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七下数学期末复习压轴79题（23个考点）
题型一 幂的运算中字母关系问题
题型二 幂的运算新定义问题
题型三 幂的有规律运算问题
题型四 幂的混合运算
题型五 多项式乘法的规律性计算
题型六 多项式乘法与几何图形
题型七 乘法公式的变形求值
题型八 完全平方式在几何图形中的应用
题型九 整式乘法的新定义问题
题型十 配方法求最值
题型十一 图形的平移压轴
题型十二 折叠问题压轴
题型十三 旋转压轴
题型十四 二元一次方程组的特殊解法
题型十五 已知二元一次方程组的解求参数
题型十六 方案问题
题型十七 行程问题
题型十八 分配问题
题型十九 销售利润问题
题型二十 几何问题
题型二十一 一元一次不等式（组）含参问题
题型二十二 一元一次不等式（组）新定义
题型二十三 一元一次不等式（组）的应用
第七章 幂的运算
1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ．
2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ．
3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）．
4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令，求的值．
5．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④若，则，
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ．
7．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系；
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：
设，，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算： ．
8．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______；
“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则，；
(2)根据运算性质，填空：______．（a为正数）
(3)若，分别计算，．
9．（24-25·七年级下·江苏南京·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求的值．
10．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题．
请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程：
(1)尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空．
n（）
2 0.5
4 0.25
10 0.1
20 0.05 ①
250 0.004
2500 0.0004
(2)大胆猜想：
当且仅当的n的质因数仅含 和 时，可以化为有限小数．
(3)归纳：
如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0）
①当时， 是一个有限小数；
②当时， 也是一个有限小数．
反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成）
阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容．
11．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ．
12．（2025·江苏宿迁·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ．
13．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若，则 ．
14．（24-25·七年级下·江苏连云港·阶段练习）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果那么 ；
（2）如果，那么= ．
15．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，，满足，，则的值为 ．
16．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”．
(1)直接写出计算结果：_______，________；
(2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______．
(3)试说明（，为正整数且）．
17．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在．
类型一：简便计算
（1）______；
类型二：代数式求值
（2）若，，则______；
类型三：解方程
（3）解关于x的方程：．
18．（24-25·七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）．
例如，若，则．．
(1)若，
①填空：_______；
②当，求的值．
(2)若，化简：．
第八章 整式乘法
19．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）有如下的一列代数式：，，，，， ；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（ ）
①若，则；
②若代数式含有因式，则；
③若，那么当时，．
A．0 B．1 C．2 D．3
20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五
21．（24-25·七年级下·江苏南京·阶段练习）有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项，将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论：
①；
②若第101项与第51项之差为9500，则；
③当时，；
以上结论正确个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　）
小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A． B． C． D．
23．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算：的值是（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（ ）
A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4
C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5
25．（2025·山东临沂·一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号）
26．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ．
27．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知有理数满足，，则 ．
28．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ．
∴，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，该长方形为边长是8的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是64，
29．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是
30．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设实数满足，若，则的值是 ．
31．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知．
（1）若，则自然数 ；
（2）若是一个完全平方数，则自然数 ．
32．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________．
【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________．
【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
33．（24-25七年级下·广东深圳·期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，求图3中阴影部分的面积．
34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．

(1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ；
(2)若，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积．
35．（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料：
材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2．
(1)请根据材料1和材料2直接写出：
①展开式中的系数是 ；
②展开式中所有项的系数和为 ；
③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：；
(2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ．
36．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
将多项因式分解：
．
求多项式的最小值．
由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式因式分解；
(2)求多项式的最小值．
37．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）探寻规律，解决问题：
【观察探索】
(1)比较与的大小：
①当，时， ．
②当，时， ．
【猜想证明】
(2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明．
【问题解决】
(3)如图1，点C在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值．
【应用拓展】
(4)如图2，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是4和16．请直接写出四边形面积的最小值 ．
38．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．
（1）【方法理解】
已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是．
①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______；
②当时，类似上述过程进行割补；
③当时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______；
（2）【方法迁移】
当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值．
第九章 图形的变换
39．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
40．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
41．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
42．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号）
43．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ．
44．（24-25七年级下·河南郑州·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行．
45．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ．
46．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点．
（1）若，，求的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值．
47．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点作直线．在直线上取点．使
①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系；
②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）．
48．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）
【问题情境】
动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．
【问题初探】
（1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____；
（2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____；
【问题再探】
（3）若，求的度数（用含的代数式表示）；
【问题深探】
（4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）．
49．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．
（1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________
【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题：
①当___________秒时，边落在边上．
②当平分时，___________秒
【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，．
50．（24-25七年级上·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒．
(1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分；
(2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动．
①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由；
②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？
第十章 二元一次方程组
51．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
52．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
53．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
