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七下数学期末复习易错130题（48个考点）
题型一 同底数幂的乘法
题型二 幂的乘方
题型三 积的乘方
题型四 同底数幂的除法
题型五 零指数幂与负整数指数幂
题型六 科学记数法
题型七 幂的新定义运算
题型八 幂的运算中字母关系
题型九 单项式乘法
题型十 多项式乘法
题型十一 多项式乘法的化简求值
题型十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值
题型十三 多项式乘多项式与图形面积
题型十四 多项式乘法中的规律性问题
题型十五 整式乘法混合运算
题型十六 运用乘法公式进行计算
题型十七 乘法公式与几何图形
题型十八 通过对完全平方公式变形求值
题型十九 生活中的平移现象
题型二十利用平移的性质求解
题型二十一 运用平移解决实际问题
题型二十二 轴对称
题型二十三 折叠问题
题型二十四 画旋转图形
题型二十五 利用旋转的性质求解
题型二十六 图形的变化作图问题
题型二十七 二元一次方程的相关概念
题型二十八 二元一次方程组的相关概念
题型二十九 二元一次方程组的解法
题型三十 二元一次方程组的特殊解法
题型三十一 二元一次方程组的错解复原问题
题型三十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数
题型三十三 方程组同解问题
题型三十四 三元一次方程组的相关概念
题型三十五 方案问题
题型三十六 行程问题
题型三十七 分配问题
题型三十八 销售利润问题
题型三十九 和差倍分问题
题型四十 古代问题
题型四十一 不等式的相关概念
题型四十二 一元一次不等式的解集
题型四十三 一元一次不等式的含参问题
题型四十四 一元一次不等式组的解集
题型四十五 由一元一次不等式组的解集求参数
题型四十六 不等式组和方程组相结合问题
题型四十七 一元一次不等式（组）的应用
题型四十八 定义 命题 证明
第七章 幂的运算
1．（2025·江苏无锡·二模）下列运算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）的值等于（ ）
A． B．8 C． D．
3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么a、b、c三数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（ ）
A．75 B．200 C．378 D．1400
7．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）若，，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，，则的关系为①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接）
10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则x的值为 ．
11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）山川披绿，林海生金，森林是陆地生态的主体，也是人类生存的根基．研究测算表明，森林每的蓄积量，可吸收二氧化碳，释放氧气，目前，我国森林蓄积量约为，则大约可吸收 二氧化碳（用科学记数法表示）．
12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，，为正整数，则 （用，表示）．
13．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若有理数m、n满足，则的值为
14．（24-25七年级下·江苏南京·期中）对于，规定，例如：，所以．记，，则与之间的数量关系为 ．
15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）规定两数之间的一种运算．若，记作．例如：因为，所以．若，则 ．
16．（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，如：．若，那么的结果是 ．
17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）一般地，数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．如（是正整数）的逆向运用表现为（是正整数）．
(1)已知（是正整数），则__________；__________；
(2)用乘方的意义说明（是正整数）；
(3)计算：．
20．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简．根据要求完成下列计算：
(1)若，，，求：
①求的值；
②求的值；
(2)若，，，探索，，之间的数量关系，并说明理由．
21．（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______________；
(2)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：设，
，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算：__________________．
22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1) ；若，则 ．
(2)已知，，，若，则 ．
(3)若，，求的值．
23．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ．
24．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）若且是正整数），则．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)若，用含的代数式表示．
第八章 整式乘法
25．（24-25七年级下·江苏南京·期中）观察图形，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
27．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ）

A． B．8 C．6 D．12
28．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如果，，等于（ ）
A．42 B．40 C．39 D．38
29．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若且，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
30．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若是一个完全平方，则的值为（　　）
A． B． C． D．
31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．29 B．25 C．18 D．24
32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　）
A． B． C． D．
33．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．8
34．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．

36．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为 ．
37．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ．
38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果代数式的展开式不含x的一次项，那么m为 ．
39．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ．
40．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则 (填“”“”或“”)．
41．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ．
42．（2025·江苏扬州·一模）如果一个正整数能写成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，24就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2025个智慧数是 ．
43．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么代数式的值是 ．
44．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算题
(1)；
(2)．
45．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中．
46．（24-25七年级下·江苏南京·期中）光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm．
(1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示）
(2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2．
47．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，现有三种类型的卡片：
1号卡片：边长为a的正方形卡片；
2号卡片：边长为b的正方形卡片；
3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．
(1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______．
(2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______．
(3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4．
情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
如果，求2号卡片的边长．
48．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”．
(1)请再写出一个“幸福数” ；
(2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由；
(3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”．
①求的值；
②的最小值为 ；
