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2024-2025学年第二学期八年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．乘坐轨道交通已经成为市民出行的重要方式之一．下列四幅轨道交通标志图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣xy＝2 C． D．2（x﹣1）＝x
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列的各点中，在反比例函数y＝图象上的点是（　　）
A．（2，4） B．（1，5） C．（，2） D．（，）
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．邻角互补
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．“求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°．”用反证法证明这个命题时，应先假设（　　）
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
7．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．﹣8
8．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
9．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发滑着线段AD向点D运动（不与点A，D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D，C重合，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点、则有下列结论：
①∠BGF是定值；
②FB平分∠AFC；
③当E运动到AD中点时，；
④当时，四边形GEDF的面积是．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ．
12．数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是 　 　 ．
13．若一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 　 　 ．
14．如果4x2﹣kx+16是一个完全平方式，那么k的值是　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点A（2，2）在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中DE＝　 　 ．
16．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（6，8）．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结ED，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF，连结DF，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DEF的面积为 　 　 ．
（2）记点G为线段EF的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解下列方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝4；
（2）2（x+1）﹣x（x+1）＝0．
19．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长．
20．随着我国人民生活水平和质量的提高，百岁寿星日益增多．某市是中国的长寿之乡，截至2020年2月底，该市五个地区的100周岁以上的老人分布如表（单位：人）：
地区性别 一 二 三 四 五
男性 21 30 38 42 20
女性 39 50 73 70 37
根据表格中的数据得到条形图如图：
解答下列问题：
（1）请把统计图中地区二和地区四中缺失的数据、图形补充完整；
（2）填空：该市五个地区100周岁以上老人中，男性人数的平均数是　 　 人，女性人数的中位数是　 　 人；
（3）预计2025年该市100周岁以上的老人将比2020年2月的统计数增加100人，请你估算2025年地区一增加100周岁以上的男性老人多少人．
21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠1＝∠2．有下列条件：①AB＝BC；②AC⊥BD．
（1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝，求菱形ABCD的面积．
22．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（a，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P为x轴上一动点，当△AOP是以OA为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
23．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每1块纸板长和宽分别为30cm，20cm．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是264cm2．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是252cm2．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
24．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：△ADE≌△BAF；
（2）若△DEF的面积为6，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．乘坐轨道交通已经成为市民出行的重要方式之一．下列四幅轨道交通标志图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解析】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣xy＝2 C． D．2（x﹣1）＝x
【点拨】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
【解析】解：A．x2﹣2x﹣3＝0只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
B．x2﹣xy＝2，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．为分式方程，故该选项不符合题意；
D．2（x﹣1）＝x是一元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的加减法法则，二次根式的性质逐项判断即可解答．
【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
4．下列的各点中，在反比例函数y＝图象上的点是（　　）
A．（2，4） B．（1，5） C．（，2） D．（，）
【点拨】根据解析式逐项判断即可．
【解析】解：∵，
∴xy＝5，
A．2×4＝8≠5，故（2，4）不在图象上；
B．1×5＝5，故（1，5）在图象上；
C．＝1≠5，故不在图象上；
