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2024-2025学年第二学期七年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＝0 B．x≠5 C．x≠0 D．x＝5
2．计算：2026﹣1＝（　　）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
3．下列调查方式，最适合全面调查的是（　　）
A．了解某班学生每天完成数学作业所用的时间
B．检测某品牌淀粉肠是否符合食品卫生标准
C．调查全市中学生对电影《热辣滚烫》的喜爱程度
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
4．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a12÷a4＝a3 C．a4 a3＝a7 D．a3+a3＝2a6
5．如图，直线l1∥l2，点C在l1上，点B在l2上，∠ACB＝90°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；
③；④；⑤43m＝n+2．
其中正确的是（　　）
A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④
7．已知a﹣b＝3，ab＝10，那么a2+b2的值为（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
8．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，b，则a＝（　　）
A． B． C． D．
9．将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°，有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则AC∥DE；③∠BAE+∠CAD＝180°，其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（　　）
①；
②若，则；
③不存在整数x使得的值为负整数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．因式分解：9x2﹣4＝　 　 ．
12．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 　 　 cm．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝16，则m的值为　 　 ．
14．已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组．若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为 　 　 ．
15．已知，且x≠y，则＝　 　 ．
16．定义：若数p可以表示成p＝x2+y2﹣xy（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 　 　 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是2n﹣1（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 　 　 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（y+x）（y﹣3x）]÷x，其中x＝﹣5，y＝．
19．某校为了解七年级男生身体素质情况，随机抽取了七年级若干名男生，对他们100米跑步进行测试，以测试数据（精确到0.1秒）为样本，绘制出频数表和频数分布直方图，如图所示．
某校七年级部分男生100米跑步成绩的频数表
组别（秒） 频数 频率
12.55～13.55 2 0.1
13.55～14.55 5 0.25
14.55～15.55 a 0.35
15.55～16.55 4 b
16.55～17.55 2 0.1
请结合图表完成下列问题：
（1）a＝　 　 ；b＝　 　 ．
（2）请把频数分布直方图补充完整．
（3）若100米跑步成绩为15.5秒或小于15.5秒为优秀，七年级男生共有150名，请估计七年级男生100米跑步成绩达到优秀的人数．
20．已知关于x，y的方程组
（1）若方程组的解满足x+y＝1，求m的值；
（2）无论实数m取何值，关于x，y的方程mx﹣2y＝3总有一个固定的解，请求出这个解．
21．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．
22．如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形（0＜x＜y）．
（1）观察图形，代数式2x2+3xy+y2可因式分解为 　 　 ；
（2）图中阴影部分面积之和记作S1，非阴影部分面积之和记作S2．
①用含x，y的代数式表示S1，S2；
②若，求的值．
23．某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 　 　 千克，第一次购进水果的单价为 　 　 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 　 　 （直接写出结果）．
24．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，
①若∠ABC＝40°，求∠AFB+∠CGD的度数；
②当∠ABC的度数变化时，∠AFB+∠CGD的度数是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且
，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　 　 ．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＝0 B．x≠5 C．x≠0 D．x＝5
【点拨】根据分式有意义的条件即可求解．
【解析】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴5﹣x≠0，
∴x≠5，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题的关键．
2．计算：2026﹣1＝（　　）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
