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2024-2025学年上海市朱家角中学高一下学期5月考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“复数是纯虚数”的 条件．
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分又不必要
2.在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：；；；其中恒成立的等式的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如图，在下列四个正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，，，，四点共面的是 ．
A. B.
C. D.
4.记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.若复数表示虚数单位，则 ．
6.函数的最小正周期为 ．
7.若，且，则 填数学符号
8.已知是方程的一个根，则实数的值为 ．
9.若则的位置关系是 ．
10.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点在直观图中对应的点为，则的坐标为 ．
11.向量的夹角为，定义运算“”，若，，则的值为 ．
12.如果复数满足为虚数单位，则 ．
13.已知，，是空间三条不同的直线，对下列命题：
如果，，则如果，，则，，共面
如果，，则如果，，共点，则，，共面
其中正确的命题是 填序号．
14.已知函数，对于任意，都有成立，则 ．
15.在中，，则 ．
16.如图所示，中，，，，点为线段中点，为线段的中点，延长交于点，则 ．
三、解答题：本大题共小5题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
空间四边形中，，，，分别在，，，上，且满足，．
求证：，，，四点共面；
求证：，，三线共点．
18.本小题分
已知向量，向量．
若向量，求向量的坐标；
若向量在向量上的投影向量的坐标为，求向量的夹角大小．
19.本小题分
已知复数，，其中是实数．
若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围；
若，求．
20.本小题分
已知函数．
求解方程：
设，求函数的单调递增区间
在中，角所对应的边为若的面积为求的值．
21.本小题分
在梯形中，，分别为直线上的动点．
当为线段上的中点，试用和来表示；
若，求；
若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.相交或异面
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.或
17.解：，
，所以四点共面；
，且，，
，
四边形为梯形，
设，则，而平面，所以平面，
又，平面，所以平面，
而平面平面，
，
，，三线共点．
18.解：设，所以，因为，所以，
解得或，所以或．
设向量的夹角为，
根据投影的定义知：在的投影向量为：，即，
，，
向量的夹角大小为．
19.解：因为，所以复数在复平面内的对应的点的坐标为，由已知，所以，故的取值范围为；
因为，所以，
所以
．
20.解：解：由题知，
即，
解得或
即
由题，
即
，
的单调递增区间为：
，，
解得：，，
故的单调递增区间为
由
，
或，
，
，
当时，
在中由余弦定理得：
，
解得，
此时在中由正弦定理得：
，
解得，
当时，
在中由余弦定理得：
，
解得，
此时在中由正弦定理得：
，
解得，
综上：或．

21.解：因为为线段上的中点，所以，，又方向相同，
所以，所以；
因为，所以，因为，，所以，所以，
又，所以
又，
所以；
设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心，
由重心性质可得，
又，
，
，
所以，
设，，
所以，，
由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．

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