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2024-2025学年八年级数学下册期末复习题--解答压轴题
【题型1 利用拆项或添项进行因式分解】
1.观察下面因式分解的过程：
上面因式分解过程的第一步把拆成了，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：
(1)；
(2)．
2.利用拆项法，解决下列问题：
(1)分解因式：； (2)分解因式：．
3.材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如：
．
先阅读上述材料，再解决下列问题：
(1)按照这种方法把多项式分解因式；
(2)分解因式：．
4.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：
1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；
4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：

观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）______；
②（十字相乘法）______；
(2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
【题型2 因式分解的应用】
1.通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如求代数式的最小值，．
可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为： ；
(2)若与，判断的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，，求代数式的值．
2.已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形．
3.一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作．
(1)（＋）能被11整除吗？请说明理由；
(2)小明发现：如果能被3整除， 那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
小明的证明思路：
因为①
② ，
又因为代数式②，都能被整除，
所以能被整除．
4.材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________；
(3)根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积．
②计算：
【题型3 分式的化简求值】
1.已知，，，求的值．
2.(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
3.已知，，．
（1）当，，时，求的值；
（2）当时,求的值．
4.已知：，．
(1)当时，判断与0的关系，并说明理由；
(2)设时，若是正整数，求的正整数值．
【题型4 分式方程解的情况】
1.已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
2.如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
3.已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
4.阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【题型5 分式方程的应用】
1.某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；
① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；
② 转运板进311，托起车，载车出311；
③ 转运板载车滑行至316前；
④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前；
⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车．
停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330
转运板滑行区 转运板滑行区
如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．
(1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；
（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）
(2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．
2.杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元）
12月10日 4 6 2160
12月11日 6 8 3040
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
3. 两港之间的距离为千米．
(1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由．
4.某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
【题型6 勾股定理的证明】
1.（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
① 在直角中，，三边分别为a、b、c，，，求c的值：
② 如图3,五边形中，线段，，四边形为长方形，在直角中，，，其周长为n，当n为何值时，长方形的面积为定值，并说明理由．
2.把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯形ACED的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）
3.综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
4.【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．
从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．

(1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空：
=[（__________）2（__________）2]-[（__________）2-（__________）2]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；
(3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．
【题型7 利用勾股定理格点作图】
1.在如图的正方形网格中，若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：
（1）在下列各数中，任意选取三个无理数，并判断这三个数为边长的线段能否组成一个直角三角形，请直接写出所有能构成直角三角形的三边对应的无理数；
、 、 、 、 、 、 、；
（2）在解决（1）的问题时，你所运用的定理名称是 ．
A． 勾股定理 B． 勾股定理逆定理
（3）在下面方格上画出（1）中你所确定的一个直角三角形，并且顶点都在格点上．
2.如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．
3.问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　．△ABC的面积是　 　．
（2）已知△PMN中，PM＝，MN＝2，NP＝．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积　 　．
4.综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．

(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式：的最小值．
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】
1.如图1，在中点为边上一点，已知，，，连接．
(1)求的面积和线段的长；
(2)如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，折痕交于点，点是上一点．当与的面积相等时，求点到的距离．
2.阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时， ．
3.如图，△ABC和都是等边三角形，求:（1）AE长；（2）∠BDC的度数：（3）AC的长．
4.如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【题型9 等腰三角形中的动态变化】
1.如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒．
(1)求的长；
(2)用含t的代数式表示的长；
(3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
(4)点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值．
2.如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当秒时，求的长．
(2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形．
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间．
3.在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)连结，当时，求t的值；
(3)若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值．
4.综合与实践
如图，已知，平分，于点F，，．
(1)求的长．
(2)若P为射线上的动点，连接，，当是等腰三角形时，求此时的长．
【题型10 等腰三角形中的最值】
1.如图，等边三角形边长为2，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转后得到．连接与交于点．
(1)若，求线段的长；
(2)连接．
①记点的运动路径为．试判断与的位置关系；
②在点在运动的过程中，是否有最小值？如果有，请求出，并求此时的值；如果没有，请说明理由．
2.如图①，分别以的边为边向外作等边、等边，连接，易证：（无需证明）；
探究：如图②，点A是线段上方的一个动点，分别以的边为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以A点为直角顶点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，线段的最大值是______．
3.（1）如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数
小明通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在AB上截取．造出全等三角形，从而便问题得以解决．请按照小明的思路完整解答．求出的度数
（2）如图2，在四边形中，，，求证：
（3）如图3，在中，，，射线于点．若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，，连接BE，BF，直接写出最小值______．
4.如图1，在中，点，分别在边，上，，连接，点分别为的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ；
(2)探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；
(3)拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．
【题型11 等腰三角形的存在性问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点．
(1)求m和b的值；
(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2.如图，在中，是角平分线，，延长到点，使，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)判断是否垂直平分线段？并说明理由；
(3)若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点、交y轴于点．
(1)求直线l对应的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
4.如图，在等腰中，，作射线，是腰的高线，是外射线上一动点，连结．