③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”．
49．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为；所以；所以；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
【初步应用】
（1）若，，则 ；
【类题探究】
（2）若m满足．求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
50．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，
因为，
所以当时，
的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，即时的值最小，最小值是1，
即的最小值是1．
定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【探究问题】
（1）①已知，则______．
②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值．
第九章 图形的变换
51．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
52．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
53．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
54．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
55．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，、，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．4.2 B．4.8 C．5 D．4.5
56．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
57．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
58．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
59．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图1，在长方形中，是对角线．
(1)如图2，将长方形绕点逆时针旋转，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．
①如果，则旋转角为___________；如果旋转角为，则___________；
②如果，则的面积为___________；
(2)如图3，在（1）旋转的基础上，再把长方形绕点顺时针旋转，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若面积是面的2倍，请直接写出此时长方形的面积为___________．
60．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ．
61．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则
62．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ．
63．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ．
64．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的；
(2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的；
(3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O；
65．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点．
(1)求线段的长和的大小．
(2)求图中阴影部分的面积．
66．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P．
(1)【问题解决】若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若，求和的度数．
②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
67．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2．
(1)如图2， ；
(2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数；
(3)将三角板绕点逆时针旋转（）．
① ．（用含的代数式表示）
②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
第十章 二元一次方程组
68．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”设树的数量为x，乌鸦的数量是y，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
69．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（ ）
A．，0 B．1， C．，1 D．1，0
70．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
71．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
72．（23-24八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
73．（23-24七年级下·浙江衢州·阶段练习）已知关于，的方程组，给出下列结论：
①不论取何值，方程组总有一组解；
②当时，，的值互为相反数；
③；
④当时，．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④
74．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为 ．
75．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ．
76．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ；
77．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知：，，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则，，，中为2的个数是 ．
78．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，且，那么 ．
79．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ．
80．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
81．（24-25七年级下·江苏南京·期中）解下列方程组
(1)；
(2)．
82．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
83．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组．
(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
84．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
85．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
(1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元；
(2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？
(3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果）
86．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
观察发现：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1个竖式无盖铁容器中 4 1
1个横式无盖铁容器中 3 2
(1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张；
(2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
87．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是m，边长之差是n．
(1)如图1，用含m、n的代数式表示A、B两个正方形纸片的面积之和：________，当，时，A、B两个正方形纸片的面积之和为________．
(2)如图2，如果A、B两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求m、n的值．
(3)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，如果图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，那么A、B两个正方形纸片的面积之和为________．
88．（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
89．（23-24七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？
90．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组
(1)请直接写出方程的所有正整数解 ；
(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
第十一章 一元一次不等式
91．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，则下列式子中错误的是（ 　）
A． B．
C． D．
92．（2025·江苏宿迁·二模）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
93．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
94．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
