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第4讲　万有引力与航天
一、开普勒行星运动定律
1.第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是　　　　　，太阳处在椭圆的一个焦点上.
2.第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.
3.第三定律：所有行星的轨道的半长轴的　　　　　跟它的公转周期的
　　　　的比值都相等.
椭圆
三次方
二次方
乘积
二次方
万有引力
2.三种宇宙速度.
宇宙速度 数值/
（km·s-1） 意义
第一宇
宙速度
（环绕速度） 7.9 卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度.若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，物体绕　　　　运行
第二宇
宙速度
（逃逸速度） 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，物体绕　　　　运行
第三宇
宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.若v≥16.7 km/s，物体将脱离　　　　在宇宙空间运行
地球
太阳
太阳系
赤道平面
地球自转
地球自转
五、牛顿力学的局限性和相对论时空观
1.牛顿力学的局限性.
牛顿力学只适用于　　　　　运动的物体，微观世界要用量子力学，高速运动、大质量天体需要用相对论.
2.相对论时空观.
（1）在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而
　　　　的.
（2）在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是　　　　的.
宏观低速
增大
不同
（1）面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等.由面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大.
（2）经典力学——牛顿运动定律的适用范畴.
1.［理解开普勒行星运动定律］火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （　　）
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C
2.［万有引力定律］（2024年广西卷）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置，海水受到月球的引力不相同.图中a、B和C处单位质量的海水受月球引力大小在 （　　）
A.a处最大
B.B处最大
C.C处最大
D.a、C处相等，B处最小
A
3.［计算卫星运动的参量］金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火.已知它们的轨道半径R金A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
A　
B
1.（2024年新课标卷）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002C的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 （　　）
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
B
D
D
考点2　卫星运行参量的分析与计算　［能力考点］
1.卫星的轨道
（1）赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种.
（2）极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星.
2.地球同步卫星的特点
六个“一定”.
3.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
AC
A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C.“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D.“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
F=（m探+m背）g'=4 200 N，“背罩分离”后瞬间，由牛顿第二定律有F-m背g'=m背a，解得背罩的加速度大小为a=80 m/s2，C正确；“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为P=m探g'v=1 000×4×60 W=2.4×105 W=240 kW，D错误.
1.（2024年广东一模）据报道，“TRAPPIST-1恒星系统”由1颗红矮星和7颗（如图所示）围绕它运行的行星组成，若地球半径为R，则行星的半径如下表.据推测行星g和h的密度大致相同，若行星g的第一宇宙速度为v，则行星h的第一宇宙速度约为 （　　）
A.0.5v B.0.7v C.1.5v D.2.3v
行星 B C D e f g h
半径 1.12R 1.10R 0.78R 0.91R 1.05R 1.15R 0.77R
B　
2.（2024年河北卷）（多选）2024年3月20日，“鹊桥二号”中继星成功发射升空，为“嫦娥六号”在月球背面的探月任务提供地月间中继通信.“鹊桥二号”采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道（如图所示），近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是 （　　）
A.“鹊桥二号”从C经B到D的运动时间为12 h
B.“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C.“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
BD
考点3　卫星变轨问题　［能力考点］
1.必须掌握的三种运动情境
2.卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与
向心力的
大小关系
变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
动能减小、势能增大、机械能增大 动能增大、势能减小、机械能减小
例3　“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号” （　　）
A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.从P点转移到Q点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
C
【解析】因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，A错误；因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，B错误；因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，C正确；卫星从P点变轨时，要增大速度，此后做离心运动速度减小，则在地火转移轨道运动时，P点速度大于地球绕太阳的速度，D错误.
1.（2024年安徽卷）2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空.当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行.如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km.后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h.则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时 （　　）
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
B　
2.如图所示，携带月壤的“嫦娥五号”轨道器和返回器组合体经历了约6天环月等待后在近月点A点火加速，从近圆轨道Ⅰ进入近月椭圆轨道Ⅱ，接着在点A再次加速，从轨道Ⅱ进入月地转移轨道Ⅲ，经过多次姿态调整后，在轨道Ⅲ的远月点B附近，实施轨道器和返回器分离，返回器进入预定返回轨道.已知地球质量约为月球质量的81倍，则“嫦娥五号”轨道器和返回器组合体 （　　）
D
A.在轨道Ⅰ上A点的速度大于在轨道Ⅱ上A点的速度
B.在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期
C.在轨道Ⅲ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度
D.在轨道Ⅲ上B点附近时，受到的地球引力大于月球引力
天体圆周运动的几种模型
类型一　天体的三种匀速圆周运动模型
　　如图所示，a为近地卫星，半径为r1；B为地球同步卫星，半径为r2；C为赤道上随地球自转的物体，半径为r3.
