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第4章《三角形》期末知识点复习题
【题型1 利用三角形的中线求面积】
1.如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（ ）

A．60 B．56 C．70 D．48
2.如图，在中，，，若的面积为4，则四边形的面积为 ．
3.如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为 ．

4.【问题情境】
有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】
（1）如图2，点在的边上，点在上．
①若是的中线，求证：；
②若，则______．
【拓展延伸】
（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．
①求证：；
②若，则______．
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】
1.如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（ ）

A．或 B． C． D．或
2.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是
3.一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x>5 B．x<7 C．24.设表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中，若=2020，则满足此条件的三角形共有 个．
【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】
1.如图，已知点为内任意一点.证明：
（1）.
（2）.
（3）若，，为三个城镇， ，要在内建造供水站向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？
2.已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．
3.如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．
(1)试探究与的大小关系；
(2)试探究与的大小关系；
(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．
4.如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和最小，说明理由
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
1.如图1，在中，平分，平分．
(1)若，则的度数为_________；
(2)若，直线经过点．
①如图2，若MNAB，求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系（用含的代数式表示）．
2.（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系；
（2）如果图2中，，AP与CP分别是和的角平分线，试求的度数；
（3）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
3.，点，分别在、上运动不与点重合．
(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
4.如图，，点A、分别在、上运动（不与点重合）．
(1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．
①若，则______；
②猜想：的度数是否随A，的移动发生变化？并说明理由．
(2)如图，若，，则______；
(3)若将改为（如图3），，，其余条件不变，则______（用含，的代数式表示，其中）．
【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】
1.（1）问题情境：如图1，，，，求的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，的角平分线与的角平分线交于点F，则的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，，点P在射线上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记，，请直接写出与，之间的数量关系．
2.如图，，点P在直线上，作，交于点M，点F是直线上的一个动点，连接，于点E，平分．

(1)若点F在点E左侧且，求的度数；
(2)当点在线段（不与点M，E重合）上时，设，直接写出的度数（用含的代数式表示）；
(3)将射线从（1）中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形．
3.如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．
（1）求的度数（用含的式子表示）；
（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．
4.已知，点是直线上一定点．
(1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点恰好落在射线上，此时，，求的度数；
(2)现将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求的值；
(3)若将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点．
①如图2，当时，________度；
②如图3，当时，________度．
【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】
1.有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．
(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．
(2)当∠A′EB′=∠B′EB时，设∠A′EB′=x．
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．
2.（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；
（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
3.我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在点的位置．
(1)如图1，当点落在边上时，若，则______，可以发现与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点落在外部时，若设的度数为，的度数为，请求出与，之间的数量关系．
4.将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落的位置，折痕为．
(1)当点落在四边形的外部的位置且与点在直线的两侧．
①如图1，若，，求的度数；
②如图2，请写出、和的关系并证明；
(2)如图3，有一张三角形纸片，，，若点是边上的固定点），请在上找一点，将纸片沿折叠，为折痕点落在处，使 与三角形的其中一边平行，求的度数．
【题型7 全等三角形的动态问题】
1.如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
2.如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（ ）
A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16
3.如图，在中，， ， ， ，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为．
（1）如上图，当 时，的面积等于面积的一半；
（2）如图，在中，， ， ，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ．
4.如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒6个单位的速度，沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．与全等， ．
【题型8 全等三角形中的多结论问题】
1.如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如图，中，，，三条角平分线、、交于O，于H．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是 ．（只填写序号）

4.如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【题型9 由全等三角形的判定与性质求最值】
1.如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．
2.如图，在Rt中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点G，若，，则四边形周长的最小值是 ．
3.如图，在四边形中，，，连接，，平分．若是边上一动点，则长的最小值为 ．
4.如图，在直角中，，，，，平分，是上一动点（不与重合），是上一动点（不与重合），则的最小值为 ．
【题型10 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】
1.回答问题
（1）【初步探索】如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是 　 　；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3，仍然满足，请直接写出与的数量关系．
2.已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
3.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
4.如图，在中，，是的平分线，过点作的垂线交延长线于点，若，则的度数是

【题型11 由全等三角形的判定与性质求面积】
1.如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．

2.如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．

3.如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ．
4.已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．

