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第3讲　圆周运动
一、描述圆周运动的物理量及其相互关系
物理量 定义、意义 公式、单位
线速度 ①描述圆周运动的快慢（v）；
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量（ω）
物理量 定义、意义 公式、单位
周期和
转速 ①圆周运动一圈的时间为周期（T）；
②转速是物体在单位时间内转过的圈数（n），也叫频率（f）
向心加
速度 ①描述速度方向变化快慢的物理量（an）；
②方向指向圆心
物理量 定义、意义 公式、单位
向心力 ①产生向心加速度，只改变线速度方向，不改变大小；
②方向指向圆心
联系
二、离心运动
1.定义：做　　　　运动的物体，在合力　　　　　或者　　　　提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐　　　　圆心的运动.
圆周
突然消失
不足以
远离
2.供需关系与运动.
如图所示，F为实际提供的向心力，则
（1）当　　　 　时，物体做匀速圆周运动；
（2）当　　　 　时，物体沿切线方向飞出；
（3）当　　　　时，物体逐渐远离圆心；
（4）当　　　　时，物体逐渐靠近圆心.
F=mω2r　
F=0
FF>mω2r
（1）线速度侧重于描述物体沿圆弧运动的快慢，角速度侧重于描述物体绕圆心转动的快慢.
（2）转速n和频率f含义相同，只是单位不同.
（3）物体做匀速圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力大小决定的.
1.［线速度与角速度］如图所示是机械手表传动装置中相互啮合的两个齿轮.齿轮转动时，其边缘P、Q两点线速度大小分别为vP和vQ，角速度大小分别为ωP和ωQ，则 （　　）
A.vP>vQ　 B.vPC.ωP>ωQ　 D.ωP<ωQ
D
【解析】齿轮传动装置中，齿轮边缘的线速度大小相等，即vP=vQ，根据角速度与线速度的关系有vP=ωPrP，vQ=ωQrQ，由于rP>rQ，则有ωP<ωQ，A、B、C错误，D正确.
B
3.［向心力］“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动.当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环.求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f.
考点1　圆周运动的运动学分析　［基础考点］　　　　　　　　　　　　　　　
1.圆周运动各物理量间的关系
2.传动装置特点
装置 同轴传动 皮带传动 齿轮传动
图例
特点 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
装置 同轴传动 皮带传动 齿轮传动
转动 ω、T相同 线速度相同 线速度相同
方向 相同 相同 相反
规律
1.（2024年辽宁卷）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧.如图所示，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的 （　　）
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
D
【解析】由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，所以角速度大小相等，D正确；球面上P、Q两点做圆周运动的半径大小关系为rP2.（2024年广州五校联考）（多选）我国汉代一幅表现纺织女纺纱的壁画记载了我国古代劳动人民的智慧，如图甲所示.图乙是一种手摇纺车的示意图，一根绳圈连着一个直径较大的纺轮和一个直径很小的纺锤，纺轮和可转动的摇柄共轴，转动摇柄，绳圈就会牵动着另一头的纺锤飞快转动，a、B、C分别为摇柄、纺轮的绳圈、纺锤的绳圈上的点，则匀速转动摇柄时 （　　）
A.a点的周期保持不变
B.B点的线速度始终不变
C.纺锤的转速大于摇柄的转速
D.a点的向心加速度等于C点的向心加速度
AC
A
考点2　圆周运动的动力学分析　［能力考点］
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中不能再另外添加一个向心力.
2.向心力的确定
（1）确定圆周运动轨道所在的平面，确定圆心的位置.
（2）分析物体的受力情况，找出所有力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.
3.圆周运动的解题指导
例1　（2024年江苏卷）生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩因数处处相同（台面足够大），则下列说法正确的是 （　　）
A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越大
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不超过某一值R
D
1.如图所示是中国航天员科研训练中心的载人离心机，该离心机臂长8 m.某次训练中质量为70 kg的航天员进入臂架末端的吊舱中呈仰卧姿态，航天员可视为质点，重力加速度g取10 m/s2.当离心机以恒定角速度3 raD/s在水平面内旋转时，下列说法正确的是 （　　）
A.航天员始终处于完全失重状态
B.航天员运动的线速度大小为24 m/s
C.航天员做匀速圆周运动需要的向心加速度为8.2g
D.座椅对航天员的作用力大小为5 040 N
B
2.（2024年江苏卷）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动.现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，A、B位置在同一竖直线上，不计一切摩擦，则 （　　）
A.线速度vA>vB
B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAD.向心力FA>FB
C
考点3　圆周运动的临界问题　［能力考点］　　　　　　　　　　
1.确定临界状态的常用方法
（1）极限法：把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的.
