资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版七年级下册数学期末专题训练：动点问题压轴题
1．如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由．
2．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
3．在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，．
(1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度；
(2)连接，交直线于点，
①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：；
②点在运动过程中，若，请直接写出的长．
4．如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．
(1)求点、的坐标；
(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．
①求证：．
②试求点的坐标．
(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
5．点、点为y轴正半轴上一动点，且，．
(1)如图1，当时，请求出点C的坐标；
(2)如图2，点C关于y轴的对称点为，连并延长，求证：为等腰直角三角形；
(3)如图3，点在x轴上，过点B作且，连接交y轴于H．若点H恰好为的中点，求的长
6．如图，在中，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得．
(1)求的度数；
(2)当点与点重合时，请仅用圆规在图2中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明；
(3)连接，当是等腰三角形时，求的度数．
7．如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是．
(1)连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)何时是直角三角形？
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线、的交点为M，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
8．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．
(1)如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示）
(2)如图①当t为多少时，的面积等于；
(3)如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
9．如图，在矩形中，cm，cm，动点、分别从点、同时出发，点以3cm/的速度沿折线向终点运动，点以2cm/的速度沿向终点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)当________时，四边形的面积为cm2；
(2)当点在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)设的面积为，求关于的函数关系式；
(4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
10．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1) ______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
11．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值；
(3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系．
12．在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②．
(2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
13．如图，在直角坐标系中，点，点为轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点在第一象限内．
(1)如图，若，求点的坐标；
(2)如图，过点向轴上方作，且，在点的运动过程中，探究点，之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由；
(3)如图，过点向轴下方作，且，连结交轴于点，当的面积是的面积的倍时，求的长．
14．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
(1)若，试求动点的运动时间的值；
(2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
15．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)当时，______（用含的式子表示）；
(2)当且的面积等于面积一半时，求的值；
(3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度．
16．如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以的速度沿A→B方向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为t．
(1)___________（用含t的代数式表示）
(2)连接、、，求当t为何值时，的面积为？
(3)当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等展三角形？若存在，请求出符合条件的t的值：若不存在，请说明理由．
17．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
18．在平面直角坐标系中，点，，满足，连接．
(1)直接写出的面积为_______．
(2)如图，点在线段上（不与，重合）移动，，且，求的度数．
(3)已知，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，，，使，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明．
19．［核心素养］点在射线上，，为射线上两个动点，满足，，平分．
(1)如图①，当点在点右侧时，求证：；
(2)如图②，当点在点左侧时，求证：；
(3)如图③，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数．
20．如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数；
(3)若与全等，点与点为对应点，求的长．
21．【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系．
(1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时．
①求证：；
②试猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明）
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第14页，共14页
第13页，共14页
《北师大版七年级下册数学期末专题训练：动点问题压轴题》参考答案
1．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义；
（1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论；
（2）先证明，，，再进一步可得结论.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分交于点C、平分交于点D，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵BD平分，
∴，
∴．
2．(1)或
(2)或
【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可．
（2）根据直角三角形的全等，分类解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，
当时，点P在上运动，此时不存在；
当时，点P在上运动，此时存在，如图所示，
根据题意，，此时，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
解得；
当时，点P在上运动，此时存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为，此时，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴,
解得；
故当或时，的面积等于面积的一半，
故答案为：或．
（2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足，
∵，，，．
∴，，
∵动点P的速度为，
∴动点P的运动时间为，
∴动点Q的运动时间为，
∴动点Q的运动速度为；
当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在；
当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在；
∵，，，．
∴，，
∵动点P的速度为，
∴动点P的运动时间为，
∴动点Q的运动时间为，
点Q的运动路程为，
∴动点Q的运动速度为；
综上所述，点Q的速度为或．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．(1)
(2)①见解析②或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，即可得到；