【点拨】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解析】解：2026﹣1＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．下列调查方式，最适合全面调查的是（　　）
A．了解某班学生每天完成数学作业所用的时间 B．检测某品牌淀粉肠是否符合食品卫生标准C．调查全市中学生对电影《热辣滚烫》的喜爱程度 D．调查某批次汽车的抗撞击能力
【点拨】根据抽样调查和全面调查的分类逐项分析即可．
【解析】解：A、该事件适合全面调查，故符合题意；
B、该事件适合抽样调查，故不符合题意；
C、该事件适合抽样调查，故不符合题意；
D、该事件适合抽样调查，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全面调查，对总体中的每个个体都进行的调查称为全面调查，对于总体中个体数量比较大、具有破坏性或不可能也没必要时，不适宜采用全面调查，把握这一特点是解题的关键．
4．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a12÷a4＝a3 C．a4 a3＝a7 D．a3+a3＝2a6
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项的运算法则，逐一判断即可．
【解析】解：A．（a3）4＝a12，故本选项不符合题意；
B．a12÷a4＝a8，故本选项不符合题意；
C．a4 a3＝a7，故本选项符合题意；
D．a3+a3＝2a3，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项，熟记以上知识点是解题的关键．
5．如图，直线l1∥l2，点C在l1上，点B在l2上，∠ACB＝90°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【点拨】根据平行线的性质即可求解．
【解析】解：如图所示，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∵∠ACB＝∠1+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，
∴∠2＝∠4＝65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
6．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；
③；④；⑤43m＝n+2．
其中正确的是（　　）
A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④
【点拨】分别由乘客人数不变及客车的数量不变，可列出关于m，n的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：由乘客人数不变，可列出方程40m+10＝43m﹣2，43m＝n+2；
由客车的数量不变，可列出方程＝；
∴正确的方程有①③⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．已知a﹣b＝3，ab＝10，那么a2+b2的值为（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
【点拨】将a﹣b＝3两边平方，利用完全平方公式展开，把ab＝10代入计算即可求出所求的值．
【解析】解：将a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，
把ab＝10代入得：a2+b2﹣20＝9，
则a2+b2＝29．
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
8．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，b，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据等式的性质解答即可．
【解析】解：∵p＝，p，b为已知量，
∴pa＝b﹣a，
即a（p+1）＝b，
∴a＝，
故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质，关键是把等式变形．
9．将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°，有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则AC∥DE；③∠BAE+∠CAD＝180°，其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
【解析】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
故①正确，符合题意；
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠E＝60°，
∴AC∥DE，
故②正确，符合题意；
③∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，
∴∠BAE+∠CAD＝180°．
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
10．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（　　）
①；
②若，则；
③不存在整数x使得的值为负整数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】依据题意，根据所给信息逐个求出F3，F4，F5，F6，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解．
【解析】解：由题意，∵，
∴F3＝＝，故①错误．
∴F4＝，F5＝，F6＝．
∴++＝++＝＝84+．
∵＜x＜1，
∴1＜＜2．
∴87＜84+＜90，即87＜++＜90，故②正确．
∵＝＝＝＝8﹣，
又若整数x使得为整数，
∴4x+1＝﹣7．
∴此时，为15．
∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确．
