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2024-2025学年第二学期八年级数学期末模拟试卷（1）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C．x2﹣＝1 D．ax2﹣3x+1＝0
2．下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝9，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8
5．用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”，第一步应假设（　　）
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角
6．某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（　　）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
7．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980 C． D．
8．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点F，交BC于点E，点G在AB上，连接CG，交AE于点H，交BD于点M．若H为CG中点，AG＝GH，∠ABD＝α，则∠MAF＝（　　）
A．α﹣45° B．2α﹣90° C． D．
10．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．某班五个兴趣小组的人数分别为4，5，x，4，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是 　 　 ．
13．已知y与（2x+1）成反比例，且当x＝1时，y＝3，那么当x＝4时，y＝　 　 ．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　 　 ．
15．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20，则DM＝　 　 ．
16．如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E、F为边AD、CD上的动点，且AE＝CF，连接BF、CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2；
（2）．
19．学校组织开展数学竞赛活动．一班、二班各选出10名选手参赛，选手答题情况如下：
表一：答对题数量统计表
答对题数 5 6 7 8 9 10
一班选手 1 0 1 5 2 1
二班选手 0 0 4 3 2 1
表二：答对题数汇总表
平均数 中位数 众数 方差
一班选手 8 8 8 1.6
二班选手 　 　 　 　 　 　 　 　
（1）补全表二；
（2）分别从平均数、中位数、众数、方差四个方面评价两个班选手的成绩．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的长．
21．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，AB在x轴上．反比例函数的图象经过点C；一次函数y＝kx﹣2的图象经过A，C两点，且与y轴交于点E．
（1）求出点E的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，若的x取值范围．
22．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
23．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点C为旋转中心，将矩形ABCD沿顺时针方向旋转，得到矩形EFCG，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G．
（1）如图①，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长；
（2）如图②，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求△CDF的面积；
（3）如图③，将矩形ABCD旋转一定角度后，连接BF，DG交于点H，连接BG，DF，直接写出BG2+DF2的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C．x2﹣＝1 D．ax2﹣3x+1＝0
【点拨】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解析】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
D、若a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解析】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解析】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ÷＝＝＝3，所以B选项符合题意；
C． ×＝＝，所以C选项不符合题意；
D 3﹣＝2，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝9，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8
【点拨】根据配方法求解即可．
【解析】解：x2﹣2x＝9，
∴x2﹣2x+1＝9+1，
∴（x﹣1）2＝10，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
5．用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”，第一步应假设（　　）
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角
【点拨】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．
【解析】解：反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设三角形中最少有两个角是直角或钝角，
故选：B．
【点睛】本题考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．
6．某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（　　）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
【点拨】由加权平均数的定义即可得出答案．
【解析】解：根据加权平均数的定义，
他的总评成绩是：90×10%+80×30%+80×60%＝81（分），
故选：B．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
7．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． D．
【点拨】全班同学有x名学生，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程即可．
【解析】解：全班同学有x名学生，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1980，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，其中x（x﹣1）不能和握手问题那样除以2，另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性，即考虑解的取舍．
8．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【点拨】分别把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．
【解析】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝1，y2＝﹣＝2，y3＝﹣＝﹣1，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点F，交BC于点E，点G在AB上，连接CG，交AE于点H，交BD于点M．若H为CG中点，AG＝GH，∠ABD＝α，则∠MAF＝（　　）
A．α﹣45° B．2α﹣90° C． D．
【点拨】根据矩形性质得OA＝OB＝OA，则∠OAB＝∠ABD＝α，根据AE⊥BD得∠BAF＝90°﹣α，则∠OAF＝∠OAB﹣∠BAF＝2α﹣90°；再根据AG＝GH得∠GHA＝∠BAF＝90°﹣α，则∠HMO＝90°﹣∠GHA＝α，证明OH是△AGC的中位线得OH∥AB，则∠HOM＝∠ABD＝α，进而得∠HMO＝∠HMO＝α，则AF是OM的垂直平分线，继而得AM＝AO，然后根据等腰三角形性质得∠MAF＝∠OAF＝2α﹣90°，据此即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABC是矩形，
