2024-2025学年上海市朱家角中学高一下学期5月考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年上海市朱家角中学高一下学期5月考试数学试卷(含答案)

资源简介

2024-2025学年上海市朱家角中学高一下学期5月考试
数学试卷
一、单选题:本题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“复数是纯虚数”的 条件.
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分又不必要
2.在复平面内,复数、所对应的点分别为、,对于下列四个等式:;;;其中恒成立的等式的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如图,在下列四个正方体中,,,,分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,,,,四点共面的是 .
A. B.
C. D.
4.记内角的对边分别为,点是的重心,若则的取值是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共12小题,每小题4分,共48分。
5.若复数表示虚数单位,则 .
6.函数的最小正周期为 .
7.若,且,则 填数学符号
8.已知是方程的一个根,则实数的值为 .
9.若则的位置关系是 .
10.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点在直观图中对应的点为,则的坐标为 .
11.向量的夹角为,定义运算“”,若,,则的值为 .
12.如果复数满足为虚数单位,则 .
13.已知,,是空间三条不同的直线,对下列命题:
如果,,则如果,,则,,共面
如果,,则如果,,共点,则,,共面
其中正确的命题是 填序号.
14.已知函数,对于任意,都有成立,则 .
15.在中,,则 .
16.如图所示,中,,,,点为线段中点,为线段的中点,延长交于点,则 .
三、解答题:本大题共小5题,共56分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
空间四边形中,,,,分别在,,,上,且满足,.
求证:,,,四点共面;
求证:,,三线共点.
18.本小题分
已知向量,向量.
若向量,求向量的坐标;
若向量在向量上的投影向量的坐标为,求向量的夹角大小.
19.本小题分
已知复数,,其中是实数.
若在复平面内表示复数的点位于第二象限,求的取值范围;
若,求.
20.本小题分
已知函数.
求解方程:
设,求函数的单调递增区间
在中,角所对应的边为若的面积为求的值.
21.本小题分
在梯形中,,分别为直线上的动点.
当为线段上的中点,试用和来表示;
若,求;
若为的重心,若在同一条直线上,求的最大值.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.相交或异面
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.或
17.解:,
,所以四点共面;
,且,,

四边形为梯形,
设,则,而平面,所以平面,
又,平面,所以平面,
而平面平面,

,,三线共点.
18.解:设,所以,因为,所以,
解得或,所以或.
设向量的夹角为,
根据投影的定义知:在的投影向量为:,即,
,,
向量的夹角大小为.
19.解:因为,所以复数在复平面内的对应的点的坐标为,由已知,所以,故的取值范围为;
因为,所以,
所以

20.解:解:由题知,
即,
解得或

由题,


的单调递增区间为:
,,
解得:,,
故的单调递增区间为


或,


当时,
在中由余弦定理得:

解得,
此时在中由正弦定理得:

解得,
当时,
在中由余弦定理得:

解得,
此时在中由正弦定理得:

解得,
综上:或.

21.解:因为为线段上的中点,所以,,又方向相同,
所以,所以;
因为,所以,因为,,所以,所以,
又,所以
又,
所以;
设线段的中点为,连接,交与点,由已知为的重心,
由重心性质可得,
又,


所以,
设,,
所以,,
由基本不等式可得,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为.

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