(1)当，时，求的长；
(2)当时；求证：；
(3)设的面积为，的面积为，且，在点的运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
【题型12 利用平行四边形探究角度、线段之间的关系】
1.在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E．
①如图2，当点P为线段的中点时，请写出，之间的数量关系并说明理由；
②如图3，当点P在线段上时，请写出，，之间的数量关系并说明理由．
2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
3.在中，，，延长交于点F，，交于点H．点M是边上的点．
（1）如图1，若点M与点G重合，，，求的长；
（2）如图2，若是的角平分线，连接，，求证：；
（3）如图3，若点M为的中点，作点B关于的对称点N，连接、、，请直接写出、、之间的角度关系．
4.点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【题型13 平行四边形中的多解问题】
1.【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为．

【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时．
（1）______°；
（2）若，则______，______；
【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；
思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；
……
（3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由．
【拓展应用】在旋转过程中，当为面积的时，的值为______

2.如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示 ；
(2)当时，求的值；
(3)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3.如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点B出发，沿线段BA，向点A以的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC向点C以的速度匀速运动，已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
（1）连结P、Q两点，则线段PQ长的取值范围是________；
（2）当cm时，求t的值；
（3）若在线段CD上有一点E，cm，连结AC和PE．请问是否存在某一时刻使得AC平分PE？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4.已知为等边三角形，其边长为．点是边上一动点，连接．
(1)如图，点在边上且，连接交于点．
①求证：；
②求的度数；
(2)如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求与的函数关系式；
(3)如图，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，在点运动过程中，当的周长为时，求的长．
【题型14 数式或图形中规律探究问题】
1.【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知，所以，
（1）仿照②，写出进行因式分解的过程．
【发现规律】
（2）______．
【问题解决】
（3）计算：______（结果用乘方表示）．
2.探索发现：
＝1－
＝－
＝－
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝__________；＝__________；
（2）利用发现的规律计算：
＋＋＋···＋
（3）利用以上规律解方程：
＋＋···＋＝
3.如图，一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．

(1)将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
的度数
(2)观察上面表格中的变化规律，与边数的关系为：____________．
(3)根据规律，是否存在一个正多边形，其中的？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
4.解答题
(1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
(2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
(3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？

【题型15 数式或图形中阅读理解类问题】
1.阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在中，平分，．求证：；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．