D．，故不在图象上．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数上点的坐标特征，解题关键是知道反比例函数上的点的横纵坐标之积等于比例系数．
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【点拨】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．
【解析】解：∵矩形和菱形是平行四边形，
∴A、B、C是二者都具有的性质，
∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质．
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形和菱形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．“求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°．”用反证法证明这个命题时，应先假设（　　）
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
【点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，∠A，∠B中至少有一个不大于45°的反面是∠A＞45°，∠B＞45°．
【解析】解：求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°，
用反证法证明这个命题时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．﹣8
【点拨】由新数据是将原数据每个均减去2所得，知新数据与原数据的波动幅度保持不变，据此可得答案．
【解析】解：由题意知，新数据是将原数据每个均减去2所得，
所以新数据与原数据的波动幅度保持不变，
所以数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
8．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
【点拨】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代入原式中即可求出结论．
【解析】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝3，
∴m2+5m+n+2024
＝m2+4m+m+n+2024
＝3﹣4+2024
＝2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键．
9．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
【点拨】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【解析】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发滑着线段AD向点D运动（不与点A，D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D，C重合，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点、则有下列结论：
①∠BGF是定值；
②FB平分∠AFC；
③当E运动到AD中点时，；
④当时，四边形GEDF的面积是．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据题意可证Rt△BAE≌Rt△ADF（SAS），可判定结论①；条件不足无法判定结论②；根据当点E运动到AD中点时，点F从点D同时出发，则点F运动到DC中点，再结合勾股定理可判定结论③；根据S四边形GEDF＝S△ABG可判定结论④，由此即可求解．
【解析】解：结论①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，
在Rt△BAE，Rt△ADF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BGF＝180°﹣90°＝90°，即∠BGF是定值，故结论①正确；
结论②，
由结论①可知，∠BGF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵无法证明GF＝FC，
∴无法确定BF平分∠AFC，故结论②错误；
结论③，
当点E运动到AD中点时，且AD＝DC＝2，
∵点F从点D同时出发，
∴点F运动到DC中点，
∴，
∴，
∵点H是BF中点，
∴，故结论③正确；
结论④，
∵由结论①正确可知△BAE≌△ADF，∠AGB＝90°，
∴S四边形GEDF+S△AEG＝S△ABG+S△AEG，
∴S四边形GEDF＝S△ABG，
若，即（AG+BG）2＝AG2+2AG BG+BG2＝6，
在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2＝22＝4，
∴2AG BG＝6﹣4＝2，则AG BG＝1，
∴S△ABG＝AG BG＝×1＝，
∴四边形GEDF的面积是，故结论④正确；
综上所述，正确的有①③④，3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥　 ．
【点拨】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【解析】解：依题意有2x﹣3≥0，
即x≥时，二次根式有意义．
故若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥．
【点睛】主要考查了二次根式的概念．
二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是 　37　 ．
【点拨】根据众数的定义解答即可．
【解析】解：这8个数据中，37出现的次数最多，故众数为37．
故答案为：37．
【点睛】本题主要考查了众数，解决此题的关键是明确众数的定义．
13．若一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 　8　 ．
【点拨】设这个多边形的边数为n，由题意列得方程，解方程即可．
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°×3，
解得：n＝8，
即这个多边形的边数为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
14．如果4x2﹣kx+16是一个完全平方式，那么k的值是　±16　 ．
【点拨】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解析】解：由条件可知kx＝±2×2x×4，
解得k＝±16，
故答案为：±16．
【点睛】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式是关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC的顶点A（2，2）在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中DE＝　　 ．
【点拨】根据点A的坐标为（2，2），即可得出OA的长以及反比例函数的解析式，即可得出B点坐标，根据平移的性质即可得出D点的纵坐标，进而利用正比例函数OA的解析式求得E点的坐标，进一步即可得出答案．
【解析】解：∵菱形AOBC的顶点A（2，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数为y＝，
由A（2，2）可知OA＝＝2，
∴OB＝OA＝2，
