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第8章《三角形》单元测试卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个多边形的每一个外角都为，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
5．如图，E为 ABC边延长线上一点，过点E作．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．如图2是从图1冰裂纹铺装的路面图案中提取的多边形，则这个多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心的光线（此光线的方向不发生改变）相交于点，与主光轴交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知 ABC的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，平分，，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
11．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为 ．（只需写出满足要求的一种情况即可）
12．如图，在 ABC中，，点D在的延长线上，，则 ．
13．已知七边形的一个内角是，则其余六个内角的和为 ．
14．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于 ．
15．如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）．
16．如图，在 ABC中，，，，分别是，的角平分线，，相交于点，则的度数是 ．
17．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，．三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转．当 时，．
18．如图，，，，，，则n的值为 ．
三、解答题：本题共7小题，共78分．
19．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则这个多边形是几边形
20．小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为．多算进去的那个内角为多少度？
21．如图，在 ABC中，是边上的高，是的角平分线，，，求的度数．
22．如图，在 ABC中，为角平分线，D为边上一点（不与点A，B重合），连接交于点O．

(1)若，为高，求的度数；
(2)若，为角平分线，求的度数．
23．在如图所示的方格纸中，点A、B、C均在格点上．
(1)连接，过点作的平行线；
(2)连接，过点作的垂线，垂足为E；
(3)连接，则三角形的面积为 ．
24．【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
(1)【定理证明】
为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程，
已知：如图1，是 ABC的一个外角
求证：．
(2)【知识应用】
如图2，在 ABC中，，点在边上，交于点，，求的度数．
(3)如图3，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点、重合）．当时，平分，平分交直线于点，求的度数．
25．如图，直线，直线交于点，交于点，是直线上的动点（不与重合），以为直角顶点作直角三角形，且，点在直线右侧，记．
(1)当点在点右侧时，若，求的度数；
(2)在点运动过程中，若射线、、满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求的度数；
(3)已知的平分线和的平分线交于点，当点在运动过程中，且满足点在直线和之间，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
参考答案
一、单项选择题。
1．D
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定，
∴不容易变形的是：
故选D．
2．A
【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，能组成三角形，故A符合题意；
B、，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，根据直角三角形的两个锐角互余可得答案．
【详解】解：直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是：
，
故选：C
4．C
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．多边形的外角和是固定的，据此可以求出多边形的边数．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴多边形的边数为．
故这个多边形的边数是5．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和性质，先由，得，最后运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
6．D
【分析】此题考查了多边形的内角和公式，根据题意得到多边形是六边形，利用n边形内角和公式进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，多边形是六边形，
∴这个多边形的内角和是，
故选D．
7．D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角性质求得，最后根据平行线的性质，即得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、．
．
图案是由一张等宽的纸条折成的，
，
又纸条的长边平行，
，
．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查三角形的面积，掌握同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比是解题的关键；
根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可
【详解】解：如图，连接、、；
，
，
，
，
，
同理可得，， ，
；
故选：B
10．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
故④正确；
∵
，
∴为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二、填空题．
11．6（答案不唯一）
【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴x的值可以为6（答案不唯一）．
故答案为：6（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据外角的性质可得，代入已知解答即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了多边形内角和定理，掌握内角和定理的计算公式是解题的关键．
边形的内角和为，由此即可求解．
【详解】解：七边形的内角和为，
∴一个内角是，其余六个内角的和为，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查了三角形的外角性质，角的和差，解题的关键是掌握相关知识．由图可知，，，，进而得到，最后根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：由图可知，，，，
，
，
故答案为：．
15．是
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，延长，交于点，的延长线与交于点，根据三角形外角的性质结合已知条件得出，即可求解．
【详解】解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示：
则．
．
．
故答案为：是．
16．
【分析】本题考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键；
根据三角形内角和为，求得，根据角平分线的性质，可得及，再根据三角形内角和即可解答．
【详解】，
，
，分别是，的平分线，
，
；
故答案为：；
17．
【分析】本题考查垂直的定义，三角形内角和，角的和差．当时，即，结合三角形内角和得，由旋转性质得，再根据角的和差关系进行列式计算，即可作答．
【详解】解：如图，
∵三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转，且，
∴，
∵，．
∴，，
则，
∴三角板绕点顺时针旋转75度，
即，
故答案为：．
18．
【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．设和交于点，连接，延长交于，设，，则，，，，，根据得，由三角形内角和定理得①，②，由①②即可求出的值．
【详解】解：设和交于点，连接，延长交于，如图所示：
设，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
①，
，
，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
即，
，
即，
，
，
②，
①②得：，
．
解得：．
故答案为：2.6．
三、解答题．
19．解：设多边形的边数为，
由题意，得：，
解得：；
所以这个多边形为七边形．
20．解：∵当时，，
当时，，
∴，
∴多算进去的内角度数为：．
21．是角平分线，，
，
是高，
，
，
，
22．（1）解：在 ABC中，为角平分线，
，
为 ABC高，
，
；
（2）解：，
在 ABC中，为角平分线，为角平分线，
，
，
在中，．
23．（1）解：如图，线段，直线即为所求作．
（2）解：如图，线段，即为所求作，
（3）解：如图，
．
故答案为：5．
24．（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①当点在点的上方时，
∵，∴，
∵平分，平分，
∴，，
由三角形外角的性质可得：，，
∴，即．
②当点在点的下方时，如图，可得
，
综上所述，或．
25．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当平分时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
当平分时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上分析可知：的度数为或．
（3）猜想：或．
证明：当点G在点F左侧时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当点G在点F右侧时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或．

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