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第5章《一元一次方程》章节知识点复习题
【考点1 从算式到方程】
【题型1 利用一元一次方程的定义求字母系数的值】
1.已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ．
2.若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足条件（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3.若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为 ．
4.若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ．
【题型2 利用方程的解求字母系数或代数式的值】
1.已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ．
2.已知a为整数，关于x的方程的根是质数，且满足，则a等于（ ）
A．2 B．2或5 C． D．-2
3.若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ．
4.已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ．
【题型3 利用等式的性质解方程】
1.等式的基本性质是解方程的基础，很多方程的解法都运用到等式的基本性质，下列根据等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．由，得到 B．由，得到
C．由，得到 D．由，得到
2.下面的框图是解方程的流程：
在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有 ．（只填序号）
3.利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：
(1)； (2)．
4.阅读下面解方程的步骤，在后面的横线上填写此步骤的依据：
解：去分母，得.①依据：
去括号，得.
移项，得.②依据：
合并同类项，得.
系数化为1，得.
∴是原方程的解.
【题型4 根据实际问题列一元一次方程】
1.新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.一项工程甲单独做要小时，乙单独做要小时．现在先由甲单独做小时，然后乙加入进来合做完成了整个工程．完成整个工程其中乙一共用了多少小时？若设乙一共用了小时，则所列的方程为 ．
3.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（ ）．
A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
【考点2 解一元一次方程】
【题型5 一元一次方程的一般解法】
1.下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
，（第一步）
，（第二步）
，（第三步）
，（第四步）
．（第五步）
(1)任务一：填空．
①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________．
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．
(2)任务二：请直接写出该方程的解．
2.解方程
(1) (2)
3.（1）解方程：．
（2）当为何值时，代数式的值比代数式 -x的值大3．
4.解方程：．
【题型6 含字母系数的一元一次方程的解法】
1.关于x的方程的解与的解互为相反数．
(1)求的值；
(2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解．
2.已知是方程的解，求关于y的方程的解．
3.已知关于x的方程，解答下列问题：
(1)如果方程的解是时，求字母a的值．
(2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值．
(3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值．
4.已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关．
(1)求p的值；
(2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值．
【题型7 整体思想在解方程中的应用】
1.在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体．
令，得：，
去括号，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故，解得．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
2.数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程．
3.用整体思想解方程．
4.阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，
，，或．
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合．
原方程的解为或．
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：
(2)解方程：
【题型8 同解方程】
1.在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．
(1)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值；
(2)若关于x的两个方程与是同解方程，求a的值；
(3)若关于x的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值．
2.已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值 ．
3.若方程+=1 与关于x的方程2x =m 6x解相同，求m的值．
4.已知关于的方程是一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值；
(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值．
【题型9 方程的“错解”“遮挡”问题】
1.王斌在解方程时，墨水把其中一个数字污染成了“”，他翻阅答案知道该方程的解为 ，则推算确定污染的数字“”应是 .