【题型12 尺规作图与全等三角形的综合】
1.如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ．
2.我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
3.综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．

实践操作
（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；
探究发现
（2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由；
探究应用
（3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长．
4.尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．(　　　)
（2）过两点作一条直线．(　　　)
（3）画一条长为3㎝的线段．(　　　)
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(　　　)
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：使
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，____________________；
（4）过点画射线，则．
说理：由作法得已知：
求证：
证明：
(　　　)
所以(　　　)
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线与直线外一点A．
求作：过点A的直线，使得．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
【题型13 三角形的三边关系与全等三角形的综合】
1.中，，过点作．连接为平面内一动点．
(1)如图1，若，则　 　．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．求证：；
(3)如图3，连接，过点作于点，且满足，连接，过点作于点，若，求线段的长度的取值范围．
2.如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图1，若，求线段的长的取值范围；
(3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值．
3.定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
4.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在中，，，求边上的中线的取值范围．
(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长到Q使得；
②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)请写出图1中与的位置关系并证明；
(3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
参考答案
【题型1 利用三角形的中线求面积】
1.A
【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积．
【详解】解：连接、，过点作于点，
设，
，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
同理可得：，
是的中点，
同理可得：，
，
，
同理可得：，
四边形的面积为28，
，
，
，
故选：A．

2.14
【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AF，
∵，的面积为4，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：14．
3.5
【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可．
【详解】解：如图：连接，过点C作于点H，

∵点D、E分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：5．
4.（1）①证明：∵是的中线，
∴，点为的中点，
∴是的中线，
∴，
∴，
即；
②，
解：设边上的高为，
则，，
∵，
∴，
同理，
则，
即，
∴．
（2）①证明：连接，，，如图：

∵点、、、分别为、、、的中点，
∴，，，分别为，，，的中位线，
∴，，，，
∴，
∵，
即；
②15，
解：由①可得，同理可证得，
，
即，
∵，
∴．
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】
1.A
【分析】根据的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：过点作交于点，作点关于的对称点，如图：

∵点到射线的距离为，
∴，
∵垂直平分，
∴，
当，即点在线段上（不含端点）或点在线段上（不含端点），
不能唯一确定；
当时，即点与点重合，
可唯一确定为直角三角形；
当时，即点与点重合或点与点重合，
∵点与点重合时不能构成三角形，故能唯一确定；
当时，即点在点的右侧，故能唯一确定；
综上，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是或．
故选：A．
2.5
【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值．
【详解】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；
因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，
因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，
因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，
S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高，
∴6＞高＞3，
∵是不等边三角形，且高为整数，
∴高的最大值为5，
故答案为：5．
3.D
【详解】如图所示:
AB=5，AC=7，
设BC=2a，AD=x，
延长AD至E，使AD=DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE=2x，BE=AC=7，
在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6．
故选D．
4.2041210
【分析】已知，根据三角形的三边关系求解，首先确定出、三边长取值范围，进而得出各种情况有几个三角形．
【详解】解：，，表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中，如果，则，，
当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2020个三角形；
当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2019个三角形；
当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2018个三角形；
当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有1个三角形；三角形数量是：，
故答案为：2041210．
【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】
1.（1）在中，，①
在中，，②
在中，.③
由，得.
故.
（2），①
同理，，②
.③
由，得，
即.
（3）由，点为内一点，及（1）（2）知
∴
故水管长度应在到之间.
2.解：∵a，b，c 是三角形的三边，
∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，
由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，
由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，
∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）
＝a+3b．
3.（1）解：，理由为：
，
∴
即：
（2），理由为：
在中，，
在中，，
两式相加得：+
即：
（3），理由为：
如图，延长交的延长线于G，交于点F，
在中，，①
在中，，②
中，，③
得：
4.解：H建在、的交点处，理由如下：
连接、相交于点H，任取一点，连接、、、，
在中，，
在中，，
，
，
，
最小，
即维修站H建在、的交点处，才能使它到四口油井的距离之和最小．
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
1.（1）∵ 平分，平分，
∴∠CBD=，∠BCD=，
∴∠CBD+∠BCD=+=，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴180°-∠BDC=，
∴∠BDC=，
∵∠A=60°，
∴∠BDC==120°，
故答案为：120°．
（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴=180°-∠MDC -∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（）
=．
②保持不变，恒等于90°-．理由如下：
∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴=180°-∠MDC -∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（）
=．
故保持不变，且为．
③与的关系是+=．理由如下：
∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，
∵∠BDC=，
∴∠NDC+∠MDB=180°-（）=．
2.解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
且∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D =∠C+∠B；
（2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
，
又∵∠D=40°，∠B=36°，
∴40°+36°=2∠P，
∴∠P=38°；
（3）存在的数量关系为：，
由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
.
3.（1）解：∵、分别是和的平分线，
∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO，
∵，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴，
，
，
，
；
（2）解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC -∠BAD=45°+α -α=45°；
（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴，
，
，
，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°＞90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得，
此时∠ABO=45°；．
④当∠E=3∠F时，得，
此时∠ABO=135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
4.（1）解：①，平分，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故答案为：；
②的度数不随，的移动发生变化，理由如下：
设，
平分，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
的度数不随，的移动发生变化；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】
1.解：（1）过点P作，
如图，∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴．
（2）分别过点P和点F作，，
如图，∵，
∴，
∴，，，，
由（1）得，
∵的角平分线与的角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在上时，如原题图3，和（1）同理可得：；
当点P在延长线上时，如图所示，AP交CD于点E，
∵，
∴，
又∵，
；
当点P在延长线上时，如图所示，CP交AB于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴．
综上所述，当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，．
2.（1）解： ，
．
在中，，
．
平分，
．
，
，
，
．
（2）解：如图，