54．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）设，，，，是从，， 这三个数取值的一组数，若，，则，，，，中为0的个数为 个．
55．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
56．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ．
57．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由．
58．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．
甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：
一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分
折扣数 打九折 打八五折
乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．
出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元
返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元
(1)求11月份两种取暖器各购进多少台？
(2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
(3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？
59．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
60．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）长江汛期即将来临，江阴防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次与垂直之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
第十一章 一元一次不等式
61．（24-25七年级下·广东江门·期末）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
63．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
64．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
65．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
66．（23-24七年级下·山东日照·期中）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 ．
67．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ．
68．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
69．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
70．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计购买方案？
素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元．
素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元．
素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件．
问题解决
任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？
任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？
任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？
71．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”．
(1)不等式 ______ 的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）．
(2)若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围；
(3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围．
72．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围
73．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
(1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
(2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值．
(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
74．（23-24八年级上·山东济南·期末）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题：
(1)若方程有解，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围．
75．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即．
(1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题：
①_____；
②若，则_____；
③若，求y的值．
(2)在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示）
76．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）数学实验室：
阅读下面材料，回答问题：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．数轴上、两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____；
(2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________；
(3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为________；
(4)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________；
(5)若未知数x，y满足，求代数式的最小值和最大值．
解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4，
又∵，
∴ x的取值范围是________；y的取值范围是________．
∴的最大值为________；的最小值为________．
第十二章 定义 命题 证明
77．（2024·重庆·一模）用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
78．（24-25七年级下·北京·阶段练习）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么”
如图2
假设，过点O作直线，使，
依据基本事实______．
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
79．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．

（2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　
（3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．

答案与解析
第七章 幂的运算
1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案．
【详解】解：，
，即，故①正确；
，
，故②正确；
，，
，故③正确；
，，
．故④错误．
故答案为：①②③．
2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ．
【答案】1
【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵，,
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键．
3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．
【详解】解：∵，，．
∴，，，
∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，
于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，
所以a+c＝2b，因此①正确；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，
所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；
④b＝a+1，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③三个，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系．
4．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令，求的值．
【答案】(1)3，125
(2)90
(3)3
【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键．
（1）由，可直接得出；由，可得出；
（2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出；
（3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：3，125；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④若，则，
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键．
先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可．
【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意；
②设，，则，，
∴，
∴，即②正确；
③设，，则，，
∴，即，
∴，
∴，即，故③正确，符合题意；
④设，则，，
∴，
∴，
∴，解得，故④说法正确，符合题意．
综上，正确的说法有个．
故选：D．
6．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ．
【答案】32
【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：32．
7．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系；
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：
设，，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案；
（2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系；
（3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，，
，，
，
，
；
（3）①证明：，，，
，，，
，
，
即：，
；
②解：
，
设，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
8．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______；
“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则，；
(2)根据运算性质，填空：______．（a为正数）
(3)若，分别计算，．
【答案】(1) 1
(2)3；
(3)，
【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键：
（1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案；
（2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案；
（3）根据，代入求解即可得到答案
【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：1，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
9．（24-25·七年级下·江苏南京·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)4，64
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出；
（2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出；
（3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可．
【详解】（1）解：，
；
，且，
．
故答案为：，；
（2）解：，，，若，
，，．
，
，即，
；
（3）解：①，，
，，
，，
；
②，
，
．
由①知：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键．
10．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题．
请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程：
(1)尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空．
n（）
2 0.5
4 0.25
10 0.1
20 0.05 ①
250 0.004
2500 0.0004
(2)大胆猜想：
当且仅当的n的质因数仅含 和 时，可以化为有限小数．
(3)归纳：
如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0）
①当时， 是一个有限小数；
②当时， 也是一个有限小数．
反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成）
阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容．
【答案】(1)
(2)2，5
(3)，
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和分数的基本性质；
（1）模仿示例写成分母中的因素2和5的乘方相同的形式，即分母是10的乘方的形式即可，
（2）由（1）分母是10的乘方，可知当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数．
（3）根据（1）发现的规律和分式利用同底数幂乘法变形即可.