综上，正确的有②③共2个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握并能读懂题意，准确计算是关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．因式分解：9x2﹣4＝　（3x﹣2）（3x+2）　 ．
【点拨】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解析】解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
12．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 　2　 cm．
【点拨】先根据平移的性质得出AD＝BE，△ABC≌△DEF，故可得出AB＝DE，据此可得出结论．
【解析】解：∵△ABC沿BC平移得到△DEF，
∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴△DEF的周长为17cm，
∵四边形ABFD的周长是21cm，
∴2AD+17＝21，
解得DE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝16，则m的值为　4　 ．
【点拨】先把两方程相减，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可．
【解析】解：关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝16，则：
，
①﹣②得：2x+2y＝8m，
则x+y＝4m
∵x+y＝16，
∴4m＝16，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键．
14．已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组．若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为 　15　 ．
【点拨】先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数．
【解析】解：第五组的频数为：100×0.25＝25，
所以第四组的频数为：100﹣60﹣25＝15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了频数与频率，总体、个体、样本、样本容量，掌握频率＝频数÷总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键．
15．已知，且x≠y，则＝　2　 ．
【点拨】先将化成2y﹣x＝xy的形式再进行计算即可．
【解析】解：∵＝1，
∴﹣＝1，
∴＝1，
∴2y﹣x＝xy，
将2y﹣x＝xy代入得＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查分式的加减法与分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
16．定义：若数p可以表示成p＝x2+y2﹣xy（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 　是　 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是2n﹣1（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 　4n2+3　 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 　67　 ．
【点拨】（1）根据定义判断即可；
（2）①设另一个奇数是 2n+1，依照定义计算化简即可；
②设这两个“H希尔伯特”数为 4m2+3，4n2+3，按照已知列式计算即可．
【解析】解：（1）由于数1能表示成 12+12﹣1×1＝1 的形式，
∴1是“希尔伯特”数；
故答案为：是．
（2）①设另一个奇数是 2n+1，
∴（2n﹣1）2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）（2n+1）＝4n2+3，
故答案为：4n2+3．
②由①可设这两个“H希尔伯特”数为 4m2+3，4n2+3，（n＞m），
∴（4n2+3）﹣（4m2+3）＝48，
∴4（n2﹣m2）＝48，
∴n2﹣m2＝12，
∴（n+m）（n﹣m）＝12，
解得，m＝2，n＝4，
∴4n2+3＝67．
故答案为：67．
【点睛】本题考查了数字的变化规律的探究，理解新定义并应用是解题关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【点拨】（1）先因式分解、再通分、最后化简即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【解析】解：（1）
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝；
（2），
②×3得，3x+9y＝6③，
③﹣①得，y＝，
将y＝代入②得，x＝﹣，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查分式的加减、二元一次方程组的解，熟练掌握分式的化简方法，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（y+x）（y﹣3x）]÷x，其中x＝﹣5，y＝．
【点拨】根据平方差公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式计算，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解析】解：[（2x+y）（2x﹣y）+（y+x）（y﹣3x）]÷x
＝（4x2﹣y2+y2﹣3xy+xy﹣3x2）÷x
＝（x2﹣2xy）÷x
＝x2÷x﹣2xy÷x
＝x﹣2y，
当x＝﹣5，y＝时，原式＝﹣5﹣2×＝﹣6．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．某校为了解七年级男生身体素质情况，随机抽取了七年级若干名男生，对他们100米跑步进行测试，以测试数据（精确到0.1秒）为样本，绘制出频数表和频数分布直方图，如图所示．
某校七年级部分男生100米跑步成绩的频数表
组别（秒） 频数 频率
12.55～13.55 2 0.1
13.55～14.55 5 0.25
14.55～15.55 a 0.35
15.55～16.55 4 b
16.55～17.55 2 0.1