，
．
在中，，
．
平分，
．
，
，
，
．
（3），
当为直角三角形时，存在两种情况：
情况一：当时，
初始状态时，
旋转过的度数为．
转动的时间为（秒）．
情况二：当时，．
初始状态时，
旋转过的度数为．
转动的时间为（秒）．
综上：当为秒或秒时，为直角三角形．
3.（1）过点作，
，
，
，
．
（2）根据题意，补全图形如下：
猜测，
由（1）可知：，
平分，
，
，
，
，
又平分，
，
，
．
（3）①如图1，
，
由（2）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又平分，
，
；
②如图2，
，（同①）；
若，
则有，
又，
，
，
，
综上所述：或，
故答案是：或．
4.（1）如图1，过点作，
图1
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）依题意可知：，分以下三种情况讨论：
①如图4，当时，与交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得．
②如图5，当时，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得．
③如图6，当时，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得．
综上所述：的值为5或50或65．
（3）依题意可知：，，
∵的角平分线与的角平分线交于点，
∴，，
由（1）的模型可得，
①当时，延长于于G，
∴，
∵，
∴，
解得，
，
故答案为：；
②当时，延长于于G，
∴，
∵，
∴，
解得，
，
故答案为：；
【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】
1.（1）解：∠FEG=90°．
由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．
又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°，
∴∠A′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°；
（2）解：由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．
①（i）如图，当点B′落在∠A′EG内部时，
∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB，
∴∠B′EB=3x．
∴∠AEA′=180° ∠A′EB=180° (∠B′EB+∠A′EB′)=180° 4x，
∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90° 2x，
∴∠FEG=180° ∠BEG ∠AEF=90°+．
（ⅱ）如图2，当点B′落在∠A′EF内部时，
∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB，
∴∠B′EB=3x，
∴∠AEA′=180° ∠A′EB=180° (∠B′EB ∠A′EB′)=180° 2x，
∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90° x．
∴∠FEG=180° ∠BEG ∠AEF=90° ．
综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+；
当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90° ．
②EB′可能平分∠FEG，理由如下：
（i）当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+．
∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=∠FEG=45°+．
又∵∠B′EG=∠BEB′=，
∴45°+=，解得x=36°．
此时∠FEG=90°+=108°．
（ⅱ）当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90° ．
∵EB′平分∠FEG，
∴∠B′EG=∠FEG=45° ．
又∵∠B′EG=∠BEB′=，
∴45° =，
解得x=()°．
此时∠FEG=90° =()°．
综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=108°；
当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=()°．
2.解：（1）由对折性质可知，是角平分线，
∴，
故答案为：．
（2）在中，，，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴，
∵，
，
故答案为：．
（3）①由折叠的性质可知：，，且，
，
②根据折叠的性质及上述知识可知，
．
3.（1），
，
由折叠得：，
，
，
设，
，
由折叠得：，
，
，
∴；
故答案为：，；
（2），，
，，
由折叠得：，，
，
方法二：连接
由①结论可知：，
同理，由①结论可知：，
．
（3），，
，，
由折叠得：，
，
，
与，之间的数量关系：．
方法二：连接，
由①结论可知：，
同理，由①结论可知：，
．
4.（1）由折叠可知，
在中，
在中，
在四边形中，
；
②由折叠可知，
在中，
在中，
在四边形中，
；
（2）解：①当时，如图所示，
∴，
∵由折叠可知， ，，
∵，
∴；
②当，在上方时，如图所示，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
由折叠可知， ，
∴，
∴；
③当，在下方时，如图所示，，
则，
∴，
∴，
由折叠可知， ，
∴，
综上所述， 或或．
【题型7 全等三角形的动态问题】
1.1或或12
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得．
，符合题意；
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
2.D
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．
【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，
∴AE＝24﹣12＝12cm，
∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，
∴AE＝24+12＝36cm，
∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）；
③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝24cm，