2.小虎在解关于x的一元一次方程-m=x时，由于粗心大意，移项时忘记了改变符号，变形为+x=-m.求得方程的解为x=1，则原方程的解为 （ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
3.马虎同学解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的2没有乘6，由此求得的解为，试求a的值，并正确求出方程的解．
4.马小哈在解一元一次方程“●”时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中未知数x前的系数看不清了，同桌正确答案的最后一步是“所以原方程的解为”，马小哈由此就知道了被墨水遮住的数，请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的数是 ．
【考点3 实际问题与一元一次方程】
【题型10 配套、调配、工程问题】
1.某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板．
(1)应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？
(2)若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？
2.为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，某校于年月日组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动，若单独调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量增加辆，并空出个座位．
(1)计划调配座的新能源客车多少辆？该校七年级共有多少名学生？
(2)若同时调配座和座两种车型共辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
3.某市，两仓库分别有水泥15吨和35吨，，两工地分别需要水泥20吨和30吨．已知从，仓库到，工地的运价如下表：
工地仓库 工地 工地
仓库 每吨15元 每吨12元
仓库 每吨10元 每吨9元
若从仓库运到工地的水泥为吨．
（1）用含的式子表示从仓库运到工地的水泥的数量，从仓库运到工地的运输费用；
（2）求把全部水泥从，两仓库运到，两工地的总运输费（用含的式子表示）：
（3）当总运输费为535元时，水泥该如何运输调配？
4.开州区交通局每年都会有计划地对全区公路进行部分维修，今年下半年交通局对郭家镇至郭家镇这段公路进行水泥路改沥青路翻修，由甲、乙两个工程队合作完成此项工程，已知甲单独做需要40天，乙单独做需要60天，现甲先单独做10天后，由甲、乙两队合作．
(1)甲、乙合作多少天才能把该工程完成？
(2)已知甲队施工一天需付劳务费5万元，乙队施工一天需付劳务费3万元，如果全程都由甲、乙两队合作完成，那么该工程需付多少劳务费？
【题型11 比赛、行程、分段问题】
1.（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案）
（2）如果火车正前方8个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可）
（3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知火车速度5个单位/秒，火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？
2.某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
14 10 4 24
14 7 7 21
14 4 10 18
(1)求出胜一场、负一场各积多少分？
(2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由．
3.为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表：
用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分
收费标准（元/度）
(1)若小明家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为
①当时，_______；
①当时，_______；
③当时，_______；
(2)小明家当月交电费132元，求小明家当月用电多少度？
(3)采用分段计费制度后，小明家月用电量为多少度时，其当月的平均电价为元/度？
4.徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件．
(1)现有两种购买方案：
①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件；
②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由．
(2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？
参考答案
【考点1 从算式到方程】
【题型1 利用一元一次方程的定义求字母系数的值】
1.1
【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程．
根据一元一次方程的概念，可得且，求解即可．
【详解】解：由题意可得且，
由可得，
由可得或
综上：
故答案为：
2.B
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可得到，进行计算即可得到答案．
【详解】解：关于x的方程是一元一次方程，
，
，
故选：B．
3.2
【分析】本题主要考查一元一次方程的定义和绝对值的意义，保证的系数为0、x的系数不为0求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴
故答案为：2．
4.或
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可．
【详解】解：关于的方程是一元一次方程，
可考虑三种情况，
①当且时，
即且，
则，解得：，
此时，故排除；
②当且时，
即且，
，符合条件；
③当即时，
，符合条件；
综上：的值为或，
故答案为：或．
【题型2 利用方程的解求字母系数或代数式的值】
1.或1
【分析】此题考查了一元一次方程的解，本题求、的思路是根据某数是方程的解，把代入方程，求出的值，把的值代入关系式，求出的值，进而求出的值．
【详解】解：将代入方程中，
得．
解得．
将代入关系式中，得．
解得或．
所以的值为或1．
2.D
【分析】根据各个选项的值，分别将、、分别代入求得x的值，再进行判断即可．
【详解】解：当时，是质数，但，所以不选A，C．
当时，不是质数，所以不选B．
当时，是质数，同时满足，所以选D．
故选：D．
3.
【分析】此题考查了此题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，根据解为整数，为整数，求出值，进行计算即可，正确的求出方程的解是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
∵方程有非负整数解，且为整数，
∴或或，
解得：为或或，
∴的值和为，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了方程的解，方程无数解的条件，求代数式的值，熟练掌握解是解题的关键．
【详解】∵方程的解总是2，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
故答案为：．
【题型3 利用等式的性质解方程】
1.C
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立．根据等式的性质求解即可．
【详解】解：A、两边都加2，得到，故A正确，不符合题意；
B、两边都减3，得到，故B正确，不符合题意；
C、当，由，不一定能得出 ，也可能，故C错误，符合题意；
D、两边都乘，得，故D正确，不符合题意．
故选：C．
2.①⑤
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质．
【详解】解：等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式，两边依然相等；
若，
那么有，
或，
所以依据等式的性质2的步骤是①⑤．
故答案为：①⑤．
3.解：(1)两边同加得：．
检验：当时，
左边，右边，
左=右，
∴是方程的解；
(2)两边都减去1，得，
两边都除以2，得．
检验：当时，左边右边，
是方程的解．
4.解：去分母，得 3（3x+1）=2（x-2）．①依据等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立，
去括号，得 9x+3=2x-4．
移项，得 9x-2x=-4-3．②依据等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立，
合并同类项，得 7x=-7．
系数化为1，得 x=-1．
∴x=-1是原方程的解．
故答案为：①等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立；②等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立．
【题型4 根据实际问题列一元一次方程】
1.B
【分析】本题考查根据实际问题列方程，设加入篮球社团有人，得到加入音乐社团有人，结合七年级一班共有30位同学报名加入了社团，且两个社团都加入的有8人，即可得到答案，读懂题意，准确根据等量关系列方程是解决问题的关键．
【详解】解：设加入篮球社团有人，根据题意列方程为，
故选：B．
2.