(1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；
(2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明．
(3)活学活用
如图5，是四边形的对角线，，求证：．
(4)思维拓展
如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ．
2.阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题：
(1)___________．
(2)请回答下列问题：
①如果，求x．
②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填a，b，c的大小关系）”．
③运用②的结论，填空：若，则___________．
3.阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．
4.阅读材料
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
(1)类比迁移
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．
小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用
如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．
①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；
②若AB＝4，CFCD请直接写出CF的长．
【题型16 数式或图形中新定义问题】
1.定义：若是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
(1)若是“方倍三角形”，且斜边AB=，则该三角形的面积为____．
(2)如图，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形．
(3)如图，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长．
2.定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”.
（1）分式与 互为“5阶分式”；
（2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”；
（3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值.
3.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和，因为，所以这个三角形是非凡三角形．
（1）判断：等腰直角三角形 _非凡三角形（填“是”或“不是”)﹔
（2）若是非凡三角形，且，则 _
（3）如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值．
4.定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角．
(1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由；
(2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数；
(3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形．
参考答案
【题型1 利用拆项或添项进行因式分解】
1.（1）解：
；
（2）解：
．
2.（1）原式，
，
，
；
（2）原式 ，
，
，
．
3.（1）解：
．
（2）解：
4.（1）解：①
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【题型2 因式分解的应用】
1.（1）解：，
当时，由最大值，为，
代数式的最大值为，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
2.解：，
，
，
，
，，，
，
为等边三角形．
3.（1）解：能被整除，理由为：
，
∴能被整除．
（2）解：
，
∵，都能被3整除，
∴就能被3整除，
故答案为：，．
4.（1）解：∵，
∴关于a，b的等式为：，
故答案为：．
（2）解：由题意，得：
；
故答案为：；
（3）解：①
.
②
．
【题型3 分式的化简求值】
1.解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
2.∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
3.（1），
当时，
（2），
，
，
∵，
∴
=1.
4.（1）当时，，
理由如下：
∵，，
∴，
，
，
，
∵，
∴，，
∴
（2）∵，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵和都是正整数，
∴是正整数，
∴可取4，8，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15．
【题型4 分式方程解的情况】
1.（1）解：由分式方程有增根，得到，
解得：，
将分式方程化为整式方程：，
整理得：，
将代入得：，
即若方程有增根，则．
（2）解：∵是方程的解，
将代入得：，
整理得：，
∴，
∴，且
∵，均为整数且，
∴或2或（舍去）或，
当时，即，；
当时，即，；
当时，即
当时，即，；
当时，即，；
综上，的值为或或8．
2.（1）解：∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
（2）①∵，，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
3.（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
4.（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
【题型5 分式方程的应用】
1.（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，
依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m，
可列方程：，
解得：x＝0.6 ，
经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意．
答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．
（2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，
则．
解得：．
因为a是正整数，所以．
因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝．
2.（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，
根据题意，可得 ，
整理，可得，
∴，
∵均为正整数，
∴；；，
即有三种进货方案：
方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条，
则利润为：元；
方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条，
则利润为：元；
方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条，
则利润为：元；
综上所述，选择方案一利润最高．
3.（1）解：设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，根据题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：水流的速度为千米/时；
（2）解：依题意，
∵，，
∴
即．
4.解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级，
由题意得：，
①÷②得：，
整理得：，
代入②得．
答：扶梯露在外面的部分有48级；
（2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍．
由题意得：，
整理得：，
这里，中必有一个是整数，且．
①若为整数，则．
∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）
（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）
②若n为整数，，
∴，，，…，这些均不符合要求，
∴，此时，甲在楼梯上．
∴（级）．
【题型6 勾股定理的证明】
1.解：（1）依题意得图1中阴影部分的面积为：
或，
，
故答案为：；
（2）依题意得图2中梯形的面积为：
或，
，
整理得：；
（3）①由（1）得
，
在直角中，，由（2）得，
，
；
②由（2）得，
，
因为直角中周长为n，
，
，
，
整理得：，
，
长方形的面积为：
，
当，
解得，
即当时，长方形的面积为定值．
2.
3.（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴
（2），
，
，
即AB边上的高是
（3）解：在中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴
4.（1）
故答案为：；
（2）在中，
由勾股定理的推论，可知：．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）如图2，设，
由勾股定理，得，
，
解得，
，
∴，
∴．
【题型7 利用勾股定理格点作图】
1.（1）在所给的这列数中：
∵，，
∴，不是无理数；
∵2、5、8、10、15、20都是开平方开不尽的数
∴、 、 、 、 、 都是无理数，
取其中三个一组列举如下：
①、、；
②、、；
③、、；
④、、；
⑤、、；
……，共计20组；
对于第①组
∵
∴第①组各数不能构成直角三角形，用同样方法发现第②、③、④组的各数都不能构成直角三角形；
对于第⑤组
∵
∴第⑤组各数能构成直角三角形；
……
重复上述过程于全部的20组，可得只有如下这样的三组数能构成直角三角形：
、 、或、、或、、；
（2）解决（1）时，是计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方，若是则三角形为直角三角形，否则不是直角形．
故选：B(勾股定理逆定理)；
（3）∵15不能写成两个自然数的平方和的形式，
∴以网格的格点为端点的线段其长不可能为
∴、 、或、、不能作为直角三角形的三边画在网格中，使其顶点都在格点上；
∵ 、、
∴以网格的格点为端点的线段其长可以为、、，
∴、、为边的直角三角形可以画在网格中，使其顶点都在格点上，如下图所示：
2.（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝ ；
（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：
由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，
∵，
∴△ABC不是直角三角形；
（3）如图，
S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF
＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3
＝；
（3）设点C到AB的距离是h．
由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB h＝，即×h＝，
解得，h＝，即点C到AB的距离为．
3.解：（1）如图1中，AB＝＝＝，BC＝＝＝，AC＝＝＝，
S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣﹣2＝，
故答案为，，，．
（2）△PMN如图所示．
S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
4.（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：