∵将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，
∴点D的横坐标为2，
把x＝2代入y＝得，y＝，
∴D（2，），
设直线OA为：y＝ax（a≠0），则2＝2a，
解得a＝1，
故直线OA为：y＝x，
∵DE∥OB，E点的纵坐标为，
∴E（，），
∴DE＝2﹣＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，根据已知得出D、E点坐标是解题关键．
16．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（6，8）．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结ED，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF，连结DF，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DEF的面积为 　10　 ．
（2）记点G为线段EF的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为 　3　 ．
【点拨】（1）由t＝2，得OD＝AE＝2，AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，DE2＝AD2+AE2＝20，由△DEF为等腰Rt△，得△DEF的面积为DE2＝10．
（2）当D与O重合时，EF＝ED＝6，EG＝EF＝3．当D与A重合时，EF＝DE＝6，EG'＝EF＝3，连GG'，故GG'＝＝＝3．
【解析】解：（1）∵t＝2，
∴OD＝AE＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
DE2＝AD2+AE2＝20，
∵△DEF为等腰Rt△，
∴△DEF的面积为DE2＝10，
故答案为：10．
（2）当D与O重合时，如图：
∴EF＝ED＝6，
∴EG＝EF＝3．
当D与A重合时，如图：
∴EF＝DE＝6，
∴EG'＝EF＝3．
连GG'，
∴GG'＝＝＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了轨迹，三角形面积，矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，掌握这些知识是解题关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先由二次根式性质化简，再计算二次根式除法，最后根据二次根式加减运算求解即可得到答案；
（2）根据平方差公式，二次根式性质及有理数减法运算求解即可得到答案．
【解析】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及平方差公式、二次根式性质、二次根式加减运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键．
18．解下列方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝4；
（2）2（x+1）﹣x（x+1）＝0．
【点拨】（1）先整理出一般式，然后根据因式分解法进行求解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法进行求解一元二次方程即可．
【解析】解：（1）（x+1）（x﹣2）＝4，
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x+2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3；
（2）2（x+1）﹣x（x+1）＝0，
（x+1）（2﹣x）＝0，
∴x+1＝0或2﹣x＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长．
【点拨】（1）由“AAS”可证△OBE≌△ODF，可得BO＝DO；
（2）由等腰直角三角形的性质可得FG＝DF＝，DG＝FG＝2，∠G＝45°，可证△DGO是等腰直角三角形，可得DG＝DO＝2，可证BD＝4，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE＝∠ODF．
在△OBE与△ODF中，
，
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO＝DO；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠GDF＝45°，∠GFD＝∠AEG＝90°，
∴△GFD是等腰直角三角形，
∴FG＝DF＝，DG＝FG＝2，∠G＝45°，
∵BD⊥AD，
∴△DGO是等腰直角三角形，
∴DG＝DO＝2，
∴DO＝BO＝2，
∴DB＝4，
∵∠A＝45°，BD⊥AD，
∴∠A＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD＝4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．随着我国人民生活水平和质量的提高，百岁寿星日益增多．某市是中国的长寿之乡，截至2020年2月底，该市五个地区的100周岁以上的老人分布如表（单位：人）：
地区性别 一 二 三 四 五
男性 21 30 38 42 20
女性 39 50 73 70 37
根据表格中的数据得到条形图如图：
解答下列问题：
（1）请把统计图中地区二和地区四中缺失的数据、图形补充完整；
（2）填空：该市五个地区100周岁以上老人中，男性人数的平均数是　30.2　 人，女性人数的中位数是　50　 人；
（3）预计2025年该市100周岁以上的老人将比2020年2月的统计数增加100人，请你估算2025年地区一增加100周岁以上的男性老人多少人．
【点拨】（1）根据表格中所给数据正确画图即可；
（2）根据平均数的计算公式和中位数的定义即可得出答案；
（3）用样本平均数估计总体平均数，再进一步计算．
【解析】解：（1）根据图表给出的数据补图如下：
（2）男性人数的平均数是：（21+30+38+42+20）÷5＝30.2（人），
把女性人数从小到大排列，中位数是50人；
故答案为：30.2，50；
（3）[21÷（21+30+38+42+20+39+50+73+70+37）]×100＝5（人）．
答：2025年地区一增加100周岁以上的男性老人5人．
【点睛】本题考查了绘制条形统计图、求平均数、中位数和用样本估计总体等统计初步知识；同时突出考查学生正确获取并处理信息的能力．
21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠1＝∠2．有下列条件：①AB＝BC；②AC⊥BD．
（1）从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝，求菱形ABCD的面积．
【点拨】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形或对角线垂直的平行四边形为菱形，即可得证；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出AO，BO的长，进而求出AC，BD的长，再根据菱形的面积公式进行计算即可．
【解析】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
当选择①时：
∵AB＝BC，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；
当选择②时：
