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第5章《一元一次方程》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被涂黑的常数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．1
4．当时，多项式的值比的值大3，那么a的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5.若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（ ）
A． B．3 C．0 D．
6．《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为x，下列方程正确的为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
8．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．规定新运算“*”：对于任意实数都有，例如：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
10．关于的一元一次方程的解（ ）．
A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数
C．是一个大于小于的数 D．不存在
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将方程变形为用含的式子表示，那么 ；
12．已知是关于的一元一次方程，则 ．
13．一个分数的分子、分母之和是，如果把分子与分母各加上3，则分子与分母的比是，原分数是
14．幻方是一个古老的数学问题．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．将“幸福河南人”这五个汉字分别放在九宫图中的方格内，汉字遮盖了原来的部分数字，则图中“南”遮盖的数字是 ．
15．关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝ ．
16．若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
18．（6分）如图，七（1）班数学活动小组编制了一道有理数混合运算的程序图，其中“■”表示一个有理数．
(1)若输入数为，■表示，求输出结果；
(2)若输入数为4，输出结果为7，求■表示的数．
19．（8分）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值；
(2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值．
20．（8分）已知a是最大的负整数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
(1) ； ； ．
(2)若动点P、Q同时从点B、C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度．问：
①运动几秒后，点Q可以追上点P？
②运动几秒后，点P和点Q相距3？
(3)在数轴上找一点M，使得点M到A、B、C三点的距离之和等于11．请直接写出所有点M所对应的数．
21．（8分）哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需天，比乙工程队单独完成此项工程多用天，若甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程．
(1)甲、乙还需要合作多少天完成？
(2)如果甲工程队每天需工程费元，乙工程队每天需工程费元，若甲队先单独工作若干天再由乙工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用元，求甲队工作的天数．
22．（8分）数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：
(1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示10的点重合的点表示的数是__________．此时表示数a的点与表示数__________的点重合．
(2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，
①在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2；
②若点在点的右侧且线段上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最小值是__________；
(3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是__________．
23．（8分）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问：
(1)秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单位长度；
(2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒；
(3)P，Q两点相遇时，__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________；
(4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值．
参考答案
选择题
1．B
【分析】应用等式的性质即可．
【详解】A. 如果，那么 ，选项错误；
B. 若，则，选项正确；
C. 若，则，选项错误；
D. 若，则当，或，选项错误；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，首先解出x的值，再代入方程求出a的值即可．
【详解】解：解方程，得：，
方程与关于的方程的解相同，
将代入方程中，
得到，
解得：，
故选：A．
3．C
【分析】将代入求解即可．
【详解】解：将代入得：，
，
解得：，
故选：C．
4．C
【分析】先根据多项式的值比的值大3，列出方程，然后把代入，得到关于a的方程，再解方程即可求解．
【详解】解：由题意得，
把代入，得，
解得：，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程得到，再证明，推出，根据方程有正整数解得到是大于2的正整数，据此求出符合条件的a的值，然后求和即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
当时，，不成立，
∴，
∴，
∵整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，
∴是正整数，即是大于2的正整数，
∴时，，符合题意；
时，，符合题意；
时，，不符合题意；
∴符合条件的所有整数a之和为，
故选B．
6．B
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键．
直接利用总钱数不变得出方程进而得出答案．
【详解】解：依题意有：．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，根据已知条件得出方程，求出方程的解即可，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
解得：，
故选：．
8．A
【分析】本题考查求含参数一元一次方程的值，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键，利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：的解为，
将代入中，得：
∴，
再将代入中，得：
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据“*”的定义，列方程并求解即可．
【详解】解：由题意可得
，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了解一元一次方程，利用分数的性质先对方程化简，再移项，转化为，得到，解之即可求解，把方程转化为是解题的关键．
【详解】解：原方程变形为，
即，
∵，
∴，
∴，
∴方程的解是一个大于小于的数，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键．
根据一元一次方程的定义，得到和，解之即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得或，
因为，
所以，
综上可知：．
故答案为：1．
13．
【分析】本题考查了字母表示数，关键是设出未知数，利用题中的数量关系，找出各个量之间的关系，列出比例式，解答即可．设原分数的分子为，则分母为，把分子与分母各加上3后，分子是，分母是，再根据分子与分母的比是，列出比例，求出的值，进而求出原分数．
【详解】解：设原分数的分子为，
分子与分母的比是，则，
去括号得：，
移项得：，
去系数得：，
解得：，
分母是：，
原分数是：，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的数字运用，仔细阅读题意列出方程是解题的关键．根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出方程运算求解即可．
【详解】解：每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都等于，
∴河，
∴河，
河南人人，即河南，
∴南．
故答案为：．
15．
【分析】先把原方程变为，再由方程无解即可得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于的方程无解，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可；
【详解】不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，
，
，
，
，
，
．
三．解答题
17．（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：
去分母的：，
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．（1）解：由题意得，
；
故输出结果为：；
（2）解：由题意得，，
∴，
解得，．
故■表示的数为：．
19．（1）解：解方程得，
∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”，
∴关于x的方程：的解为，
∴，
∴；
（2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n，
∴另一个解为，
∵这两个解的差为6，
∴或，
解得；
（3）解：解方程得，解方程得，
∵关于x的方程和是“兄弟方程”，
∴，
解得．
20．（1）解：∵a是最大的负整数，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：，5，．
（2）解：设运动时间为t秒，
①，
解得：，
②，
整理得：，
∴或，
解得：或；
（3）解：设M表示的数为m，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：（舍去），
当时，，
解得：，
当时，，
解得：（舍去）
综上：点M所对应的数为．
21．（1）解：设甲、乙还需要合作天完成，
由题意得，，
解得：，
答：甲、乙还需要合作18天完成；
（2）设甲队工作的天数为，则乙工作的天数为，
由题意得，，
解得：，
答：甲队工作20天．
22．（1）解：∵数轴上表示1的点与表示5的点重合，
∴折痕点表示的数是，
∴表示数10的点与它重合的点重表示的数为：，
表示数a的点与它重合的点重表示的数为：，
故答案为: ，；
（2）①当点在点左边时, 则，解得,
当点在点的右边时, 则,解得,
综上, 当秒或秒时, 点与点之间的距离为；
②解：由题可得：当距离为2时，点P表示的数为，Q点表示的数为，都在整点上，这时线段上恰好有3个整点，
在向右移动先有3个整点，然后整点个数增加，
∴由①计算可得时间t的最小值是，
故答案为：；
（3）解：设表示的点是, 表示的是,
∴.
，
当三条线段的比值为时,,, 则；
当三条线段的比值为时, , , 则；
当三条线段的比值为时, , , 则；
当三条线段的比值为时, , , 则；
当三条线段的比值为时,, , 则；
当三条线段的比值为时, , , 则；
故答案为: 或或或．
23．（1）解：当秒时，，，
则P点对应的数为，Q点对应的数为；
（2）解：动点Q从点C运动至A点所需时间为：
（秒 )
（3）解：由题可知， P 、 Q 两点相遇在线段上于 M 处，设．
则，
解得 ．此时 ，
M 所对应的数为；
（4）解：P 、 O 两点在数轴上相距的长度与 Q 、 B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能：
①动点 Q 在 上，动点 P 在 上，
则： ，
解得：．
②动点 Q 在上，动点 P 在 上，
则： ，
解得：．
③动点 Q 在上，动点 P 在上，
则： ，
解得： ．
④动点 Q 在 上，动点 P 在 上，
则：，
解得：．
综上所述： t 的值为 2，，11 或 17．

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