【详解】（1）
（2）当且仅当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数．
（3）归纳：
如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0）
①当时，是一个有限小数；
②当时，也是一个有限小数．
反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成）
11．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据新定义的运算进行计算即可；
（2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可；
（3）①根据，，进行计算即可；
②由，再根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：3；
（2）解：∵，，且，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴．
故答案为：3．
12．（2025·江苏宿迁·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ．
【答案】12或21或9
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用．根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
即．
∵，
∴，
即．
此时．
∵，
∴．
∵，是正整数，．
∴，或，或，或，，
∴或或或，
故答案为：12或21或9．
13．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若，则 ．
【答案】81675
【分析】本题考查了数的变化规律，求和公式，积的乘方的逆用，解题的关键是找到数的变化规律．
【详解】解：∵
，
则
∴
，
故答案为：81675．
14．（24-25·七年级下·江苏连云港·阶段练习）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果那么 ；
（2）如果，那么= ．
【答案】 / 1
【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘．
（1）把改写为，进而得出关于x的方程求解；
（2）由得，左右分别相乘得，从而得出，然后代入计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
15．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，，满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用．
对进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
．
故答案为：．
16．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”．
(1)直接写出计算结果：_______，________；
(2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______．
(3)试说明（，为正整数且）．
【答案】(1)，
(2)②④
(3)证明见解析
【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法；
（1）根据“的圈次方”的定义计算即可；
（2）根据“的圈次方”的定义判断即可；
（1）根据“的圈次方”的定义证明即可．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）解：，
①令，，，此时，故①说法错误；
②根据可得负数的圈奇数次方即是奇数，此时结果是负数，负数的圈偶数次方即是偶数，此时结果是正数，说法正确；
③，当为偶数时，，则互为相反数的两个数的圈次方互为相反数说法错误；
④，则互为倒数的两个数的圈次方互为倒数说法正确；
⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，说法错误．
所有正确结论的序号是②④，
故答案为：②④．
（3）解：．
17．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在．
类型一：简便计算
（1）______；
类型二：代数式求值
（2）若，，则______；
类型三：解方程
（3）解关于x的方程：．
【答案】（1）；（2）14；（3）
【分析】本题考查了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、积的乘方等，解题的关键是熟练运用这些性质对式子进行变形和计算．
（1）利用积的乘方逆运算进行简便计算；
（2）先根据同底数幂加法法则对等式左边进行合并，再根据指数相等求出a、b的值；
（3），将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解x．
【详解】（1）解：原式．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：14．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
18．（24-25·七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）．
例如，若，则．．
(1)若，
①填空：_______；
②当，求的值．
(2)若，化简：．
【答案】(1)①125；②
(2)
【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
（2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算．
【详解】（1）解：①，
∴
；
②，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
．
第八章 整式乘法
19．（24-25·七年级下·江苏苏州·阶段练习）有如下的一列代数式：，，，，， ；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（ ）
①若，则；
②若代数式含有因式，则；
③若，那么当时，．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查代数式规律，多项式乘以多项式，代数式求值，根据的定义列出式子找到规律，再取特殊值代入计算即可．
【详解】解：①若，
，
故①正确；
②
，
∵代数式含有因式，
∴设
∴，
∴，整理得，
∴，
故②正确；
∵，
，
，
，
，
∴，
，
∴当时，，
，，
当时，，，，
∴；
当时，，，，
∴；
∴，
当时，，，，则；
∴，
故③正确，
综上所述，正确的个数为3，
故选：D．
20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解．
【详解】解：
，其中、、、为常数，
除以的余数为，
今天是星期三，再过天还是星期三，
再过天是星期四，
故选：B．
21．（24-25·七年级下·江苏南京·阶段练习）有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项，将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论：
①；
②若第101项与第51项之差为9500，则；
③当时，；
以上结论正确个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式；数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，第1项为：，
第2项为：，
∴，
∴，
∴第3项为：，，
第4项为：，
…，
以此类推，
第n项为：，（n为正整数）．
当时，．故①正确．
第项与第项之差可表示为：，
第101项与第51项之差为9500，
∴，即
∴
解得．故②正确．
当时，
．故③正确．
故选：D．
22．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　）
小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确．
【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为，
小长方形的长为，说法①正确；
②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为，
阴影的较短边为，阴影的较短边为，
阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；
③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的周长为，阴影的周长为，
阴影和阴影的周长之和为，
阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确；
④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的面积为，阴影的面积为 ，
阴影和阴影的面积之和为，