∵AC⊥BD，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：由题意可得：BD平分∠ABC，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的面积为．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，正确进行计算是解题关键．
22．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（a，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P为x轴上一动点，当△AOP是以OA为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
【点拨】（﹣2，1），
【解析】解：（1）把B（a，﹣2）代入反比例解析式得：﹣2＝﹣，
即a＝1，
∴B（1，﹣2）
把A与B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）设直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点为E，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴E（0，﹣1），
∴OE＝1，
∴S△AOB＝S△AOE+S△BOE＝OE |xA|+OE |xB|＝×1×（2+1）＝；
（3）∵点A的坐标为（﹣2，1），
∴OA＝＝，
当OA＝OP＝时，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，
∴P（﹣，0）或（，0），
当AO＝AP时，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，
∴OP＝4，
∴P（﹣4，0），
综上所述，当△AOP是以OA为腰的等腰三角形时，点P的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣4，0）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形性质，三角形的面积的计算，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
23．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每1块纸板长和宽分别为30cm，20cm．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是264cm2．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是252cm2．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
【点拨】任务1：设该长方体盒子的高为x cm，根据该长方体盒子的底面的面积是264cm2，结合图形，列出一元二次方程，解方程即可；
任务2：设该长方体盒子的高为x cm，根据该长方体盒子的底面的面积是252cm2，结合图形，列出一元二次方程，解方程即可；
任务3：设每个有盖盒子应降价y元，则每个有盖盒子售价为（28﹣y）元，根据每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，使每天获利160元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：任务1：设该长方体盒子的高为x cm，
由题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝264，
整理得：x2﹣25x+84＝0，
解得：x1＝4，x2＝21（不合题意，舍去），
答：该长方体盒子的高为4cm；
任务2：设该长方体盒子的高为x cm，
由题意得：（×30﹣x）（20﹣2x）＝252，
整理得：x2﹣25x+24＝0，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
答：该长方体盒子的高为1cm；
任务3：设每个有盖盒子应降价y元，则每个有盖盒子售价为（28﹣y）元，
由题意得：（20﹣15）×10+（28﹣y﹣15）（6+2y）＝160，
整理得：y2﹣10y+16＝0，
解得：y1＝2，y2＝8，
答：每个有盖盒子应降价2元或8元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：△ADE≌△BAF；
（2）若△DEF的面积为6，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
【点拨】（1）先根据正方形性质及AF⊥DE可证明∠DAE＝∠BAF，进而可依据“SAS”判定△ADE和△BAF全等；
（2）设AE＝a，由（1）的结论得AE＝BF＝a，则BE＝4﹣a，CF＝4﹣a，由三角形面积公式得S△ADE＝2a，S△BEF＝a（4﹣a），S△DCF＝2（4﹣a），再根据S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△DCF＝6，得16﹣2a﹣a（4﹣a）﹣2（4﹣a）＝6，由此解出a＝2，则AE＝BF＝a＝2，然后再由勾股定理即可求出AF的长；
（2）连接AM并延长交CD于点P，连接PF，证明△MDP和△MEA全等得DP＝AE，再根据在（2）的条件下得AE＝BF＝DP＝2，进而得CP＝2，CF＝2，则PF＝，再证明MN是△APF的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出MN的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA）；
（2）解：设AE＝a，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AD＝BA＝BC＝CD＝4，AB∥CD，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣a，
由（1）可知：△ADE≌△BAF，
∴AE＝BF＝a，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣a，
∴S△ADE＝2a，S△BEF＝a（4﹣a），S△DCF＝2（4﹣a），
又∵S正方形ABCD＝16，△DEF的面积为6，
∴S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△DCF＝6，
∴16﹣2a﹣a（4﹣a）﹣2（4﹣a）＝6，
整理得：a2﹣4a+4＝0，
∴（a﹣2）2＝0，
∴a＝2，
∴AE＝BF＝a＝2，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝＝；
（2）解：连接AM并延长交CD于点P，连接PF，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠MDP＝∠MEA，∠MPD＝∠MAE，
∵点M是DE的中点，
∴MD＝ME，
在△MDP和△MEA中，
，
∴△MDP≌△MEA（AAS），
∴DP＝AE，
∵在（2）的条件下，
∴AE＝BF＝2，
∴DP＝AE＝2，
∴CP＝CD﹣DP＝2，CF＝BC﹣BE＝2，
在Rt△CPF中，由勾股定理得：PF＝＝＝，
∵点M是DE的中点，点N是AF的中点，
∴MN是△APF的中位线，
∴MN＝PF＝．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用三角形的面积公式构造方程是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和三角形的中位线是解决问题的难点．
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