95．（2025·江苏南京·一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这100个数中，“神秘数”的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
96．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若不等式组的解集是，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
97．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知表示不超过的最大整数，例如．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
98．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于的不等式恰有2个正整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
99．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
100．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于、的方程组（为常数），给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论取什么实数，的值始终为0；③方程组只有两个正整数解；④式子与的积的最小值为．以上结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
101．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A． B．24 C． D．27
102．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是 ．
103．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ．
104．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ．
105．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．
106．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ．
107．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围 ．
108．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是 ．
109．（2024八年级下·全国·专题练习）关于的不等式组至少有3个整数解，关于的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
110．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：把的值叫做不等式组的“长度”，若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ．
111．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
112．（2025·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出所有整数解．
113．（2025·江苏扬州·二模）解不等式组，并求出整数解的和．
114．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解不等式组．
115．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：
填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的；
②第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
任务二：
请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．

116．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）当x满足什么条件时，代数式的值比代数式的值小1？
（2）若（1）中x的值是关于x的不等式的解，求m的取值范围．
117．（2025·江苏淮安·一模）
背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元．
素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品一律按商品价格的8折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求款徽章和款徽章的销售单价各是多少元？
任务2 小艾计划在促销期间购买、两款徽章共40枚，其中款徽章枚，若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要_______元．（均用含的代数式表示）
任务3 请你帮小艾算一算，在任务2的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种则买方式更合算？
118．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．
(1) ；
(2)如果，那么a的取值范围是 ；
(3)如果，求满足条件的所有整数x；
(4)直接写出方程的解．
119．（2025·河南郑州·一模）2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 2400元
第二周 6台 9台 5100元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价．
(2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润．
120．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）；
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
(3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围．
121．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 10袋 6袋 570元
第二天 5袋 8袋 510元
（说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变）
(1)求A，B两种规格香肠的销售单价；
(2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？
(3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
122．（23-24八年级上·安徽六安·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
123．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
124．（2025·江苏泰州·一模）命题“如果与是同位角，那么”是 命题（填“真”或“假”）．
125．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个．
126．（2024七年级下·江苏·专题练习）将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ．
127．（23-24八年级下·全国·阶段练习）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
128．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来．
129．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．

（2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　
（3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．

130．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】
如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题．
例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．
【解决问题】
给出命题“如果，那么．”
(1)写出命题的题设和结论，及逆命题．
(2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．
答案与解析
第七章 幂的运算
1．（2025·江苏无锡·二模）下列运算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项运算不正确，不符合题意；
B、，故此选项运算不正确，不符合题意；
C、，故此选项运算正确，符合题意；
D、，故此选项运算不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）的值等于（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．根据积的乘方的逆运算解答即可．
【详解】解：．
故选：B
3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算．先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到，，则，， 再由进行求解即可．
【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球．
∵一共有球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
4．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键．
根据整式的混合运算计算即可．
【详解】解：，，
∴，
故选：B ．
5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么a、b、c三数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则．
先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出，再根据有理数的大小比较方法比较即可．