当时，，说法④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：A．
23．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算：的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解．
【详解】解：由；
；
；
…
观察发现： ，
当，时，得
，
∴，
故选：A．
24．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（ ）
A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4
C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
C、上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴当时，，
∴C选项不符合题意，
D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意，
故选：D．
25．（2025·山东临沂·一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】②③
【分析】本题考查了平方差公式的应用以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键．
根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确．
【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，
故①错误；
设能被4整除的正整数为（为正整数且），
，令，
将两式相加可得：，即，
解得：，
将代入，解得．
为正整数且，、为正整数，
除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，
故②正确；
假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）．
与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数；
若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是；
被4除余2的正整数都不是“智慧数”．
故③正确；
综上所述，正确的结论是②③．
故答案为：②③．
26．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
27．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知有理数满足，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查完全平方公式，非负性，根据，，得到，进而得到，推出，非负性得到，代入中求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
28．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ．
【答案】32
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】解：依题意有，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，该长方形为边长是8的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是64，
∴的最大值为．
故答案为：．
29．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是
【答案】
【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当时，
由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，，
当时，
由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，，
当时，
由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，，
当时，
由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，，
当时，
由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，，
当时，
由产生的“智慧数”为：63，77，91，，
当时，
由产生的“智慧数”为：80，96，，
综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是，
故答案为：，．
30．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设实数满足，若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，由已知可得，代入进行降次计算可得，进而可得：，，，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
又∵，
∴
，
，，，
，
故答案为：．
31．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知．
（1）若，则自然数 ；
（2）若是一个完全平方数，则自然数 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用；
（1）根据题意得出，进而即可求解；
（2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以自然数；
故答案为：．
（2），
∴只有时，原式为完全平方数，即自然数.
故答案为：．
32．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________．
【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________．
【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】【知识生成】，
【知识应用】20，4
【知识迁移】15
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可；
知识应用：根据代入计算即可；
知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到，
根据代入计算即可．
【详解】【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为，
∴有，
图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为，
∴有，
故答案为：；；
【知识应用】解：∵，
则，
，
故答案为：20，4；
【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，
∴
．
33．（24-25七年级下·广东深圳·期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查用面积表示代数恒等式，整式的混合运算，用两种不同方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
（1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案；
（2）根据解析（1）中得出的公式进行计算即可；
（3）先表示阴影部分面积，再求值．
【详解】（1）解：图2中正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：．
（2）解：由（1）结论变形知：
．
（3）解：
，
，
∴，
，
，
．
34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．

(1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ；
(2)若，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)48
【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键．
（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出；
（2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出；
（3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是完全平方式，
∴，
∴；
（2）∵
∴，
去括号得：，
合并同类项得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
∵
∵，
∴阴影部分的面积为：．
35．（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料：
材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2．
