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第1章《整式的乘除》章节知识点复习题
【题型1 幂的基本运算】
1.我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的序号有
2.若为正整数．且，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
3.已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是 ．
4.按要求完成下列各小题
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，，求的值．
【题型2 利用幂的运算进行比较大小】
1.比较大小： ．（填、或）
2.若，，比较，大小关系的方法：因为，，32>27，所以，所以．已知，，则，的大小关系是 （填“<”或“>”）．
3.阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较和的大小：因为，，所以．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：__________（填“”或“”）
(2)已知，，，试比较，，的大小．
4.阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和 ，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较与的大小；
(3)比较与的大小．
【题型3 利用幂的运算进行简便计算】
1.计算：（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2.计算的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．
3.计算的结果是 ．
4.下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出的值．
【题型4 幂的运算中的新定义问题】
1.对于整数a、b，我们定义：，．例如：，．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
2.定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；
②；
③
④．
其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）．
3.对于整数、定义运算：其中、为常数，如．
(1)填空：当，时， ______ ；
(2)若，，求的值．
4.在学习平方根的过程中，同学们总结出：在中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．
小明课后借助网络查到了对数的定义：
如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
(1)；
；
；
__________；
计算：__________；
(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，
例如：__________；（用对数表示结果）
(3)于是他猜想：__________（且，，）．请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
(4)根据之前的探究，直接写出__________．
【题型5 整式乘除的计算与化简】
1.已知： ，，化简的结果是 ．
2.已知m满足．
(1)求的值．
(2)求的值．
3.（1）运用乘法公式计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
4.为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若，，其中为有理数，
(1)求，要求化简为关于的多项式；
(2)比较，的大小．
【题型6 整式混合运算的应用】
1.阅读材料：
材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为，所以3254是一个平方和数．显然，152，4253这两个数也肯定是平方和数．
材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．
请根据上述定义完成下面问题：
(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）
(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则为一个平方和数，为一个双倍积数，求的值．
2.如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元
3.在矩形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（　　）
A． B． C． D．
4.正方形中，点G是边上一点（不与点C，D重合），以为边在正方形外作正方形，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形和正方形的边长分别为a和b（）．
(1)求图1中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
(2)当时，求图1中阴影部分的面积的值；
(3)当时，请直接写出图2中阴影部分的面积的值．
【题型7 整式的乘除中的错解问题】
1.某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是 ．
2.小林同学把错抄为，抄错后算得的答案为，则正确答案为 ．
3.在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：．
(1)求出a，b的值；
(2)在（1）的条件下，计算的结果．
4.甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
【题型8 整式的乘除中的阅读理解类问题】
1.若x满足，求的值．
解：设，，
则，．
∴
．
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成．
(3)若x满足，求的值．
2.阅读材料；杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393年．如图，根据你观察的杨辉三角的排列规律，完成下列问题．
(1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______；
(2)计算与猜想：
①计算：
②猜想：的展开式中含项的系数是______．
(3)运用：若今天是星期五，过7天仍是星期五，那么再过天是星期______．
3.我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算，可用竖式除法如图：
所以除以，商式为，余式为0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)______；
(2)计算：；
(3)能被整除，求a、b的值．
4.阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”．
(1)36和84 　 　“友好数对”．（填“是”或“不是”）
(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　 　和 　 　．
因为它们是友好数对，所以 　 　．
即a，b，c，d的等量关系为： 　 　．
(3)请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 　 　题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
参考答案
【题型1 幂的基本运算】
1.①③
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则进行变形可得，，进而可得，，再逐项判断即可作答．
【详解】∵，，
∴，即，
∵，
∴，
①，故正确；
②，故错误；
③，故正确；故选：①③．
2.D
【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．
【详解】解析：
，
故选D．
3.
【分析】根据，把各数代入即可求解．
【详解】∵4×9=62，，，
∴
故
∴
故答案为：．
4.（1）解：
∵，
∴
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
将①+②得．
【题型2 利用幂的运算进行比较大小】
1.