【详解】解：，
∴，
故选：B．
6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（ ）
A．75 B．200 C．378 D．1400
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
7．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）若，，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运算，先整理，再把，分别代入计算，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：A
8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，，则的关系为①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，，，
∴，，
∴，故②错误；
③∵，，，
∴，
∴，故③正确；
④∵，，即，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C ．
9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接）
【答案】
【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的特征变正数指数幂后比较大小即可．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则x的值为 ．
【答案】或4
【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质，
根据或或（n为偶数），解答即可．
【详解】解：当，且时，
解得；
当时，；
当时，，不符合题意．
所以x的值是或4．
故答案为：或4．
11．（24-25七年级下·江苏南京·期中）山川披绿，林海生金，森林是陆地生态的主体，也是人类生存的根基．研究测算表明，森林每的蓄积量，可吸收二氧化碳，释放氧气，目前，我国森林蓄积量约为，则大约可吸收 二氧化碳（用科学记数法表示）．
【答案】
【分析】本题考查的是科学记数法的含义，同底数幂的乘法运算，先计算，再把结果用科学记数法的形式表示即可．
【详解】解：由题意可得：
我国森林蓄积量约为，则大约可吸收；
故答案为：
12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，，为正整数，则 （用，表示）．
【答案】/
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若有理数m、n满足，则的值为
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则．
故答案为：．
14．（24-25七年级下·江苏南京·期中）对于，规定，例如：，所以．记，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，根据，得，则，同理得，整理得，即可作答．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
．
故答案为：．
15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）规定两数之间的一种运算．若，记作．例如：因为，所以．若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂．根据题意可得，再由负整数指数幂，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
16．（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，如：．若，那么的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．
根据新定义进行计算即可求解．
【详解】解：，
根据新运算，
故答案为：．
17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键：
（1）进行零指数幂，负整数指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可；
（2）进行同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法运算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式．
18．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)81
(2)
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，幂的乘方逆运算，同底数幂相乘，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用幂的乘方逆运算，得出原式，再结合同底数幂相乘，得，最后代入数值计算，即可作答．
（2）先把原式整理得，再把代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）一般地，数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．如（是正整数）的逆向运用表现为（是正整数）．
(1)已知（是正整数），则__________；__________；
(2)用乘方的意义说明（是正整数）；
(3)计算：．
【答案】(1)8，
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查幂的运算的逆用，熟练掌握幂的运算法则，是解题的关键：
（1）逆用同底数幂的乘法和除法进行计算即可；
（2）根据幂的定义进行证明即可；
（3）逆用积的乘方进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）．
20．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简．根据要求完成下列计算：
(1)若，，，求：
①求的值；
②求的值；
(2)若，，，探索，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①；②10；
(2)，见解析．
【分析】本题考查幂的运算法则的逆运用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则和积的乘方法则并能灵活逆用．
（1）①利用同底数幂的除法法则逆运算求解；②利用积的乘方法则逆运算求解；
（2）利用积的乘方法则逆运算探索数量关系．
【详解】（1）①解：；
②解：；
（2）解：关系：
因为，所以
21．（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______________；
(2)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：设，
，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算：__________________．
【答案】(1)3
(2)①证明见解析；②3
【分析】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法运算法则．
（1）根据题意可得，进而求解；
（2）由，，，得，，，得出，从而；
（3）设，，由结论得，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
，
（2）①证明：，，，
，，，
，
，
即：，
；
②解：
，
设，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1) ；若，则 ．
(2)已知，，，若，则 ．
(3)若，，求的值．
【答案】(1)4，64
(2)15
(3)
【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法．
（1）根据新定义列式求值即可；
（2）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，即可解得m的值；
（3）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，最后化简求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：4，64；
（2）解：由题意得：，，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：15；
（3）解：由题意得：，，
∴，
∴，
∴的值为．
23．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ．
【答案】(1)8
(2)8
(3)
【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法除法，幂的乘方法则，是解题的关键：
（1）逆用幂的乘方法则进行计算即可；
（2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可；
（3）由（1）（2）即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）由（1）（2）可知：，
∴．
24．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）若且是正整数），则．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)若，用含的代数式表示．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方．
（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；
（3）由可得，再将代入即可．
【详解】（1）解：，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴．
第八章 整式乘法
25．（24-25七年级下·江苏南京·期中）观察图形，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，根据图形面积关系可得，从而可得答案．
【详解】解：由长方形的面积可得：
图中长方形的面积为：或；
∴，
故选：C
26．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式的运算法则．根据单项式乘多项式，进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：B．
27．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ）