(1)请根据材料1和材料2直接写出：
①展开式中的系数是 ；
②展开式中所有项的系数和为 ；
③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：；
(2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ．
【答案】(1)①4；②；③
(2)
【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
（1）①根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可；
②根据已知式子中系数和的变化规律求解即可；
③根据题中计算规律可将原式化为，继而求解即可；
（2）由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数，据此求解即可．
【详解】（1）解：①，
∴的系数为4，
故答案为：4．
②的系数和为1，即，
的系数和为，即，
的系数和为，即，
的系数和为，即，
……
∴的系数和为，
∴展开式中所有项的系数和为，
故答案为：．
③根据题中规律可得：
=．
（2）解：由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数，
∴第6行第一个数是 ，
∵第5行第一个数是 ，那么第6行第二个数为 ，
又∵第5行第二个数是 ，
∴第6行第三个数为 ，
∴以表示的数是，
故答案为：．
36．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
将多项因式分解：
．
求多项式的最小值．
由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式因式分解；
(2)求多项式的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题．
根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式取得最小值为．
37．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）探寻规律，解决问题：
【观察探索】
(1)比较与的大小：
①当，时， ．
②当，时， ．
【猜想证明】
(2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明．
【问题解决】
(3)如图1，点C在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值．
【应用拓展】
(4)如图2，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是4和16．请直接写出四边形面积的最小值 ．
【答案】(1)①，②
(2)，证明见解析
(3)4
(4)36
【分析】（1）代入计算即可得到答案；
（2）根据（1）的结果，得出猜想，然后利用完全平方公式证明即可；
（3）由题意可知，，结合，从而得出答案；
（4）设，利用与中和边上的高相等，与中和边上的高边上的高相等，得到，推出，从而得到，最后利用（2）的结论，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：①把，代入，得
，
故答案为：；
②把，代入，得
，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，猜想：，理由如下：
，即
（3）解：由题意可知，
的面积为1，即
的最小值为4．
（4）解：设
与中和边上的高相等，与中和边上的高相等
，
，解得
由（2）可知，
四边形面积的最小值为36．
故答案为：36．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，代数式求值，有理数比较大小，练掌握以上知识点是解题的关键．
38．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．
（1）【方法理解】
已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是．
①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______；
②当时，类似上述过程进行割补；
③当时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______；
（2）【方法迁移】
当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值．
【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键．
（1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案；
（2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为，
如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形，
-，
当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-，
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9．
故答案为：；；；9；
（2）解：依题意有，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
当时，该长方形为边长是4的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是16，
的最大值为．
第九章 图形的变换
39．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值．
【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，，
，，，
，
、、共线，
根据对称的性质可知，，
，
，
当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小，
由对称性可知，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
当时，的值最小，最小值为，
，
的最小值为．
故选：C．
40．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，根据经过三次折叠是的好角，所以第三次折叠的，由，，又，，，由此即可求得结果，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点．
【详解】解：在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，则是的好角．
理由如下：根据折叠的性质知，，，，
根据三角形的外角定理知，；
根据四边形的外角定理知，，
根据三角形的内角和定理知，，
；
当时，是的好角；
当时，是的好角；
当时，是的好角；
故若经过次折叠是的好角，则与（不妨设之间的等量关系为，
最小角是是的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为， （其中、都是正整数）．
由题意，得，所以．
因为、都是正整数，所以与是11的整数因子，
因此有：， ；
所以，；
所以， ；
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：；
故选：B．
41．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决．
【详解】解：①由题意得，三个角分别是、、，
且，，
又
，
，
②三个角分别是、、，
有且只有一个角最大，即为，
且，，
又
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值．
42．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号）
【答案】①③⑤
【分析】本题考查了三角形的面积和平移的性质，利用线段转化和面积转化，可以求解．
【详解】解：由平移性质可得，，，故①正确，②不正确；
阴影部分的周长为，③正确；
时，四边形的周长为，的周长比四边形的周长少，④不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴边上的高h为，
∴，
∴，
∴，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
43．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ．
【答案】108或72
【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，，
，，
①当在的外部，如图
，且，
，
，
∴；
②当在的内部，如图
，且，
，
，
．
故答案为：108或72．
44．（24-25七年级下·河南郑州·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行．
【答案】6或15或33
【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方.