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，由甲乙合作的时间为小时，甲乙合作的工作效率为，根据“甲的工作效率甲乙合作的工作效率合作的时间工作总量”可得方程，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程．
【详解】根据题意可得：甲乙合作的时间为小时，甲乙合作的工作效率为，根据“甲的工作效率甲乙合作的工作效率合作的时间工作总量”可得方程：，
故答案为：．
3.D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、明确量之间的关系成为解题的关键．
设木条长尺，根据绳子比木条长尺可得绳子长为；再根据将绳子对折再量木条，木条剩余1尺可得，最后根据绳子的长度不变列出方程即可．
【详解】解：设木条长尺，
根据题意可得：．
故选：D．
4.C
【分析】根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：
或找大长方形的长做相等关系得：．
∴①②都正确，
故选：C．
【考点2 解一元一次方程】
【题型5 一元一次方程的一般解法】
1.（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立，
故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立；
②第二步开始出现错误，
原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
2.（1）去括号得：，
移项合并得：；
（2）去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
3.（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
化系数为1，得：；
（2）由题意得：，
，
．
4.解：
．
【题型6 含字母系数的一元一次方程的解法】
1.（1）解：解方程得：，
∵两个方程的根互为相反数，
∴另一个方程的根为，
把代入方程，
得：，
解这个方程得：，
∴．
（2）解：∵，
∴可化为，
∵任何数代入均成立，
∴关于t的方程有无数解．
2.解：把代入方程得：，
解得：，
代入方程得：，
解得：．
3.（1）解：把代入方程，得：
，
∴，
解得，；
（2）∵，
∴（去分母时漏乘），
把代入可得：
，
整理得：，
解得：；
（3），
∴，
整理得：，
当时，方程无解，
∴
4.（1）解：，，
，
的值与x无关，
，
；
（2）解：，
，
q为整数，是正整数，且，
，或,，
或
【题型7 整体思想在解方程中的应用】
1.解：令a=x+2，则2a=2x+4，
原方程得：，
去括号，得：4a-20=1，
移项，得：4a=21，
系数化为1，得：a=．
故x+2=，
解得x=．
2.解：小亮：原方程可化为
；
小颖：原方程可化为
．
3.解：，
设，则原方程可变形为，
，
，
，
，
，
，
∴，
解得．
4.（1）解：移项得，
合并得，
两边同时除以得，
所以，
所以或；
（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；
当时,原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，不符合．
所以原方程的解为或．
【题型8 同解方程】
1.（1）解：∵，
∴，
∵方程与关于x的方程是同解方程，
∴方程的解为，
∴，
∴；
（2）解：解方程得：，
解方程得：；
∵关于x的两个方程与是同解方程，
∴，
解得；
（3）解：解方程得：，
解方程得：；
∵关于x的两个方程与是同解方程，
∴，
∴，
∵m，n都是正整数，
∴是正整数，
∴当时，；当时，．
2.5
【分析】先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案．
【详解】解：解方程，
得：，
把代入方程，
得：，
解得：,
故答案为：．
3.解得：x=0.6，
将x=0.6代入，
得：，
解得：m=13.2．
即m的值为13.2．
4.（1）解：由题意得：
且，
且，
，
的值为；
（2）解：，
，
，
已知方程与方程的解互为相反数，
把，代入中可得：
，
，
的值为：；
（3）解：把代入中可得：
，
，
，
，
已知方程与关于的方程的解相同，
，
解得：
的值为：．
【题型9 方程的“错解”“遮挡”问题】
1.5
【分析】本题考查方程的解，根据方程的解满足方程代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵方程的解为 ，
∴，
解得：，
故答案为：5．
2.D
【详解】将x=1代入+x=-m，得
m=-，
将m=-代入-m=x，得+=x，
解得x=3.