A． B．8 C．6 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则：，，
由得：，
解得：，
图中阴影部分面积为：，
故选：C．
28．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如果，，等于（ ）
A．42 B．40 C．39 D．38
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式，先求出即可；
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
故选：B ．
29．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若且，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】题目主要考查求代数式的值，考查代数式的展开与整体代入能力，解题的关键在于通过展开代数式并重组可以快速得到结果．
将所求代数式展开后，利用已知条件且，进行整体代入，然后将已知式子代入求解即可得．
【详解】解：，
当，时，
原式，
故答案为：A．
30．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若是一个完全平方，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式、根据平方项确定出这两个数是解题的关键．本题先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的结构特征即可确定的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故选：A．
31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．29 B．25 C．18 D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可．
【详解】解：设正方形，的边长各为，，
得图1中阴影部分的面积为：，
解得：或（舍去），
图2中阴影部分的面积为，
可得：，
解得：或（舍去）；
图3阴影部分的面积为：，
；
故选：A．
32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由数列可得展开式中所有项的系数和是，据此解答即可求解，掌握数字的变化规律是解题的关键．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
,
∴展开式中所有项的系数和是，
∴展开式中所有项的系数和是，
故选：．
33．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键．
根据每个正方形四个顶点上的四个数字的和都等于16，则三个正方形上的数字之和为48，可得，由于，进而得，即可解决问题．
【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，
∴三个正方形顶点上的数字之和为：，
则到这个数字之和为：，
∵、、都加了两次，
∴，
∴，
∴，
∵，
而，
∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴．
故选D．
34．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键．
根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可．
【详解】解：；
②；
③；
④， ．．．
则．
故选B．
35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．

【答案】7
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据长方形的面积＝长×宽，求出长为，宽为的大长方形的面积是多少，然后的系数即为C类卡片的张数．
【详解】解：∵，
∴系数为7，
故需要C类卡片7张，
故答案为：7．
36．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，将式子进行适当的变形是解题的关键．由得，而，代入即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
37．（24-25七年级下·江苏南京·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
依据，将b换作，即可得到计算结果．
【详解】解：
．
故答案为：．
38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果代数式的展开式不含x的一次项，那么m为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，熟练运用整式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则和合并同类项法则，即可解答．
【详解】解：
，
∵关于x的代数式的展开式中不含x的一次项，
∴ ，
解得： ，
故答案为：．
39．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到规律第n行有n项，且指数为序号减1，得到的展开式共有6项，得到，然后根据规律写出的各项系数，进而比较求解即可．
【详解】第1行有1项，；
第2行有2项，
第3行有3项，
第4行有4项，
…
∴第n行有n项，
∵的展开式共有6项
∴
根据题意得，
∴
∴各项系数分别为32，，80，，10，
∴最小的为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式规律问题，中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第6行数是解题关键．
40．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则 (填“”“”或“”)．
【答案】
【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行计算、有理数的大小比较，先利用完全平方公式和平方差公式求出、的值，比较即可得解．
【详解】解：，
，
∴，
故答案为：．
41．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据整式乘法的运算法则即可得，将代入，根据整式乘法的运算法则即可得．
【详解】解：由题意，，
∴，
解得：；
∴正确的结果是：
，
故答案为：．
42．（2025·江苏扬州·一模）如果一个正整数能写成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，24就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2025个智慧数是 ．
【答案】2703
【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键．从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
【详解】解：设k是正整数，
由于，
所以，除1外，所有奇数都是智慧数；
又因为，
所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
∵，
∴第2025个智慧数是第675组的第3个数，
即：．
故答案为：2703．
43．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么代数式的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行化简求值，熟记并灵活运用完全平方公式是解题关键．
先根据已知等式求出的值，再利用完全平方公式对所求代数式进行变形，然后代入求解即可．
【详解】∵，，，
则
．
故答案为：3．
44．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算题
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算积的乘方，再计算乘法即可；
（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
45．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，熟练运用平方差公式是解此题的关键．运用整式的运算规则化简在求值即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
46．（24-25七年级下·江苏南京·期中）光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm．
(1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示）
(2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2．
【答案】(1)
(2)1100
【分析】本题考查多项式乘以多项式的应用和求代数式的值，列出代数式并正确计算是解题的关键．
（1）先列出代数式，再计算即可；
（2）把代入化简的代数式求值即可．
【详解】（1）由题意得，，
，
；
（2）当时，
，
故答案为：1100．
47．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，现有三种类型的卡片：
1号卡片：边长为a的正方形卡片；
2号卡片：边长为b的正方形卡片；
3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．
(1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______．
(2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______．
(3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4．
情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．
如果，求2号卡片的边长．
【答案】(1)
(2)45
(3)4
【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积及一元一次方程的应用，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可；
（2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案；
（3）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得 ，从而得解．
