
48．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
【答案】
【难度系数】0.94
【思路引导】考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到且，即可求m的值．
【完整解答】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且
∴
故答案是：．
考点讲练17：解一元一次不等式
49．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式有4个非负整数解，若是整数，则为 ；若不一定是整数，则的取值范围是 ．
【答案】 3
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先求出这个不等式的4个非负整数解为，再根据是整数、不一定是整数求解即可得．
【完整解答】解：∵关于的不等式有4个非负整数解，
∴它的4个非负整数解为，
∴若是整数，则，
若不一定是整数，则的取值范围是，
故答案为：3；．
50．（24-25七年级下·全国·课后作业）在数轴上表示不等式的解集，这个不等式的正整数解是 ．
【答案】数轴见解析；，
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式得到，小于3的正整数是1、2，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
【完整解答】解：解不等式，得，
不等式的正整数解是或；
故答案为：或；
51．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出m的范围即可．
【完整解答】解：，
由，得：，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
考点讲练18：解一元一次不等式组
52．（2025·宁夏吴忠·一模）关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到关于m的不等式，解之即可得到答案．
【完整解答】解；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解是，
∴，
∴，
故答案为：．
53．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可．
【完整解答】解：不等式组有个整数解，
不等式组的解集为：，
这三个整数解为，，，
的取值范围是，
故答案为：．
54．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知不等式组的解集为，则的值为 ．
【答案】
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查根据不等式组的解集，求参数的值，先求出不等式组的解集，进而求出的值，再进行乘方运算即可．
【完整解答】解：解，得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
考点讲练19：用一元一次不等式解决实际问题
55．（24-25七年级下·福建泉州·期中）一次环保知识竞赛共有16道题，规定答对一道题得6分，答错一题扣两分，如果他想得到70分以上的成绩，则他至少需答对 道题目．
【答案】13
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查一元一次不等式的应用，读懂题意，列出不等式关系式是解题的关键．
设他答对x道题目，则答错道，利用总分答对题目数答错题目数，结合总价在70分以上，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【完整解答】解：设他答对x道，则答错道，根据题意得：
，
解得：，
又∵x为整数，
∴x的最小值为13，
∴他至少需答对13道题目．
故答案为：13．
56．（24-25七年级下·全国·课后作业）有26人参加一次测验，共有5道题，答对1道题得1分．已知平均分超过4.8分，最低分为3分，其中1人得3分，3人得4分，得5分的至少有 人．
【答案】22
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意建立不等式求解．
设得5分的有人，为使得最少，则剩余人最多得4分，即可建立一元一次不等式．
【完整解答】解：设得5分的有人，
则由题意得：，
解得：，
∴得5分的至少有22人，
故答案为：22．
57．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是 ．
【答案】8
【难度系数】0.65
【思路引导】本题主要考查了不等式的应用，根据题意找出题目中的不等关系，列出不等式，是解题的关键．
设某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，根据不等关系，列出不等式，解不等式即可．
【完整解答】解：设某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，根据题意可得：
，
解得：，
∴的最大值为8，
故答案为：8．
考点讲练20：命题
58．（24-25七年级下·全国·单元测试）有下列命题：①垂线段最短；②相等的角不是对顶角就是同一个角；③两直线平行，同旁内角相等；④两个锐角的和是锐角或者直角；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．其中，是假命题的有 （填序号）．
【答案】②③④
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查命题真假的判断，涉及垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识．解题关键是准确掌握相关几何概念和性质．
根据垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识逐项判断即可．
【完整解答】①垂线段最短，这是一个基本的几何定理，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短 ，是真命题．
②相等的角不是对顶角就是同一个角，相等的角除了对顶角、同一个角外，还有同位角、内错角等多种情况，比如两直线平行时，同位角相等，它们既不是对顶角也不是同一个角，所以该命题是假命题．
③两直线平行，同旁内角相等，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即同旁内角和为，并非相等，所以该命题是假命题．
④两个锐角的和是锐角或者直角，例如与这两个锐角，它们的和是，是钝角，并非一定是锐角或者直角，所以该命题是假命题．
⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，这是平行公理的推论，是真命题．
综上，假命题的有②③④；
故答案为：②③④．
59．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．这个命题的条件是 ，结论是 ．
【答案】 两条直线相交 它们只有一个交点
【难度系数】0.65
【思路引导】本题考查了命题的组成结构，解题的关键是明确命题中条件和结论的定义；
根据如果后面部分是条件，那么后面部分是结论，直接进行划分条件和结论即可．
【完整解答】解：∵在“如果那么”形式的命题中，“如果”后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论．
∴对于“如果两条直线相交，那么它们只有一个交点”这个命题，“两条直线相交”是条件，“它们只有一个交点”是结论．
故答案为：两条直线相交；它们只有一个交点．
60．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．其中，是真命题的有 （填序号）
【答案】①③
【难度系数】0.94
【思路引导】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线具有传递性．根据同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，平行线的传递性进行分析．
【完整解答】解：①③是真命题，②是假命题，
故答案为：①③．
考点讲练21：证明
61．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）若要说明命题“若，则”是假命题，则任意举出一个反例，写出和的值： ．
【答案】，（答案不唯一）
【难度系数】0.94
【思路引导】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可．
【完整解答】解：当，时，，
但，，
∴不成立．
∴命题“若，则”是假命题．
故答案为：，（答案不唯一）
62．（23-24七年级下·北京房山·期末）用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ．
【答案】 3 4
【难度系数】0.65
【思路引导】此题考查了举反例和不等式的性质，真假命题，根据题意举出反例即可．
【完整解答】解：当时，满足，但是，，
∴“如果，那么”是假命题，这组值可以是．
故答案为：（答案不唯一）
63．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值）
【答案】（答案不唯一）
【难度系数】0.94
【思路引导】本题考查了命题与定理，熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例即可．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求求解即可．
【完整解答】解：当，时，
有，但，故原命题是假命题.
故答案为：，．
考点讲练22：定理
64．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据．
【答案】推理
【难度系数】0.94
【思路引导】根据定理的定义进行求解即可．
【完整解答】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据．
故答案为：推理．
【考点点拨】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键．
65．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ．
【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理
【难度系数】0.94
【思路引导】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可．
【完整解答】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理．
故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理．
【考点点拨】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
66．（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ．
【答案】两直线平行，同位角相等
【难度系数】0.94
【思路引导】任意写出一个角相等的定理即可．
【完整解答】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【考点点拨】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可．
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