请结合图表完成下列问题：
（1）a＝　7　 ；b＝　0.2　 ．
（2）请把频数分布直方图补充完整．
（3）若100米跑步成绩为15.5秒或小于15.5秒为优秀，七年级男生共有150名，请估计七年级男生100米跑步成绩达到优秀的人数．
【点拨】（1）由12.55～13.55的频数及频率求出被调查的总人数，继而用总人数乘以14.55～15.55的频率可得a的值，用15.55～16.55的频数除以总人数可得b的值；
（2）根据以上所求a的值即可补全直方图；
（3）用总人数乘以100米跑步成绩为15.5秒或小于15.5秒的频率之和即可．
【解析】解：（1）∵被调查的总人数为2÷0.1＝20（人），
∴a＝20×0.35＝7，b＝4÷20＝0.2，
故答案为：7、0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计七年级男生100米跑步成绩达到优秀的人数为150×（0.1+0.25+0.35）＝105（人）．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．已知关于x，y的方程组
（1）若方程组的解满足x+y＝1，求m的值；
（2）无论实数m取何值，关于x，y的方程mx﹣2y＝3总有一个固定的解，请求出这个解．
【点拨】（1）将y＝1﹣x代入方程组，得到关于x和m的一元二次方程组并求解即可；
（2）若方程mx﹣2y＝3的解与m无关，则x＝0，从而得到这个固定解．
【解析】解：（1）将y＝1﹣x代入方程组，得，
由①，解得x＝4，
将x＝4代入②，得4（m+2）﹣2＝3，
解得m＝﹣．
（2）若方程mx﹣2y＝3的解与m无关，则x＝0，
得﹣2y＝3，
解得y＝﹣，
∴这个固定解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
21．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．
【点拨】（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可．
【解析】（1）证明：∵∠2＝∠3，
∴CE∥NF，
∴∠C＝∠FND，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FND＝∠1，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°，
∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°，
∴∠BEC＝80°+47°＝127°，
∴∠AEP＝∠BEC＝127°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形（0＜x＜y）．
（1）观察图形，代数式2x2+3xy+y2可因式分解为 　（2x+y）（x+y）　 ；
（2）图中阴影部分面积之和记作S1，非阴影部分面积之和记作S2．
①用含x，y的代数式表示S1，S2；
②若，求的值．
【点拨】（1）认真观察图形可知，2x2+3xy+y2是长为2x+y，宽为x+y的长方形的面积，由此得出答案；
（2）①根据图形，根据正方形的面积和长方形的面积，可用x表示出S1＝3xy，；
②根据，可整理，得出（2x﹣y）2＝0，进而得出y＝2x，由此解答，即可得出答案．
【解析】解：（1）观察图形可知，2x2+y2 表示空白部分的面积，3xy表示阴影部分的面积，
∴2x2+3xy+y2表示矩形纸片的面积，而矩形纸片的长为2x+y，宽为x+y，
∴2x2+3xy+y2 可因式分解为（2x+y）（x+y）．
故答案为：（2x+y）（x+y）；
（2）①观察图形可得：S1＝xy+xy+xy＝3xy，；
②∵，
∴3xy﹣2x2﹣y2＝2x2﹣xy，
整理，得4x2﹣4xy+y2＝0，
∴（2x﹣y）2＝0，
∴2x﹣y＝0，
∴y＝2x，
∴
＝
＝
＝1．
【点睛】本题考查了代数式求值，列代数式，因式分解的应用，认真观察图形，列出正确代数式，进行求值是解题的关键．
23．某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 　1.5x　 千克，第一次购进水果的单价为 　　 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 　2或3　 （直接写出结果）．
【点拨】（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
（2）由题意：第二次购进水果的价格比第一次高出2元，列出分式方程，解方程即可；
（3）由题意：共获利为1440元，列出方程，求出符合题意的a的正整数解即可．
【解析】解：（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：1.5x，；
（2）由题意得：+2＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×120＝180，
答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克；
（3）由题意得：15m+（15﹣a）（120+180﹣m）﹣960﹣1800＝1440，
解得：a＝，
∵a为正整数，100≤m≤200，
∴当a＝1时，m＝0，不合题意舍去；
当a＝2时，m＝150，符合题意；
当a＝3时，m＝200，符合题意；
当a＝4时，m＝225超过范围；
综上所述，a的值为2或3，
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，最值等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，
①若∠ABC＝40°，求∠AFB+∠CGD的度数；
②当∠ABC的度数变化时，∠AFB+∠CGD的度数是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且
，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN　 ．
【点拨】（1）过点E作EK∥a（点K在点E的右侧），证明a∥b∥EK，进而得∠ABC＝∠BEK，∠ADC＝∠DEK，则∠ABC+∠ADC＝∠BEK+∠DEK＝∠BED，再根据AD⊥BC即可得出结论