（2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论；
②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点,求出，得到．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
等腰直角，
在和中，
，
；
（2）①证明：如图，作，交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
②解：当在线段上时，
由①得，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
当点在延长线上时，
如图，作于点,同①得,,
,,,
,
,
,即,
,
,
,
,
;
综上所述的长为或．
4．(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)①见解析；②
(3)的值不发生改变，等于4
【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）根据平方根和平方的非负性即可求出答案；
（2）①根据坐标得到，再通过等角的余角相等证明和，即可证明结论；
②由①得到，即可求出答案；
（3）连接，证明，得到他们的面积相等，即可得到，即可求出答案．
【详解】（1）解：
；
；
点的坐标为，点的坐标为；
（2）①证明：点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
②解：，
，
点的坐标为；
（3）解：的值不发生改变，等于4，
理由如下：如图，连接，
为的中点，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
5．(1)点
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1，过点作轴，由“”可证，可得， ，即可求解；
（2）如图2，连接，，由“”可证，可得，可证，由外角性质可得，可得，即可求解；
（3）如图3，在轴上取点，使，连接，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过点C作轴，
，，
，
，且，
，且，，
，
，，
，
∴点；
（2）证明：如图2，连接，
∵点C关于y轴的对称点为，
，，且，
，
，
，
，，
，，
，
，
，且，
，
，
为等腰直角三角形；
（3）解：如图3，在y轴上取点，使，连接，
∵点
，
∵点H恰好为的中点，
，且，
，
，，
，
，
，
，
，且，，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
6．(1)
(2)作图见解析，证明见解析
(3)或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等边三角形的性质与判定；
（1）设，根据等边对等角，三角形内角和定理以及角平分线的定义，三角形外角的性质，用两种方式表示出，进而列出方程，解方程即可求解；
（2）根据题意以为圆心的长为半径作弧交于点，根据折叠得出，进而根据等角对等边得出，即可得证；
（3）分三种情况分别画出图形，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得：，即，
∴
（2）解：如图所示，以为圆心的长为半径作弧交于点，
∵折叠，
∴，
又∵平分，
∴在上，
∵，则
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
（3）解：∵折叠，
∴，
∵，
∴
当时，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴，即
∴；
∴
当时，如图所示，
∵，
∴垂直平分
∴，则
∵
∴，即
∴；
∴
当时，由（2）可得在上，
∴
综上所述，当是等腰三角形时， 的度数为或或．
7．(1)不变，
(2)当第2秒或第4秒时，为直角三角形
(3)
【分析】（1）因为点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，所以．，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数．
（2）设时间为，则，．分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值．
（3）首先利用边角边定理证得△，再利用全等三角形的性质定理得到．再运用三角形角间的关系求得的度数．
【详解】（1）解： 不变．
等边三角形中，，，
又由条件得，
在与中，
，
，
．
（2）解：设时间为，则，，
①当时，
，
，得，；
②当时，
，
，得，；
当第2秒或第4秒时，为直角三角形．
（3）解：不变．
在等边三角形中，，，
，
又由条件得，
在与中，
，
，
又，
．
【点睛】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．一元一次方程的应用，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
8．(1)；
(2)或
(3)点的运动速度为或或或
【分析】（1）根据点P的运动速度求出，即可；
（2）分两种情况：当点P在上时，当点P在上时，分别画出图形，根据三角形面积公式，列出方程，求出结果即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．
【详解】（1）解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，．
（2）解：当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
综上分析可知：当或时，的面积等于；
（3）解：设点的运动速度为，
∵点在边上，点在边上，
∴
∴，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
④当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
∴点的运动速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，勾股定理，列代数式，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
9．(1)3
(2)不存在，见解析
(3)当时，；当时，
(4)或
【分析】（1）由题意得：，，据此表示出四边形的面积，即可求解；
（2）作，可推出，得，进而得，判断该方程有无实数根即可；
（3）分类讨论当时，当时，两种情况，画出对应图形即可求解；
（4）分类讨论时，时，两种情况，画出对应图形即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：3
（2）解：当点在边上运动时，即，
作，如图所示：
若，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴不存在一个时刻，使得；
（3）解：当时，
；
当时，
;
综上所述：当时，；当时，
（4）解：时，作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
即：，
解得：；
时，
∵，
∴，
解得：（舍）
综上所述：或
【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．
10．(1)5
(2)时，；时，；
(3)时，；时，
【分析】本题主要考查了勾股定理，列函数关系式和代数式，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
（3）根据三角形等面积法求出点C到的距离为，再分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
【详解】（1）解：在中，，，，
；
故答案为：．
（2）解：当点P在上，
（秒），
时，；
当点P在上，
（秒），
时，；
（3）解：设点C到直线的距离为h，
，
，
当时，
，
；
当时，
，，
．
11．(1)；
(2)；
(3)理由见解析．
【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
（1）利用非负数的性质解得a，b的值，即可获得答案；
（2）分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点H， 过点C作于G，易得 利用面积法解得n的值，即可确定 进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点然后确定m，t的值即可；
（3）过点O作交于点N，过点P作交y轴于点M，证明 即可获得答案．
【详解】（1）解：
又
解得：
∴；
（2）解：如图1， 分别过点B， A作x轴， y轴的垂线交于点H，过点C作于G，
，
，
，
即，
解得：
∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点
∵点在线段上，其对应点为，
；
（3）解：理由如下：
如图2，过点O作交于点N， 过点P作交y轴于点M，
设，
∵平分，
∴， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由平移的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
．
12．(1)①见解析；②见解析
(2)或，理由见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1） ①先证明，可得；②由可得，证明，从而可得结论；
（2）①当点D在线段上时，如图2所示，证明，，可得，进一步可得结论；②当点D在线段的延长线上，如图所示，证明，，可得，再进一步可得结论．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴；
②由得 ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴；
（2）解：或．理由如下：
①当点D在线段上时，如图2所示，