故选D．
3.解：去分母时，方程左边的2没有乘6，
此时变形为；
将代入，得；
解得：；
则原方程应为： ；
去分母得： ；
去括号得：，
解得：．
4.－4
【分析】由于知道原方程的解为，所以可以将代入方程中，求出系数即可解决．
【详解】解：设墨水遮住的系数为a
把代入
得
解得．
故答案为－4．
【考点3 实际问题与一元一次方程】
【题型10 配套、调配、工程问题】
1.（1）解：设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板，
由题意得，，
解得，
∴，，
答：分配20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器；
（2）解：设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的，
由题意得，，
解得，
答：每套太空慢步器是按原售价的八折销售的．
2.（1）设计划调配座的新能源客车辆，
根据题意，得，
解得，
（名），
答：计划调配座的新能源客车辆，该校七年级共有名学生；
（2）设调配座客车辆，则调配座客车辆，
根据题意，得，
解得，
辆，
答：调配座客车辆，则调配座客车辆．
3.（1）∵15+35=20+30=50吨，
∴A、B两仓库的水泥都需要全部运送到C、D两工地，
∵从仓库运到工地的水泥为吨，
∴从仓库运到工地的水泥为：吨；
∴从仓库运到工地的水泥为：吨，
∴从仓库运到工地的运输费用为：元．
（2）∵从仓库运到工地的水泥为吨，
∴从B仓库运到工地的水泥为（20-x）吨，
总运输费为：元
（3）∵总运输费为535元，
∴由（2）得，
解得：
∴当总运输费为535元时，应该从仓库运到工地10吨，从仓库运到工地5吨，从仓库运到工地10吨，从仓库运到工地25吨．
4.（1）设甲、乙合作天才能把该工程完成，
则：，
解得：，
答：甲、乙合作18天才能把该工程完成；
（2）设全程都由甲、乙两队合作需要天完成，
则，
解得：，
则：（万元），
答：该工程需付192万元劳务费．
【题型11 比赛、行程、分段问题】
1.解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为，
则一个玩具火车长为．
∴点A处的数字是，，
故答案为：12，6；
（2）根据题意可得：，，
设的长为m，
∴，
整理得：．
故答案为：；
（3）∵原点O与点C重合，点A表示的数为12，
∴点C移动后对应的点为，点A所对应的点为，
由题意可知，或，
解得：或，
∴或秒后两火车的A处与C处相距2个单位．
2.（1）解：设胜一场记分，则负一场记分，
根据题意得：，
解得，
，
答：胜一场记2分，负一场记1分；
（2）解：胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下：
设胜场数是，负场数是，
依题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴不符合题意，
∴胜场总积分不能等于负场总积分．
3.（1）解：（1）根据题意得：
当时，
，
当时，
，
当时，
，
故答案为：；；；
（2）解：小明家当月交电费132元，可知用电量超过180度但不超过280度．
由代入，
解得：．
∴小陈家第三季度用电250度．
（3）解：当电量不超过180度，平均电价为元/度，
当电量为280度时，平均电价
∴当月的平均电价为元/度时，用电量大于280度
设：小明家月用电量为度时，其当月的平均电价为元/度．
经检验，是一元一次方程的解．
答：小明家月用电量为296度时，其当月的平均电价为元/度
4.（1）解：购买方案②费用较省，理由如下：
购买方案①所需费用为（元），
购买方案②所需费用为（元）．
∵，
∴购买方案②费用较省．
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件．
①当时，，
解得：，
∵，
∴不合题意，舍去；
②时，，
解得：，
∴．
答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．

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