①当时，②当时，③当时，分三种情况分别讨论．
【详解】①Ⅰ当时，，
，
，
，
Ⅱ当时，，
，
，
(舍去)
②当时，
，
③当时，
，
，
，
，
解得；
综上所述，当运动时间6或15或33秒时，与三角尺的一边平行.
45．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数．
本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：①如图，在上方时，
延长，相交于Q点，
由折叠知：，，
，
，
，
，
，
，，
，
由折叠知：，
，
，
；
②如图，在下方时，
延长，交于Q点，
由折叠知：，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由折叠知：，
，
．
故答案为：或
46．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点．
（1）若，，求的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【分析】本题考查平行线的性质，三角尺中的角度计算，角的和差定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）求出，再利用平行线的性质求解即可；
（2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论；
（3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，分别表示出旋转秒后和的角度，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）如图①中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论：．
理由：如图②中，设．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由（1）可得，，，
当时，，当时，
①当时，如图，设直线分别交于点，过点作
∵
∴
∴
又∵，则
∵
∴
∴
解得：
②当时，如图，
∵，
∴
当时，，
∴
解得：
③当时，如图，
当时，，
∵，
∴
∵
∴
∴
解得：
综上所述，或或
47．（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点作直线．在直线上取点．使
①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系；
②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②面积的最大值为，此时的度数为
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；
②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：补全图形如图所示，
作，
∵将线段沿平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
（2）解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：
，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：
∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是，如图所示：

∴面积的最大值为
由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
48．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）
【问题情境】
动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．
【问题初探】
（1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____；
（2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____；
【问题再探】
（3）若，求的度数（用含的代数式表示）；
【问题深探】
（4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）．
【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4）
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据折叠可得，即可求解；
（2）根据折叠可得，进而即可求解；
（3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解．
【详解】解：（1）图2中，由折叠得，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）图3中，由折叠得∶，，
，
，
，即，
故答案为：；
（3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
当与重叠时，如图所示，
由折叠的性质得：，，
，
又，
，
，
故答案为：或；
（4）当点在的左侧，在的右侧时，如图，
折叠，
，
又，
，
射线是的角平分线，
，
，
∵折叠，
∴，
∴；
当点在的右侧，在的左侧时，如图，
折叠，
，
又，
，
射线是的角平分线，
，
，
∵折叠，
∴，
∴；
综上，的度数为．
49．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．
（1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________
【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题：
①当___________秒时，边落在边上．
②当平分时，___________秒
【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，．
【答案】（1）（2）①3 ②（3）或
【分析】（1）由计算即可得到答案；
（2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此；
②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解；
（3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，，，
，
故答案为：；
（2）解：①由（1）得，，
当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，
三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒，
，
故答案为：3；
②当平分时，图如图所示，
边平分，
，
旋转角度为，
，
故答案为：；
（3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为，
①边与边相遇前，可得：，
解得：；
②边与边相遇后，可得：，
解得：，
为或秒时，．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
50．（24-25七年级上·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒．
(1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分；
(2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动．
①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由；
②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？
【答案】(1)
(2)①不是的平分线，理由见解析；②或或
【分析】（1）旋转后，旋转角等于，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可；
（2）①求出旋转后的度数，即可判断；
②分平分，平分，平分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：如图，
∵平分，
∴，
∵旋转，
∴，
根据题意，得，
解得，
即三角板旋转秒时，平分，
故答案为：；
（2）解：①不是的平分线，
理由：当时，如图，
此时，，
∴，
∴不是的平分线；
②当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角．
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论，画出旋转后的图形是解题的关键．
第十章 二元一次方程组
51．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可．
【详解】解：，
得，
解得，
把代入，得，
故方程组的解为，
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得，
解得，结论正确；
②当时，方程组的解为，
方程，
而，
故方程组的解也是方程的解，
故结论正确；
③由，得，是定值，
故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键．
52．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．
【详解】解：①当时，方程组为
①②得，
解得：
将代入②得，
解得：
方程组的解为：，
∴是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组
①②得，
解得：
将代入②得，
方程组的解为：，
当当x与y互为相反数时，，
解得：，故②不符合题意；
③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，④不符合题意．
所以以上四种说法中正确的有①③．
故选：B．
53．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一

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