∴OA＝OB＝OA，
∴∠OAB＝∠ABD＝α，
∵AE⊥BD，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABD＝90°﹣α，
∴∠OAF＝∠OAB﹣∠BAF＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°；
∵AG＝GH，
∴∠GHA＝∠BAF＝90°﹣α，
在Rt△MHF中，∠HMO＝90°﹣∠GHA＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∵OA＝OC，点H为CG中点，
∴OH是△AGC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠HOM＝∠ABD＝α，
∴∠HMO＝∠HMO＝α，
∴HO＝HM，
∵AF⊥BD，
∴OF＝MF，
∴AF是OM的垂直平分线，
∴AM＝AO，
∴∠MAF＝∠OAF＝2α﹣90°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，准确识图，熟练掌握矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键．
10．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【点拨】先根据四边形EFGH是正方形，证明AF⊥BG，再根据AG＝AB，证明GF＝BF，然后设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，根据全等三角形的性质证明AF＝BG＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理求出AB，最后根据正方形的面积公式求出答案即可．
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴∠GFE＝90°，
∴AF⊥BG，
∵AG＝AB，
∴AF是BG边上的中线，
∴GF＝BF，
设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，
∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH，
∴AF＝BG＝2x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握正方形与全等三角形的性质、等腰三角形的性质．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≤　 ．
【点拨】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解析】解：由题可知，
1﹣3x≥0，
解得x≤．
故答案为：x≤．
【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．某班五个兴趣小组的人数分别为4，5，x，4，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是 　5　 ．
【点拨】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
【解析】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，5，x，4，6，已知这组数据的平均数是5，
∴x＝5×5﹣4﹣5﹣4﹣6＝6，
∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，
∴这组数据的中位数是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义．
13．已知y与（2x+1）成反比例，且当x＝1时，y＝3，那么当x＝4时，y＝　1　 ．
【点拨】根据反比例函数的定义，设y＝，再把已知的一组对应值代入求出k得到y与x的函数关系式，然后计算自变量为4时的函数值即可．
【解析】解：设y＝，
把x＝1，y＝3代入得＝3，
解得k＝9，
所以y＝，
当x＝4时，y＝＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　14　 ．
【点拨】先利用根与系数的关系求出两根的和、积，再变形含两根的整式代入得结论．
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝﹣5．
∴（x1﹣x2）2+3x1x2
＝+x1x2+
＝（x1+x2）2﹣x1x2
＝32﹣（﹣5）
＝9+5
＝14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握跟与系数的关系及完全平方公式的变形是解决本题的关键．
15．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20，则DM＝　4　 ．
【点拨】先证明△ADB≌△ADE（ASA），得到AB＝AE＝12，BD＝DE，进而得到CE＝8，再证明DM是△BCE的中位线，得到，即可求出DM的长．
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（ASA），
∴AB＝AE＝12，BD＝DE，
∵AC＝20，
∴CE＝AC﹣AE＝8，
∵点M是边BC的中点，点D是边BE的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
16．如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E、F为边AD、CD上的动点，且AE＝CF，连接BF、CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为 　17　 ．
【点拨】作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于点H，连接AG，AE，EG，则CE＝EG，可得CG⊥BC，根据S菱形ABCD＝AD CH＝60，AD＝8，得CH＝7.5，得C G＝2CH＝15，得BG＝17，根据菱形性质和AE＝CF，可得△ABE≌△CBF（SAS），得BE＝BF，得BF+C E≥BG，得BE+CE取得最小值为17．
【解析】解：作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于点 H，连接AG，AE，EG，
则CG⊥AD，CH＝GH，CE＝EG，
∵AD∥BC，
∴CG∥BC，
∵菱形ABCD面积为＝AD CH＝60，AD＝8，
∴CH＝7.5，
∴CG＝2CH＝15，
∴，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，
∴BF+CE＝BE+CE＝BE+EG≥BG，
当点E在线段BG上时，BE+CE取得最小值17．
故答案为：17．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先算乘除，再算加减即可；
（2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解析】解：（1）原式＝﹣+4
＝﹣+4
＝2﹣3+4
＝6﹣3；
（2）原式＝+3﹣2
＝+1+3﹣2
＝2+1．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式及零指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键．
18．解方程：
（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2；
（2）．
【点拨】（1）移项，利用平方差公式解答即可；
（2）利用完全平方公式将左边变形，再开方即可得出答案．
【解析】解：（1）[（x﹣4）﹣（5﹣2x）][（x﹣4）+（5﹣2x）]＝0，
（3x﹣9）（1﹣x）＝0，
3x﹣9＝0或1﹣x＝0，
解得：x1＝3，x2＝1；
（2）∵2x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
则x﹣1＝0，
∴x1＝x2＝．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．学校组织开展数学竞赛活动．一班、二班各选出10名选手参赛，选手答题情况如下：
表一：答对题数量统计表
答对题数 5 6 7 8 9 10
一班选手 1 0 1 5 2 1
二班选手 0 0 4 3 2 1
表二：答对题数汇总表
平均数 中位数 众数 方差
一班选手 8 8 8 1.6
二班选手 　8　 　8　 　7　 　1　
（1）补全表二；
（2）分别从平均数、中位数、众数、方差四个方面评价两个班选手的成绩．
【点拨】（1）利用加权平均数，中位数即中间数据或中间两个数据的平均数，众数即出现次数最多的数据，方差的公式计算即可．