（2）假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题.
2.分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
（2）撤去水平拉力F，把圆锥体固定在水平面上，让物块在水平面内做匀速圆周运动，若物块与斜面刚好接触不挤压，则物块的角速度为多少？
1.（多选）山崖边的公路常常被称为最险公路，某弯道如图所示，外圈临悬崖，内圈靠山，为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面往往设计成倾斜的.某汽车在这样的弯道转弯，下列说法正确的是 （　　）
A.汽车以恒定速率转弯时，做匀变速曲线运动
B.若汽车以大小不变的角速度转弯，选择内侧较为安全
C.为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面应该设计成内低外高
D.因弯道路面倾斜，汽车转弯时一定不需要摩擦力提供向心力
BC
【解析】汽车以恒定速率转弯时，汽车的加速度大小不变，方向时刻发生变化，汽车做变加速曲线运动，A错误；如果汽车以恒定的角速度转弯，根据Fn=mω2r，可知在内圈时转弯半径小，所以在内圈时向心力小，则静摩擦力小，不容易打滑，更安全，B正确；为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面应该设计成内低外高，使路面支持力有指向圆心的分力，C正确；弯道路面倾斜，汽车转弯时的速度不一样时，汽车可能需要摩擦力提供向心力，D错误.
C
考点4　圆周运动的轻绳、轻杆模型　［能力考点］
1.模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为轻绳模型；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为轻杆模型.
2.两类模型对比
模型 轻绳模型 轻杆模型
示意图
均是无支撑的小球
均是有支撑的小球
模型 轻绳模型 轻杆模型
过最高点的临界条件 v临=0
在最高点的FN-v2图像
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
最高点分析
例3（2024年广东省实验中学模拟）如图所示，小球A在竖直平面内做圆周运动，恰能过最高点，不计任何阻力，从某次经过最高点开始计时，转过的角度记为θ.下列能正确反映轻绳的拉力F或小球速度大小v变化的图像是 （　　）
A
1.如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动.丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁（由上、下、侧三个轮子组成）把轨道车套在了轨道上，车中座椅是指底座、靠背以及安全卡扣组成的整体，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是 （　　）
C
A
小实验*　探究影响向心力大小的因素
1.实验仪器
向心力演示器（如图），三个金属球（半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球）.
注：1.手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.套筒；8.标尺
2.实验步骤及观察结果
（1）调整标尺，使两根标尺起点和套筒上口处于同一水平面上，皮带放在第一挡，转速为1∶1的皮带盘处，质量相同的两钢球分别放在两个槽上半径相等的横臂挡板内侧，然后摇动手柄，观察到标尺读数始终相等.
（2）将长槽上钢球由第一挡板内侧移至第二挡板内侧，此时两个质量相同的钢球转动半径之比为2∶1，转动手柄，观察到标尺格数之比为2∶1.
（3）将长槽上的钢球换成铝球，并移至第一挡板内侧，两个金属球质量之比为1∶2，转动手柄，观察到标尺格数之比为1∶2.
（4）把皮带放在第二挡，转速之比为2∶1，将长槽上铝球换成钢球，转动手柄，两球角速度之比为2∶1，观察到标尺格数之比为4∶1.
（5）将皮带放在第三挡，转速之比为3∶1，转动手柄，两球角速度之比为3∶1，观察到标尺格数之比为9∶1.
3.实验结论
向心力大小与半径、角速度、质量有关，具体关系为Fn=mω2r.
例4　（2023年浙江卷）“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示.
（1）采用的实验方法是　　　　　.
A.控制变量法　　B.等效法　　C.模拟法
（2）在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动.此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的　　　 　（填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”）之比；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值
　　　　（填“不变”“变大”或“变小”）.
A
角速度平方
不变
1.（2024年海南卷）水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图甲所示，图乙为俯视图.测得圆盘直径D=42.02cm，圆柱体质量m=30.0 g，圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动，转动时小圆柱体相对圆盘静止.