【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，所以有，
故答案为：；
（2）解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，所以需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张，即，
故答案为：45；
（3）解：设长方形的长为，则宽为．
由题意：
，
，
，
，
，
即2号卡片的边长为4．
48．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”．
(1)请再写出一个“幸福数” ；
(2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由；
(3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”．
①求的值；
②的最小值为 ；
③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”．
【答案】(1)36（答案不唯一）
(2)奇数倍，理由见解析
(3)①10②11③见解析
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据幸福数的定义，进行作答即可；
（2）根据幸福数的定义，结合平方差公式进行判断即可；
（3）①将转化为，根据幸福数的定义，即可求出；②根据， a、b为正整数，且，得到当时，的值最小，进行求解即可；③根据是“幸福数”，得到为4的奇数倍，将转化为，得到为4的奇数倍，即可得证．
【详解】（1）解：；
故再写出一个“幸福数”可以是；
（2）“幸福数”是4的奇数倍，理由如下：
∵，
∵为奇数，
∴“幸福数”是4的奇数倍；
（3）①
；
∵是“幸福数”，
∴；
②∵，a、b为正整数，且，
∴当时，的值最小为，此时最小，；
③∵，
∴，
∴，
∵为幸福数，
∴为4的奇数倍，
∴
；
∵为4的奇数倍，为4的偶数倍，
∴也为4的奇数倍，
故为幸福数．
49．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为；所以；所以；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
【初步应用】
（1）若，，则 ；
【类题探究】
（2）若m满足．求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
【答案】（1）3；（2）；（3）．
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）由完全平方公式即可计算；
（2）由完全平方公式即可计算；
（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
解得：，
∴阴影部分的面积．
50．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，
因为，
所以当时，
的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，即时的值最小，最小值是1，
即的最小值是1．
定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【探究问题】
（1）①已知，则______．
②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值．
【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；
②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（2）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可．
【详解】（1）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
②当时，为“完美数”，
理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（2）∵，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1．
第九章 图形的变换
51．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等．
【详解】解：∵与关于直线l对称，
∴，所以，故③说法正确；
∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确；
∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误；
故选：C．
52．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．
【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，
故选：．
53．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可．
【详解】解：关于直线对称，
、关于直线对称，
∴
和关于直线对称，
，
的面积是：，
图中阴影部分的面积是．
故选：B．
54．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质，涉及三角形面积、点到直线的距离等知识，过作于，连接，根据已知，由面积法先求出，根据对称可得，故线段长度最小即是长度最小，求出垂线段的长度即可解答，解题的关键是将求长度的最小值转化为求长度的最小值．
【详解】解：过作于，连接，如图：
，
，
点M关于边，的对称点分别为E，F，
，
，
线段长度最小即是长度最小，此时，即与重合，最小值为．
故选：A．
55．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，、，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．4.2 B．4.8 C．5 D．4.5
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，延长到点，使，则是线段的垂直平分线，连接，过点作交，连接，根据线段垂直平分线的性质可得：，根据垂线段最短，可知当时，的值最小，利用三角形的面积公式求出的长度即为的最小值．
【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作交，连接，点 即为使得取最小值的点，
，，
是的垂直平分线，，
，
，
，
，
解得：．
故选：B ．
56．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图形平移的性质可得，，，
，
，
故选：A．
57．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到，和之间的等量关系，列出方程求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时, 过点作，
∵由平移得到，
∴，
∵，
∴，
当时，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得:，
∴，
当时，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
第二种情况：当点在外时，过点作，
∵由平移得到，
∴，
∵，
∴，
当时，设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
当时，
由图可知，，故不存在这种情况，
综上所述，或或，
故选：．
58．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的概念，画出图形即可．
【详解】解：在网格中与△成轴对称的格点三角形最多能画出3个．
故选：B．
59．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图1，在长方形中，是对角线．
(1)如图2，将长方形绕点逆时针旋转，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．
①如果，则旋转角为___________；如果旋转角为，则___________；
②如果，则的面积为___________；
(2)如图3，在（1）旋转的基础上，再把长方形绕点顺时针旋转，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若面积是面的2倍，请直接写出此时长方形的面积为___________．
【答案】(1)①70；40；②
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
（1）①旋转角的大小即为的度数，据此求解即可；根据题意可得，再求出的度数即可得到答案；②根据旋转的性质得到，，再求出的长即可利用三角形面积计算公式求出答案；
（2）由旋转的性质可得，，则有，则可推出，再根据已知条件求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴旋转角为；
∵旋转角为，
∴，
∴，
∴；
②由旋转的性质可得，，
∴，
∴；
（2）解：由旋转的性质可得，，
∵面积是面的2倍，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
60．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案．
【详解】解：，，
，
由折叠的性质得，
，，
，
，
．
故答案为：．
61．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则
【答案】
【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是利用翻折的性质得到角之间的等量关系，再结合平行线的性质建立关于的等式．
先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解．
【详解】沿翻折到的位置，
．
将沿翻折到的位置，
，
．
，
．
故答案为：．
62．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵中，，，，
∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；
…
由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．
又∵，
∴．
故答案为：．
63．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，分在直线的上方和下方两种情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
当在直线的上方时，如图，
∵，
∴，
∴，
即三角板旋转的度数为，