项目 近地卫星
（r1、ω1、v1、a1） 同步卫星
（r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3）
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1>r3
角速度 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2=ω3
ω1>ω2=ω3
线速度 由v=rω得v2>v3
v1>v2>v3
向心加
速度 由a=ω2r得a2>a3
a1>a2>a3
1.（多选）我国“北斗”导航系统（BDS）已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能.A、B为“北斗”系统中的两颗工作卫星，其中A是高轨道的地球静止同步轨道卫星，B是中轨道卫星.已知地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T0，下列判断正确的是 （　　）
A.卫星A可能经过广州上空
B.卫星B可能经过广州上空
C.周期大小TA=T0>TB
D.向心加速度大小aABCD
2.如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，B为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），C为地球的同步卫星.下列关于a、B、C的说法中正确的是 （　　）
A.B卫星转动线速度大于7.9 km/s
B.a、B、C做匀速圆周运动的向心加速度大小
关系为aa>aB>aC
C.a、B、C做匀速圆周运动的周期关系为TC>TB>Ta
D.在B、C中，B的线速度大
D
类型二　双星（或三星）模型
1.运行原理分析
系统 图示 向心力来源
可视天体绕黑洞做圆周运动 黑洞对可视天体的万有引力提供向心力
黑洞与可视天体构成的双星系统 彼此给对方的万有引力提供向心力
两颗可视天体构成的双星系统 彼此给对方的万有引力提供向心力
三星系统（正三角形排列） 另两星球对其万有引力的合力
三星系统（直线等间距排列） 另两星球对其万有引力的合力
2.双星、多星问题的分析技巧
（1）根据双星或多星的特点、规律，先确定系统的中心以及运动的轨道半径.
（2）各星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供.
（3）星体的角速度相等.
（4）星体的轨道半径不是天体间的距离.要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力.
3.（多选）中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXIJ1820+070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年.根据观测，黑洞的质量大约是太阳的8倍，恒星的质量只有太阳的一半.若已知太阳质量为M，引力常量为G，据以上信息可以估算出 （　　）
A.黑洞与恒星做匀速圆周运动的轨道半径之比
B.黑洞与恒星做匀速圆周运动的线速度大小之比
C.黑洞做匀速圆周运动的角速度大小
D.恒星的自转周期
AB
B
知识巩固练
1.（2024年福建卷）（多选）“巡天号”距地表400 km，“哈勃号”距地表550 km，则 （　　）
A.ω巡<ω哈 B.v巡C.T巡a哈
（本栏目对应学生用书P367~368）
CD
2.我国第45颗“北斗”卫星轨道距地面的高度约为36 000 km，是“天宫二号”空间实验室轨道高度的90倍左右，则 （　　）
A.该卫星的速率比“天宫二号”的大
B.该卫星的周期比“天宫二号”的大
C.该卫星的角速度比“天宫二号”的大
D.该卫星的向心加速度比“天宫二号”的大
B
D
4.（2024年华师附中检测）我国的“夸父一号”卫星在距地面高度约七百二十公里的轨道围绕地球做匀速圆周运动，其中安置了全日面矢量磁象仪等载荷，对太阳耀斑进行观测、预警，同步卫星离地面高度约三万六千公里，“夸父一号” （　　）
A.受到的合外力保持不变
B.运动周期等于地球自转周期
C.对磁象仪的作用力充当其向心力
D.加速度大于同步卫星加速度
D
5.（2024年广东模拟）2024年11月15日，“天舟八号”货运飞船成功相会“天和”核心舱，“天和”核心舱距离地面约h=390 km，地球北极的重力加速度为g，地球赤道表面的重力加速度为g0，地球自转的周期为T，“天和”核心舱轨道为正圆，根据题目的已知条件（引力常量G未知），下列说法错误的是 （　　）
A.可以求出“天舟八号”的线速度
B.可以求出地球的质量
C.可以求出地球的半径
D.可以求出“天舟八号”的周期
B
综合提升练
6.（2024年深圳模拟）2024年3月20日，“长征八号”火箭成功发射，将“鹊桥二号”直接送入预定地月转移轨道.如图所示，“鹊桥二号”在进入近月点P、远月点A的月球捕获椭圆轨道，开始绕月球飞行.经过多次轨道控制，“鹊桥二号”最终进入近月点P和远月点B、周期为24小时的环月椭圆轨道.关于“鹊桥二号”的说法正确的是 （　　）
B
A.离开火箭时速度大于地球的第三宇宙速度，才能进入环月轨道
B.在捕获轨道运行的周期大于24小时
C.在捕获轨道上经过P点时，需要点火加速，才可能进入环月轨道
D.经过A点的加速度比经过B点时大
D
CD
9.（多选）如图为某着陆器多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ=2QS（已知轨道Ⅱ为圆轨道），下列说法正确的是 （　　）
A.着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火减速
B.着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间是着陆
器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间的2倍
C.着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅱ上P点的加速度大小相等
D.着陆器在轨道Ⅱ上S点的速度小于在轨道Ⅲ上P点速度
AC
10.已知地球质量为M，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体.忽略地球自转影响.
（1）求地面附近的重力加速度g；
（2）求地球的第一宇宙速度v；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明.

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