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴．
故答案为：．
2.<
【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知，
，，，
，
，
故答案为：<．
3.（1）因为，，
所以．
故答案为：；
（2）因为，
，
，
且，
所以，
所以．
4.（1）解：，
∴>，
∵，，122<123，
∴<，
故答案为：，；
（2）解：∵，，8<9，
∴<．
（3）解：∵，
∴<．
【题型3 利用幂的运算进行简便计算】
1.D
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的运算法则进行巧算．
【详解】解：
．
故选：D．
2.A
【分析】根据积的乘方及幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故选A．
3.-1
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】原式=
故答案为：
4.（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型4 幂的运算中的新定义问题】
1.（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，
2.①②③④
【分析】理解的含义以及运算，再对选项逐个判断即可．
【详解】解：，①正确；
，②正确；
，③正确；
∵，
∴，
∴，④正确；
故答案为：①②③④
3.（1）解：当，时，
，
故答案为：．
（2）解：，，
，，
整理得：，，解得：，，
．
4.（1）解：∵＝16，
∴；
∵＝32，
∴；
故答案为：4，5；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：，
证明：设，，则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）根据之前的探究，可得，
设，，则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型5 整式乘除的计算与化简】
1.2
【分析】先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
故答案为：2．
2.（1）解：设，，
可得，，
，
，即，
则；
（2）解：设，，可得，
，
，
则．
3.解：（1）
；
（2）
；
当，时，
原式．
4.（1）解：
；
（2）∵为有理数，
∴，
∴，
∴．
【题型6 整式混合运算的应用】
1.（1）解：设该三位整数是，
由题意得：，，
∴，
∴，即，解得：，
∴
∴或2，
∴该三位整数是121，282；
（2）解：∵为一个平方和数，
∴，
∵为一个双倍积数，
∴，
∴，，
∴，
∴；
2.（1）解：
=
=（平方米）．
答：花坛的面积是平方米．
（2）当，时，
=
=
=（平方米）
（元）
答：建花坛的总工程费为11500元．
3.C
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可．
【详解】解：由图可得，
，
,
∵，
∴，
即．
故选：C．
4.（1）
；
（2）∵，
∴
；
（3）如图，延长和，交于点H．
∴
．
∵，
∴．
【题型7 整式的乘除中的错解问题】
1.
【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以即可解答．
【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，
正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=．
故答案为．
2.
【分析】将错就错根据=a求出M，代入正确式子计算．
【详解】解：由题意可得：
，
∴，
∴===，
故答案为：．
3.（1）根据题意得：，
，
所以，，
解得：，；
（2）当，时，．
4.（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：，
因为对应的系数相等，故，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：．
因为对应的系数相等，故，，
∴
（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：
，
故，
∴b=-1，
把a=3，b=-1代入，
得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，
故答案为：2x2+5x-3．
【题型8 整式的乘除中的阅读理解类问题】
1.（1）解：设，则，，
；
（2）解： ，
，即，
设，则，
，
；
（3）解：设，则，
，
，
．
2.（1）解：观察可知，展开项中的的项数比二项式乘方的次数多1，展开式中的是按其幂的指数由高到低排列，是按其幂的指数由低到高排列，首项的次数与末项的次数相同，都等于二项式乘方的次数，每一行首末两项的次数都是1，中间各项的系数等于它上一行相邻的两个系数之和，
的展开式共有6项，的第三项的系数是15，
故答案为：6，15；
（2）解：①；
②，
含项的系数是，
故答案为：；
（3）解：，
除了末项为1，其他项均为7的倍数，
若今天是星期五，那么再过天是星期六，
故答案为：六．
3.（1）．
（2）．
（3）设商式为，
则有
．
4.（1）解：∵，，
∴，
∴36和84是友好数对，
故答案为：是．
（2）解：∵一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，
∴交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c，
∴两个数依次表示为，，
∵这两个数是友好数对，
∴，
化简得：，
故答案为：，，，．
（3）解：选A，根据，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，
答案不唯一．
选B，由（2）得：，
∴，
∴，
解得：，
∴两个两位数为：31和39．
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．

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