当在直线的下方时，如图，
∵，
∴，
即三角板旋转的度数为，
三角板旋转的度数为或，
故答案为：或．
64．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的；
(2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的；
(3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握平移与旋转的性质是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）连接和，交点即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：如图：点即为所求，
65．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点．
(1)求线段的长和的大小．
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质得到，则，根据平移可得，进而根据平行线的性质可得，根据，即可求解；
（2）根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：沿着方向平移得到，
，，，，
，，
，
，
，
，
．
（2）平移，
，
，
　，
， ，，
．
66．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P．
(1)【问题解决】若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①【初步探究】若，求和的度数．
②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，角度的和差计算，掌握折叠的性质，数形结合分析是关键．
（1）根据折叠的性质得到，根据两直线平行内错角相等即可求解；
（2）①根据平行线的性质得到，，，结合折叠的性质得到即可求解；
②结合①的计算得到，，则，有即可求解．
【详解】（1）解：∵折叠，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形是长方形，
∴，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴；
②根据上述过程可得，，
，
∵，
∴，
解得，，
∴．
67．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2．
(1)如图2， ；
(2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数；
(3)将三角板绕点逆时针旋转（）．
① ．（用含的代数式表示）
②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)42
(2)
(3)①或；②有，°或
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识．
（1）根据三角板中，即可得到结果；
（2）设旋转的角度，再根据角平分的定义即可得到，计算得到结果；
（3）①分类讨论，当时，点在的右侧，或当时，点在的左侧，得到答案；②利用①的结论，进行计算，即可得到结果．
【详解】（1）解：，，
，
故答案为：42．
（2）解：设旋转的角度，，
∵是的平分线，
，
，
，
即．
（3）解：①旋转的角度，
当时，点在的右侧，
；
当时，点在的左侧，
，
或，
故答案为：或；
②满足，
,
，或，
解得或，
∴的度数或．
第十章 二元一次方程组
68．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”设树的数量为x，乌鸦的数量是y，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
【详解】解：设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意可得：
，
故选：C．
69．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（ ）
A．，0 B．1， C．，1 D．1，0
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
70．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，通过判断所解的、值是否相等即可得出原来多项式，即可判断哪个是否正确，所以此题的关键是要掌握解二元一次方程组．解组成的各个方程组，根据方程组的解逐个判断即可．
【详解】解：当分别等于3、5时，代数式的值是5、11，
代入得：，
解得：；
当分别等于5、7时，代数式的值是11、17，
代入得：，
解得：；
∴当分别等于3、5、7时，多项式的值分别为5，11，17，
而当时，多项式的值为，
当时，错误，
故选：A．
71．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把方程组变形为，再根据方程组的解为进行求解即可．
【详解】解：将方程组变形得
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
72．（23-24八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
②①得： 解得：，
将代入①可得，可得：，
把代入：，
故选：B
73．（23-24七年级下·浙江衢州·阶段练习）已知关于，的方程组，给出下列结论：
①不论取何值，方程组总有一组解；
②当时，，的值互为相反数；
③；
④当时，．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确．
【详解】解：，
①②得：，
，
不论取何值，方程组总有一组解，
故①③正确；
当时，方程组为：，
①②得：，
，
，的值互为相反数，
故②正确；
，
解得：，
，
，
，
，
故④正确；
故选：A
74．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了方程组的解，先根据两个方程组的解相同得新的方程组，根据一个方程组求出相同的解，再代入求出的和．
【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴方程组和方程组也有相同的解，
解方程组，得，
方程组的①②，得即，
当时，，
∴．
故答案为：．
75．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查方程组的解以及方程组的变形求解，解题的关键是通过对已知方程组解的运用，将所求方程组进行合理变形．
利用已知方程组的解，把所求方程组进行转化，通过对比系数求出未知数的值．
【详解】已知方程组的解是，
将其代入原方程组可得，
把代入可得：
，
进一步变形为．
解得；，
所以方程组的解是，
故答案为：．
76．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ；
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、同底数幂相乘，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再根据同底数幂乘法得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
77．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知：，，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则，，，中为2的个数是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；由完全平方公式化简为，设，，这三个数的个数分别为、、，则有，即可求解；能熟练利用二元一次方程组进行求解是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
设，，这三个数的个数分别为、、，则有，
，
整理得：，
解得：，
，，，中为2的个数是，
故答案为：．
78．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，且，那么 ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值、二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的非负性可得，从而可得，代入可得，再根据绝对值的性质可得，，解二元一次方程组可得的值，代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
联立，解得，
∴，
故答案为：1．
79．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论．
【详解】解：关于，的二元一次方程组，
①②得：，
，
，
∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变
∴
故答案为：．
80．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）利用加减法解答即可求解；
（）利用加减法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，得，
∴，
把代入①，得，
∴，
∴方程组的解为；
（2）解：，
，得，
∴，
把代入①，得，
∴，
∴方程组的解为．
81．（24-25七年级下·江苏南京·期中）解下列方程组
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用加减消元法求解即可；
（2）先将方程①化简，再用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
，得
，
把代入①，得
，
∴，
∴；
（2）解：，
化简，得
，
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
∴．
82．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程，解题的关键在于熟练掌握加减消元法，代入消元法．
（1）利用加减消元法求解，即可解题；
（2）利用代入消元法求解，即可解题．
【详解】（1）解： ，
得：，
解得：，
将代入①中，得，
二元一次方程组解为；
（2）解：，
由①得：③，
将③带入②中，整理得：，
解得：，
将带入③中得：，
二元一次方程组解为．
83．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组．
(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关

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