由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：

设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】
1.（1）∵，，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴；
过点A作于点M，
则，
∴，
∴，
∴．
（2）根据题意，得，，，
设，则，
∴，
解得，
故，
过点F作于点H，过点F作于点G，过点A作于点M，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故点到的距离为．
2.解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
3.解：（1）∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE＝DE＝2，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝；
（2）在△ADE中，∵，
∴DE2+AE2＝＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝150°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC＝150°；
（3）过C作CP⊥DE于点P，设AC与DE交于G，如图，
∵△CDE是等边三角形，
∴PE＝DE＝1，CP＝，
∴AE＝CP，
在△AEG与△CPG中，
∵∠AEG＝∠CPG＝90°，∠AGE＝∠CGP，AE＝CP，
∴△AEG≌△CPG，
∴AG＝CG，PG＝EG＝，
∴AG＝，
∴AC＝2AG＝．
4.（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，
∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．
由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，
∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
【题型9 等腰三角形中的动态变化】
1.（1）解： ，的面积为，是边上的高，
，
，解得;
（2）解： ，，
，
动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，
①当点P在上运动时（即时），
有，
，
②当点P在上运动时（即时），
，
综上所述，当时，；当时，；
（3）解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，
有，
，解得，
，
，
的面积为：；
②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，
有，
，
，
，
，
的面积为：；
综上所述，的面积为或；
（4）解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
①为等腰三角形，，
，
，
，
秒，
②为等腰三角形，，
，
整理得，解得（不合题意，舍去），，
③为等腰三角形，，
即，解得．
综上所述，或或．
2.（1），
，
，
；
（2）根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）分两种情况：
当时，如图2所示：
则，
秒．
当时，如图3所示：
过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
3.（1）解：设点的运动时间为t秒．
∴，
∵，动点以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，
当时，，
当时， ，
综上所述，；
（2）解：如图所示，
① 当P在线段上时，
∵是等边三角形，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
解得：，
②当P在的延长线上时，
∵，∴
∴，
∴，
∴，
解得： ；
（3）解：如图所示，当时，P在上运动时，
∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形，
∴，
∵，，
P点在上运动的时间为：，Q在上运动的时间为，当Q点从点C运动到点D的过程中，，，
∴，
解得：，
当，即点P在的延长线上时，此时点Q从D运动回点C，
当点Q从D点返回时，，，
∴，
解得： ，
综上所述，当为等腰三角形时，或．
4.（1）解：过C作于E，
∵平分，，，
∴，；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴；
（2）解：当点P在线段上，且时，如图，
由（1）知，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
当点P与关于对称时，则，
∴，此时也是等腰三角形，
∴；
当及的情况不存在；
综上，当是等腰三角形时，或．
【题型10 等腰三角形中的最值】
1.（1）解：∵是等边三角形，，
∴点是的中点，，
∵，
∴，
∴
∵将绕点A逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
∴，
∵
由勾股定理得，，
∴
解得，；
（2）解：①，理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴即；
②∵点E在定直线上运动，当时最短．
过A作于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
所以，的最小值为，．
2.（1）证明：由等腰直角、等腰直角得，，，
则，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在等腰直角中，，
∴,
∵，当B、C、E共线时取等号，
∴的最大值为，
∵，
∴线段的最大值是．
3.解：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
在上取一点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
；
（2）如图：延长到点G，使得，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴；
（3）如图：过点C作直线，在直线上截取，连接,
∴
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在和中
∴
∴，
∴
∵
∴最小值为
在中，
∵
∴
∴最小值为．
4.（1）解：点F，H分别是，的中点，
∴，，
点H、G是，的中点，
∴，，
∵，，
，
∴，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：是等边三角形．理由如下：
由旋转知，，
∵，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，，，
，，，
∴是等腰三角形，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形；
（3）由（2）知，是等边三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，最大，
，
，
．
【题型11 等腰三角形的存在性问题】
1.（1）在中，当时，；
当时，；
∴；
∵点C在直线上，
∴，
又∵点也在直线上，
∴，
解得：；
（2）①在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，过C作于E，如图1所示：
则，
∵的面积为10，
∴，
解得：；
②存在，理由如下：
过C作于E，如图1所示：
则，
∴，
∴；
a、当时，，
∴，
∴；
b、当时，如图2所示：
则，
∴，，
∴，或；
c、当时，如图3所示：
设，则，，
∴，
解得：，
∴P与E重合，，
∴，
∴；
t的值为4或或或8．
2.（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是角平分线，，，
∴，
∴．
（2）垂直平分线段；
理由：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
垂直平分线段；
（3）如图，当，则，
∴；
如图，当，则，
∴
综上所述，为或．
3.（1）解：设直线l的解析式为，把点，代入得，
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
；
①当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
②当时，点C在点A的左侧，如图所示：
此时点C的坐标为；
当时，点C在点A的右侧，如图所示：
此时点C的坐标为；
③当时，如图所示：
设点，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
此时点C的坐标为；
综上分析可知：点C的坐标为或或或．
4.（1）解：，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【题型12 利用平行四边形探究角度、线段之间的关系】
1.（1）证明：，，
，
．
，，
，
，
．
四边形是平行四边形；
（2）①．
理由如下：连接，如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，
，，
，
．
，
．
，，
，
，
．
②．
理由如下：过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
．
四边形是平行四边形，，
．
，，
，
，，
，
，
．
在中，，则．
，
．
2.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝＝，
∴，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
3.解：（1）在平行四边形中，
∵
∴，
在中，
∴；
（2）如图，过点作交于点，连接
在平行四边形中，平分
∴∠
∴是等腰三角形
∵∠
∴∠
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴，∠
在和中
∴≌
∴
在和中
∴≌
∴∠
∴∠
∴
∴为的中点
∴
（3）
∵为的中点
∴
∵关于对称
∴∠
又∠
∴∠
∵
∴△
∴∠，∠
∴∠
∴
4.解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【题型13 平行四边形中的多解问题】
1.（1）由旋转可得，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：60；
（2）如图，过点F作交延长线于点，设交于点N，

∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
思路1：如图，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵旋转，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.

思路2：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；

拓展应用：
∵，
∴当为面积的时，，
由（3）思路2得，，
∴，
∴，即，
∴，
如图3，；
如图2,，
综上，的值为或，
故答案为：或．
2.（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵点从点出发，以速度沿射线运动，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作于，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴ ，，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
当为边时，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴，
当为对角线时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
3.（1）四边形ABCD中，
四边形ABCD是直角梯形
由题意可知，在点P、Q运动过程中，当点P在点B处，点Q在点D处时，线段PQ取得最大值BD；当时，线段PQ取得最小值，此时
如图1，过点A作，连接BD，则四边形ABCM是矩形
则线段PQ长的取值范围是
故答案为：；
（2）点P运动到点A所需时间为；点Q运动到C所需时间为
由题意得，
如图2，过点P作，则四边形BCFP是矩形
因，则分以下两种情况：
①当点Q在点F左侧时，
即，解得，符合题意
②当点Q在点F右侧时，即点Q在点处
则，解得，符合题意
综上，t的值为2或；
（3）存在某一时刻使得AC平分PE，求解过程如下：
如图3，设AC与PE相交于点O
当AC平分PE时，
在和中，
由题意，分以下两种情况：
①当点Q在点E左侧时，
即，解得，符合题意
②当点Q在点E右侧时，即点Q在点处，
则，解得，不符题意，舍去
综上，存在某一时刻使得AC平分PE，此时t的值为4．
4.（1）①证明：是等边三角形，
，，
，
≌，
；
②解：由①知，≌，
，
，
；
（2）如图，在上截取，连接，，
同（1）①的方法知，，由旋转知，，，
，
由（1）②知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
等边的边长为，
，
，
，即；
（3）如图，延长至，使，连接．
为等边三角形
∴，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长为，
，
，
过点作，则，，
，根据勾股定理得，，
，
解得或，
当时，，，
过点作于点，则，，
，
．
当时，，，
，，，
．
【题型14 数式或图形中规律探究问题】
1.解：（1）
．
（2），
．
故答案为．
（3）
．
故答案为．
2.（1），；
（2）原式=；
（3）原方程可化为 ，
即，
解得x=25,
经检验x=25是原方程的解.
3.（1）解：正多边形每个内角的度数为，
则当时，该多边形的一个内角为，则，
当时，该多边形的一个内角为，则，
当时，该多边形的一个内角为，则，
当时，该多边形的一个内角为，则，
所以，可填写表格如下：
正多边形的边数 3 4 5 6
的度数
（2）结合（1）可知，对于边形，
可有，
所以，与边数的关系为．
故答案为：；
（3）存在一个正多边形，其中的．
由（2）可知，，解得，
所以，当的值为10时，在该正多边形中，其中的．
4.（1）解：已知：在中，D、E分别是边的中点，
求证：且，
证明：如图，延长至F，使，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等），
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴且，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴且（平行四边形的对边平行且相等），
∵，
∴且．