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
∴ ，
②当点D在线段的延长线上，如图所示，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．(1)
(2)是定值，
(3)
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（）过点作轴于点，利用直角三角形的两个锐角互余可得， 利用可证得，于是可得，， 由即可求出点的坐标；
（）连接，利用直角三角形的两个锐角互余可得，利用可证得，于是可得， 结论得证；
（）连接，过点作轴于点，由（）可知，于是可得，结合题意可知，， 利用可证得，于是可得， 利用可证得，则，于是可得，进而可得，然后根据即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：点，之间的距离是定值，理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即：点，之间的距离是定值；
（3）解：如图，连接，过点作轴于点，
由（）可知：，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵是与的高，
∴，
∴，
∴．
14．(1)动点的运动时间或；
(2)或时，与全等．
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．
（1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题；
（2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可．
【详解】（1）解：作，，则，
，
，
当点在点左侧时，
∴,
即，
解得：；
当点在点右侧时，，
∴，解得，
综上动点的运动时间或；
（2）当点在点上方时，
，，
∴当时，，
即或，
解得：或（舍去），
当点在点下方时，
，
∴，
，
∴；
答：或时，与全等．
15．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据路程等于速度乘上时间，即可作答．
（2）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解，根据面积以及三角形中线的性质，即可作答．
（3）设点的运动速度为，然后分点在上，点在上；点在上，点在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，代数式，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
【详解】（1）解：依题意，在中，，，，，动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，
∴在时，则．
故答案为：；
（2）解：如图：
当时，，
∵的面积等于面积一半
∴此时’
∴
解得
（3）解：设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，，，
，
解得；
②当点在上，点在上，时，，，
点的路程为，点的路程为，
，
解得；
运动的速度为或，
故答案为：或．
16．(1)
(2)秒或秒
(3)当为1秒或秒时，的面积为；
【分析】（1）根据题意可知，，即可得出．
（2）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（3）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明．
【详解】（1）解：根据题意：，，
∴．
（2）解：当在上时，
如图：根据题意，得，
，，，，
，
，
整理，得，
解得．
当在上时，此时，
，
，
，
∴当为1秒或秒时，的面积为；
（3）解：①当时，根据勾股定理，得，
，
解得，（不符合题意，舍去）；
②当时，根据勾股定理，得，
，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去）．
∴存在这样的秒或秒，使得是以为一腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了特殊四边形的动点问题，正方形的性质、一元二次方程、等腰三角形，以及用代数式表示式相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．
17．(1)
(2)①，证明见解析；②或
【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：过点P作．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，证明如下：
设，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
过点P作，过点M作，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，
设，设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点P在线段延长线上时，
过点P作，则，设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上：的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．
18．(1)；
(2)；
(3)或，证明见解析．
【分析】根据可知、，从而可知，根据三角形的面积公式求出结果即可；
延长至，使得，连接，根据点、的坐标可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据可证，从而可证，根据可证，再根据全等三角形对应角相等可得；
根据点、、的坐标可知四边形是正方形，当在，之间时，过点作，交轴于点，连接，，根据可证，从而可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证；当在左侧时，由可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，根据全等三角形对应边相等可证．
【详解】（1）解：，
，，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
的面积为，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：
如图所示，延长至，使得，连接，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
又，
，
；
（3）解：或，
理由如下，
，，
，
如图所示，当在，之间时，过点作，交轴于点，连接，，
，，，
，轴，轴，，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，，
，
，
在和中
，
，
即；
如图所示，当在左侧时，
由可证，
，
同理可证，
，
.
综上所述，线段，，之间的数量关系是或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、坐标与图形、分类讨论的思想．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等找边之间的关系．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平分线的判定及性质，角平分线的有关计算，互余的定义，一元一次方程的应用等；
（1）由角平分线的定义及平行线的判定方法得，由平行线的性质得，由等量代换得，由平行线的判定方法即可得证；
（2）过点作，交于点．由（1）同理可证，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证；
（3）设，由角平分线的定义及补角的定义得，由角的和差得，由平行线的性质得，可得，求出，由互余的定义得，即可求解；
掌握平分线的判定及性质，能熟练进行角平分线的有关计算，并利用一元一次方程进行求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作，交于点．
由（1）同理可证，
，
，
．
，
；
（3）解：平分，
设，
又平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与互余，
，
，
，
，
．
故的度数为．
20．(1)
(2)
(3)3或3.5
【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解；
（2）根据得出再由三角形内角和即可求解；
（3）根据和分类讨论即可求解；
【详解】（1），
，
，
，
；
（2）∵，
，
．
（3）当时，
则，
当时，
则，
，
综上可得：为3或3.5．
【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．
21．(1)；
(2)①见解析；②，理由见解析
(3)或
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据非负性即可求解；
（2）①根据，，由此即可求解；②如图所示，过点作的垂线交延长线于点，可证，得到，，再证，得到，由此即可求解；
（3）第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点，可证，得到，，再证，得到，由即可求解；第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点，方法同第一种情况；由此即可求解．
【详解】（1）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下，
如图所示，过点作的垂线交延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（3）解：或，理由如下，
第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点，
同理可证，，得到，
同理可证，，得到；
综上所述，或，
故答案为：或．
答案第2页，共4页
答案第1页，共4页

展开更多......

收起↑