（2）根据∠ABC+∠ADC＝90°，∠ABC＝40°得∠ADC＝50°，再根据角平分线定义得∠ABF＝20°，∠CDG＝25°，由（1）得∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝70°，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝65°，则∠AFB＝110°，∠CGD＝115°，由此可得出∠AFB+∠CGD的度数；
②根据角平分线定义设∠ABF＝∠CBF＝α，∠CDG＝∠ADG＝β，则∠ABC＝2α，∠ADC＝2β，根据∠ABC+∠ADC＝90°得α+β＝45°，由（1）得∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝α+2β，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝2α+β，进而得∠AFB＝180°﹣（α+2β），∠CGD＝180°﹣（2α+β），由此得∠AFB+∠CGD＝225°，据此即可得出答案；
（3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设∠NCD＝α，则∠BCN＝2α，∠BCD＝3α，根据角平分线的定义设∠IPN＝∠BPN＝β，则∠IPB＝2β，由（1）得∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+3α，∠CNP＝∠BPN+∠NCD＝β+α，进而得∠CIP+∠IPN＝3（β+α），由此可得出∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作NH∥直线a（点H在点N的左侧），设∠NCD＝α，则∠BCD＝α，设∠IPN＝∠BPN＝β，则∠IPB＝2β，由（1）得∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+α，再根据平行线的性质求出∠CNP＝β﹣α，则∠CIP+∠CNP＝3β，由此可得出∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系，综上所述即可得出答案．
【解析】（1）证明：过点E作EK∥a（点K在点E的右侧），如图1所示：
∵a∥b，
∴a∥b∥EK，
∴∠ABC＝∠BEK，∠ADC＝∠DEK，
∴ABC+∠ADC＝∠BEK+∠DEK＝∠BED，
∵AD⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）解：①由（1）得：∠ABC+∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝50°，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠ADC，
∴∠ABF＝∠ABC＝20°，∠CDG＝∠ADC＝25°，
由（1）得：∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝20°+50°＝70°，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝40°+25°＝65°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFD＝110°，∠CGD＝180°﹣∠DGB＝115°，
∴∠AFB+∠CGD＝225°；
②当∠ABC的度数变化时，∠AFB+∠CGD的度数不变化，始终为225°，理由如下：
∵BF平分∠ABC，DG平分∠ADC，
设∠ABF＝∠CBF＝α，∠CDG＝∠ADG＝β，
∴∠ABC＝2α，∠ADC＝2β，
由（1）得：∠ABC+∠ADC＝90°，
∴2α+2β＝90°，
∴α+β＝45°，
由（1）得：∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝α+2β，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝2α+β，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFD＝180°﹣（α+2β），∠CGD＝180°﹣∠DGB＝180°﹣（2α+β），
∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣3（α+β）＝360°﹣3×45°＝225°；
（3）∠CIP，∠IPN，∠CNP的数量关系是：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN，理由如下：
∵N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝1/2∠BCN，
∴有以下两种情况：
①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示：
设∠NCD＝α，
∵∠NCD＝∠BCN，
∴∠BCN＝2∠NCD＝2α，
∴∠BCD＝∠BCN+∠NCD＝3α，
∵N为∠IPB的角平分线上一点，
∴设∠IPN＝∠BPN＝β，
∴∠IPB＝2β，
由（1）得：∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+3α，∠CNP＝∠BPN+∠NCD＝β+α，
又∵∠IPN＝β，
∴∠CIP+∠IPN＝2β+3α+β＝3（β+α），
∴∠CIP+∠IPN＝3∠CNP；
②当点N在直线b的下方时，过点N作NH∥直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示：
设∠NCD＝α，
∵∠NCD＝∠BCN，
∴∠BCD＝∠NCD＝α，
∵N为∠IPB的角平分线上一点，
∴设∠IPN＝∠BPN＝β，则∠IPB＝2β，
由（1）得：∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+α，
∵a∥b，NH∥直线a，
∴a∥b∥NH，
∴∠HNP＝∠BPN＝β，∠HNC＝∠NCD＝α，
∴∠CNP＝∠HNP﹣∠HNC＝β﹣α，
∴∠CIP+∠CNP＝2β+α+β﹣α＝3β，
又∵∠IPN＝β，
∴∠CIP+∠CNP＝3∠IPN，
综上所述：∠CIP，∠IPN，∠CNP的数量关系是：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN．
故答案为：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
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