（2）解：∵分别是的中点，
∴，
∴四边形的周长1，
同理可得，四边形的周长，
四边形A3B3C3D3的周长，
…，
∴四边形的周长之和．
（3）解：由图可知，（无限接近于1），
所以（无限接近于2）．
【题型15 数式或图形中阅读理解类问题】
1.（1）证明：方法一：∵平分，
∴，
在和中，，，，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，
∴，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，
证明：在上截取，使得，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
∴；
（3）解：如图5所示：延长到E，使，连接，

∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，∴，
∵，
∴，
∴
，，
∴，又，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，则，
∵，
∴；
（4）解：如图6，连接，过点O作，

∵，，
∴，，
∵点D是的中点，，
∴，又，
∴，又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∵，
∴是中最小的一个，
∴，解得：，
∴；
②证明：由，不妨令，即；
又∵，
解之得：，；
把代入可得；
把代入可得；
∴；
将代入得；
∴，
故答案为：；
③由②可得，
解之得，
∴．
故答案为：
3.（1）∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
∴，
在中，
∴
∴为直角三角形，且，
∴；
故答案为：；
（2）如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
（3）如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
∵在中，，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，
∴如图所示；
∴，
∵，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四点共线，
在中，，
∴．
4.（1） （1）证明：如图，延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，
∵，
∴△BDF≌△CDM（SAS），
∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFM，
∴∠M＝∠MAC，
∴AC＝MC，
∴AC＝BF；
（2）（2）①解：线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，
证明如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图所示：
∵点F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△BFM和△EFD中，
∵，
∴△BFM≌△EFD（SAS），
∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，
∴BM∥DE，
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，
∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，
∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，
∵，
∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AD＝DM＝2DF；
②解：CF的长为1或2．
当CF为△BDE的中位线时，CFCDDE，
∴C为BD的中点，∴CD＝BC＝4，∴CFCD＝2，
如图，当CF不是△BDE的中位线时，连接CE，取BC的中点N，连接FN，过点D作DG⊥CE，过点G作GI⊥CD于点I，过点F作FH⊥BC于点H，
∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∴DGCD，CGCE，
∵CFCD，
∴DG＝CF，
∵N为BC的中点，F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NF∥CE，NFCE＝CG，
∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴HFNF，GICG，
∴HF＝GI，NH＝CI，
∵FC＝GD，
∴Rt△FCH≌Rt△GDI（HL），
∴CH＝DI，
∴NH+CH＝CI+DI，即NC＝CD，
∴CD＝2，即CF＝1，
综上所述，CF的长为1或2．
【题型16 数式或图形中新定义问题】
1.（1）解：设其余两条边为a，b,
则满足，
根据“方倍三角形”定义，还满足：，
联立方程组得，
解得，
则的面积为：；
故答案为：；
（2）证明：∵是“方倍三角形”，且，
则，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（3）解：由翻折可知：，
∴，
根据“方倍三角形”定义可知：，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
延长交于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（1）依题意，所求分式为A，即：，
∴；
（2）∵正数互为倒数
∴，即
∴
∴分式与互为“2阶分式”；
（3）由题意得，等式两边同乘
化简得：
即：
∴，即
∴或0
∵为正数
∴.
3.解：（1）令等腰直角三角形的三个边分别为，，，
，
等腰直角三角形是非凡三角形，
故答案为：是；
（2）是非凡三角形，，
∴当时，
则，
∴，
当时，
则，
∴，
当时，
则，
∴（显然不符合题意，舍去），
，，
，
∴符合题意；不符合题意，舍去，
故答案为：；
（3）四边形是平行四边形，
，，
又，
垂直平分，
，
是非凡三角形，
∴①当时，
则，
（舍负），
，
在中，，
；
②当时，
则，
（舍负），
，
在中，，
；
③当时，
则，
（舍负），
，
在中，，
；
综上所述，AC的值为或．
4.（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下：
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
是的中垂线，
平分，
，
，
点P不是等边的勃罗卡点；
（2）点P为等边的勃罗卡点，
，
，
即，
，
同理可得，
在与中，
，
，
，
，
，
，
等边的勃罗卡角的度数为；
（3）证明：点P，关于对称，
为的中垂线，
，
为等腰三角形，
，
由（2）可知，
，
，
为等边三角形，同理可得为等边三角形，
如图，在内部作交于点N，连接，
为的中垂线，
，
，
，
，
，
点N为的勃罗卡点，且，
在内部作交于点M，
同理可证点M为的勃罗卡点，且，
，
，
为等边三角形．

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