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2025河南省鲁山县两所中学中考二模数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．-|-5|的运算结果等于（ ）
A．5 B．-5 C． D．
2．上证报中国证券网讯国家统计局在国新办新闻发布会上介绍，2024年我国经济总量达到134.9万亿元，这是首次突破130万亿元，比上年增长5％，我国经济总量规模稳居全球第二位．用科学记数法表示134.9万亿，正确的是（ ）
B． C． D．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．3x＋2x＝5x2 B．3x-2x＝1 C．3x·2x＝6x
4．如图，将一个含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线AB，CD中，若∠1＝68°，则∠2等于（ ）
A．38° B．68° C．52° D．32°
5．友谊新村8月1日～8月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ）
A．25立方米 B．30立方米 C．32立方米 D．35立方米
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝90°，则∠BAC的度数是（ ）
A．90° B．45° C．50° D．60°
7．下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
8．规定：对于任意实数a，b，c，有《a，b》◎c＝ac＋b，如《2，3》◎1＝2×1＋3＝5．若关于x的方程《x，x＋1》◎（kx）＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C．且k≠0 D．且k≠0
9．若实数a，b分别满足：且b-30，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
10．赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在222年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，2002年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：________．
12．五一假期来临之际，小李、小王两位同学分别计划从A，B，C三个植物园中随机选择一处进行美术写生，则两人恰好选到同一处的概率是________．
13．已知x＝2是方程的解，那么实数m的值为________．
14．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，恰好经过点O，则阴影部分的面积为________．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，G是边AB，AC上的点，CG＝2BD，线段EF在边BC上左右滑动，若，则DE＋GF的最小值为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：
（2）化简：
17．（8分）2025年3月28日13时20分缅甸境内发生7.9级地震，泰国北部清迈、夜丰颂等地震感较强，夜丰颂拜县部分景点坍塌．为让同学们了解地震自救知识，某学校举办了“从容面对灾难，实现自我救助”的知识竞赛．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分）绘制了如下不完整的统计图表：
组别 成绩（x：分） 频数
A 80＜x≤85 20
B 85＜x≤90 m
C 90＜x≤95 60
D 95＜x≤100 n
根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出统计表中的m＝________，n＝________；
（2）学生成绩数据的中位数落在________组内；在学生成绩扇形统计图中，B组对应的扇形圆心角α是________度；
（3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
（4）若全校有2000名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
18．（9分）如图，将形矩形OABC放在平面直角坐标系中，且A（0，2），C（4，0）．点E在边OC上，满足OE＝1，连接AE，射线AF⊥AE．
（1）尺规作图：作∠EAF的平分线交于BC点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求线段CG的长．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线交于点的顶点P，Q分别在双曲线和直线l上，且．轴．
（1）求k和m的值；
（2）当点P在第一象限且在点A左侧时，求面积的最大值．
20．（9分）阳光明媚的春日，外出游玩的小颖发现了种在草地斜坡下方的樱花树，这些樱花树的影子一部分落在斜坡下方的地面上，一部分落在斜坡上，为了测量最高那棵樱花树的高度，小颖测量了有关数据，绘制了如图所示的示意图，其中AB表示最高的樱花树，BO表示地面，OQ表示斜坡，阳光的光线AP与斜坡OQ垂直．若．米，米，斜坡的坡角为，求最高的那棵樱花树的高度（其中）（结果精确到0.1米）．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，点D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．
（1）求证：
（2）若AD＝4，DE＝6，求⊙O的半径．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线4的顶点，已知该抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标．
（2）当1≤x≤6时，求二次函数．的最大值与最小值的差．