（2）比较平均数、中位数、众数、方差后作出决策．
【解析】解：（1）根据题意，得，
中位数是，
众数是7，，
补表如下：
平均数 中位数 众数 方差
一班选手 8 8 8 1.6
二班选手 8 8 7 1
（2）从平均数和中位数看，一班、二班选手成绩相同；
从众数看，一班选手成绩好于二班；
从方差看，二班选手成绩比一班选手成绩稳定．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握公式和定义是解题的关键．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的长．
【点拨】（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO＝CO，再利用平行线的性质可得∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，从而利用AAS证明△ADO≌△CBO，进而可得DO＝BO，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形ABCD是菱形，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得∠DBC＝60°，再利用菱形的性质可得BC＝CD＝AB＝3，从而可得△BCD是等边三角形，进而可得BD＝BC＝3，然后利用垂直定义可得∠BDE＝90°，从而可得∠E＝30°，进而可得BE＝2BD＝6，再利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝CO，
∵AD∥BE，
∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BO平分∠ABC，∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝3，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DBC＝30°，
∴BE＝2BD＝6，
∴DE＝＝＝3，
∴DE的长为3．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，AB在x轴上．反比例函数的图象经过点C；一次函数y＝kx﹣2的图象经过A，C两点，且与y轴交于点E．
（1）求出点E的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，若的x取值范围．
【点拨】（1）根据一次函数y＝kx﹣2的解析式可直接算出E点坐标；
（2）由题意知：∠AOE＝90°，由四边形ABCD为矩形，得∠ABC＝90°，解直角三角形，求出AO＝4，OB＝OA+AB＝6，得C（6，1），可求反比例函数解析式，
一次函数解析式；
（3）根据函数图象可以直接写出答案．
【解析】解：（1）对于函数y＝kx﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，
∴E（0，﹣2）；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，，
∵∠OAE＝∠CAB，
∴，
在Rt△AOE中，，
∴AO＝4，
∴OB＝OA+AB＝6，
∴C（6，1），
由条件可知，
∴m＝6，
∴反比例函数解析式为，
∵C（6，1）在y＝kx﹣2图象上，
∴1＝6k﹣2，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）∵C（6，1），
∴当x＞0时，若，即直线在曲线上方，
得x＞6．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，以及解直角三角形，解决问题的关键是求出点C的坐标．
22．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【点拨】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG＝＝＝3，
∴DE＝EG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
23．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为x m．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【点拨】（1）利用BC＝不锈钢栅栏的总长+2﹣3×AB，即可用含x的代数式表示出车棚的长BC；
（2）根据矩形车棚ABCD的面积为450m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合可利用的墙长为42m，即可得出结论；
（3）假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，根据矩形车棚ABCD的面积为525m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣75＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为525m2的自行车车棚．
【解析】解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m，
∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m；
（2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去；
当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意．
答：车棚的长为30m，宽为15m；
（3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下：
假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，
根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525，
整理得：y2﹣25y+175＝0，
∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即不能围成面积为525m2的自行车车棚．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点C为旋转中心，将矩形ABCD沿顺时针方向旋转，得到矩形EFCG，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G．
（1）如图①，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长；
（2）如图②，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求△CDF的面积；
（3）如图③，将矩形ABCD旋转一定角度后，连接BF，DG交于点H，连接BG，DF，直接写出BG2+DF2的值．
【点拨】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：CB＝CF＝4，即可求出线段AF的长；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，在Rt△BDC中，，由矩形旋转可知：CB＝CF，根据CH⊥BD，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解；
（3）连接BD，GF，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ACB中，，
由矩形旋转可知：CB＝CF＝4，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣4＝1，
则线段AF的长为1；
（2）如图②，过点C作CH⊥BD于点H，
在Rt△BDC中，，
由矩形旋转可知：CB＝CF，
∵CH⊥BD，
∴，
∵，
∴，
在Rt△BCH中，，
∴，
∴，
∴，
则△CDF的面积为；
（3）BG2+DF2的值为50；理由如下：
如图③，
连接BD，GF，
由矩形旋转可知：CB＝CF，CD＝CG，∠BCF＝∠DCG，
∴∠CBF＝∠CFB，∠CDG＝∠CGD，
∴∠CBF＝∠CDG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
则可证：BF⊥DG，
在Rt△BGH中，BG2＝BH2+HG2，
在Rt△DFH中，DF2＝DH2+HF2，
在Rt△BDH中，BD2＝BH2+DH2，
在Rt△FGH中，GF2＝HF2+HG2，
∴BG2+DF2＝BD2+GF2，
∴BG2+DF2＝50，
则BG2+DF2的值为50．
【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键．
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