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
（1）用秒表测圆盘转动10周所用的时间t=62.8 s，则圆盘转动的角速度ω=
　　　　raD/s.（π取3.14）
（2）用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图丙所示，该读数D=　　　　mm，多次测量后，得到平均值恰好与D相等.
（3）写出小圆柱体所需向心力表达式F=　　 　　（用D、m、ω、D表示），其大小为　　　 　N（保留2位有效数字）.
1
16.1　

6.1×10-3
2.如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体的质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动.力传感器测量向心力F，速度传感器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力F与线速度v的关系.
（1）该同学采用的实验方法为　　　　.
A.等效替代法
B.控制变量法
C.理想化模型法
B
【解析】（1）实验中研究向心力和线速度的关系，保持圆柱体质量和运动半径不变，采用的实验方法是控制变量法，故选B.
（2）改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示：
v/（m·s-1） 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 2.00 3.50 5.50 7.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点.
①在图乙中作出F-v2图线；
②若圆柱体运动半径r=0.2 m，由作出的F-v2的图线可得圆柱体的质量m=
　　　kg.（结果保留2位有效数字）
见解析图
0.18
【解析】（2）①作出F-v2图线，如图所示.
知识巩固练
1.偏心振动轮广泛应用于生活中的各个领域，如手机振动器、按摩仪、混凝土平板振动机等.如图甲，某工人正操作平板振动机进行水泥路面的压实作业.平板振动机中偏心振动轮的简化图如图乙所示，轮上有一质量较大的偏心块.若偏心轮绕转轴O在竖直面内转动，则当偏心块的中心运动到图中哪一位置时，振动机对路面压力最大 （　　）
A.P　　　B.Q　　　C.M　　　D.N
（本栏目对应学生用书P365~366）
A
【解析】对偏心轮边缘的一点，转到最低点P时满足F-mg=mω2r，可得地面对振动机的支持力F=mg+mω2r，此时路面对振动机的支持力最大，根据牛顿第三定律可知振动机对路面压力最大，A正确.
D
3.在高速公路的水平弯道，若直线道路与转弯的圆曲线（曲率半径一定）道路直接连接，则弯道处存在曲率半径突变.为提高旅客乘车经过弯道时的舒适度，通常设计用一段缓和曲线将直线与圆曲线连接，实现曲率半径的逐渐过渡.假如汽车以恒定的速率经过弯道，因弯道有了缓和曲线的连接，则乘客乘车如图从P到Q的过程中 （　　）
A.惯性将减小
B.向心加速度是逐渐减小的
C.受到的合外力是逐渐增大的
D.合外力对乘客做正功
C
D
5.如图所示，某同学在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动，以感受向心力的大小，则 （　　）
A.为使感受到的力等于沙袋的向心力，活动中可以使绳子保持水平
B.为使感受到的力近似等于沙袋的向心力，应使沙袋的转速大一些
C.被甩动的绳子越长，沙袋的向心力越大
D.被甩动的绳子越长，沙袋的向心力越小
B
综合提升练
6.（2023年广州五校联考）（多选）图甲中的辘轱是古代民间提水设施，由辘轱头、支架、井绳、水桶等部分构成，图乙为提水设施工作原理简化图，辘轱绕绳轮轴半径r=0.1 m，水桶的质量M=0.5 kg，井足够深，忽略井绳质量和因绳子缠绕导致轮轴的半径变化.某次从井中汲取m=2 kg的水，轮轴由静止开始绕中心轴转动从而竖直向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，重力加速度g取10 m/s2，则 （　　）
ACD　
A.10 s末水桶的速度大小为2 m/s
B.水桶的速度大小随时间变化规律为v=2t
C.0~10 s内水桶上升的高度为10 m
D.0~10 s内井绳拉力所做的功为255 J
7.冬奥会短道速滑项目男子1 000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军，其比赛场地如图甲所示，弯道半径为8 m.若一名质量为50 kg 的运动员以大小12 m/s的速度进入弯道，紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，如图乙所示，运动员可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，则运动员在弯道上受到冰面最大作用力的大小最接近的值为 （　　）
A.500 N B.900 N
C.1 030 N D.2 400 N
C
8.一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是 （　　）
A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B.汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C.汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
D
9.（2024年江西卷）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动.如图甲、乙所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动.圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）.转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等.转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力.
（1）在图甲中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周
运动.求AB与OB之间夹角α的正切值；
（2）将圆盘升高，如图乙所示.圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β.求此时圆盘的角速度ω2.

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