（3）点D（3，m）是抛物线上一点，作直线AD，若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为n，过点P作PQ∥y轴，交直线AD于点Q，当线段PQ的长随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围．
23．（11分）（1）如图1，在正方形ABCD和AEFG中，点G在边DC的延长线上，点E在边CB的延长线上．求证：△DAG≌△BAE．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点K是边AB的三等分点（AKBK），过点K作KL∥BC，交AC于点L，点M在边AB的延长线上，连接ML，过点L作NL⊥ML，交射线BC于点N．已知AB＝6，BC＝8，求的值．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连接PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）．
数学参考答案
一、选择题
1．B 【解析】，故选：B．
2．C 【解析】，故选：C．
3．D 【解析】A．，计算错误，不符合题意；
B．，计算错误，不符合题意；
C．，计算错误，不符合题意；
D．，计算正确，符合题意；
故选：D．
4．C 【解析】．故选：C．
5．B 【解析】由折线图可知，该小区五天的用水量分别是30，40，20，30，30．所以5天的平均用水量为（立方米）．
故选：B．
6．B 【解析】∵，，∴．
故选：B．
7．C 【解析】由图可知：C图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意．
故选：C．
8．D 【解析】根据题意得，整理得，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴且，解得且．故选：D．
9．A 【解析】由，得，
∴，，由得，
∴当，时，，，
∴点在第二象限；
当，时，，，
∴点在第一象限；
综上所述，点在第一象限或第二象限．
故选：A．
10．A 【解析】过点D作交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个全等的三角形，
设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，，
由题意，得解得
在△GDE中，，，∴，则，则，
故选：A．
二、填空题
11．
【解析】原式．
故答案为：．
12． 【解析】画树状图如图：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好到一处的结果为3种，∴两人恰好选到同一处的概率，故答案为：．
13．3 【解析】将代入方程，得，解得．
故答案为：3．
14． 【解析】如图所示，作点O关于BC的对称点O′，连接CO′，BO′，OO′，BC与OO′交于点D，
∵，∴，∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
15． 【解析】如图，作D关于BC的对称点H，过点G作EF的平行线GI，且，然后连接HI交BC于E，此时的值最小，
由题意可知，BC垂直平分DH，
由勾股定理得：，即的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
16．解：（1）原式．
（2）．
17．解：（1）由频数分布直方图可知C组60人，由扇形统计图可知C组占30％，
∴抽查的学生总数为（人），
由扇形统计图可知D组占40％，∴D组人数是（人），即，
∴（人），
故答案为：40，80．
（2）∵A组20人，B组40人，C组60人，D组80人，∴中位数落在C组；
∵B组有40人，总人数为200人，
∴B组所占的比例为，
∴B组对应的扇形圆心角；
故答案为：C，72．
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）∵成绩高于90分的是C组和D组，所占的比例为，
∴全校有2000名学生参加了这次竞赛，估计成绩高于90分的学生人数是（人）．
答：若全校有2000名学生参加了这次竞赛，估计成绩高于90分的学生人数是1400人．
18．解：（1）如图所示；
（2）延长CB交射线AF于点Q，过点G作于点H，
∵，四边形ABCO是矩形，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，．
∴．由作图可知AP平分∠EAF，∴．
又∵，∴．
设，则．
∴，即．
∴．∴．
∴．
∴．
19．解：（1）将点分别代入和中得，
，，∴，；
（2）设，则，线段，
，
，二次函数开口向下，有最大值，
∴当时，有最大值，最大值是．
20．解：如图，延长AP交BO的延长线于点R，
在Rt△OPR中，米，，
∵，∴（米），
∴（米），
∵，，∴，
∵，∴，
在Rt△ABR中，，
∴（米），
∴最高的那棵樱花树的高度为19.2米．
21．解：（1）连接OA，OC，CE，
∵，，∴，∴，
∵，∴△AOC是等边三角形，∴，
∵，，∴，
∴，∴，即；
（2）∵，，∴，
∴，即⊙O的半径为．
22．解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入，得
∴解得
∴抛物线的表达式为；
∵，∴；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，∴当时，y随x值的增大而减小，
∴当时，函数有最大值，当时，函数有最小值-14，
∴当时，函数的最大值与最小值的差为；
（3）由题意可得，D（3，4），设直线AD的解析式为，
∴解得∴，
∵点P的横坐标为n，∴，
∵轴，∴，
当时，，
当时，PQ的长随n的增大而增大，
当时，PQ的长随n的增大而减小；
当时，，此时PQ的长随n的增大而增大；
综上所述：或时，PQ的长随n的增大而增大．
23．（1）证明：在正方形ABCD和AEFG中，，，，
∴，
在△DAG和△BAE中，
∴（SAS）；
（2）解：如图，作于点O，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形KBOL是矩形，
∴，，
∵，∴，
∴，∴；
（3）解：∵，，∴，
∴，
∵，∴，
如图，作于点N，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴，∴．

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