∴BE＝24cm，
∴AE＝24+24＝48cm，
∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒），
综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况．
故选D．
3. 或 或或或
【分析】（1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可；
（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：∵的面积等于面积的一半，
∴P点运动到BC的中点，
此时，
当P点运动到AC边上时，
此时，
∴此时P点在AC边的中点，
此时，
综上所述，当或时，的面积等于面积的一半；
（2）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得 ；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得 ；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得 ；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得 ；
∴运动的速度为 或 或 或 ．
故答案为：或或或．
4.或或
【分析】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y，当与全等时，分,或,分别列方程计算即可得解．
【详解】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y，
,
,
∵与全等，
∴，
,或,
，，，有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，
∴，
①当点F由点C到点B，即时，
由得，
解得；，
由得，
解得：（舍去），
②当点F由点C到点B，即时，
由得，
解得：，
由得，
解得：，
综上，或或，
故答案为：或或
【题型8 全等三角形中的多结论问题】
1.B
【分析】先证明，可得，则，故①符合题意；如图，记的交点为，结合，可得，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，可得不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．由全等三角形的对应高相等可得：，证明，可得，则平分，故④符合题意．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①符合题意；
∴，
如图，记的交点为，
∵，
∴，故③符合题意；
∵在上可以是个动点，仍然满足中，，
∴不一定等于，故②不符合题意；
如图，作于，作于．
∵，
∴由全等三角形的对应高相等可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴平分，故④符合题意；
故选B
2.C
【分析】由得，即可求得，可判断①正确；
由，而，可推导出，可判断②正确；
由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误；
在上截取，连接，由得，即要证明，再证明，得，则，所以，即可证明，得，所以，可判断④正确．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故①正确；
∵于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③错误；
如图，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
故④正确，
故选：C．
3.①③④
【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明，利用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解．
【详解】解：∵的角平分线、相交于点O，
∴，，
，
故①正确；
延长交于H，如图所示：

∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故②错误；
∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，
∴，
故④正确；
因此正确的有：①③④．
故答案为：①③④．
4.D
【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵与所交的对顶角相等，
∴与所交角等于，即等于，
∴，故②正确；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故④正确，
∵，
∴．
故③正确．
∵，，，
∴，故⑤正确．
故选：D．
【题型9 由全等三角形的判定与性质求最值】
1.
【分析】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，先证，得，再证，得，进而得出，当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，，然后根据直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，从而得出结果．
【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当，，三点不共线时，；
当，，三点共线时，．
的最小值是的长，
，，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
2.22
【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．
【详解】解：，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，，
∵，，
∴四边形的周长，
∴当最小时，即时四边形的周长有最小值，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴四边形的周长最小值为，
故答案为：22．
3.3
【分析】过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD≌△BED，从而得到DE的长度．
【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，
由题意知在△BAD和△BED中，，
∴△BAD≌△BED，
∴ED=AD=3，
故答案为3．
4.
【分析】在取点E，使，连接，过点C作于点F，证明，可得，即当点C，M，E三点共线时，的值最小，再由点到直线，垂线段最短，可得当点E与点F重合时，的值最小，即的最小值为的长，然后根据，即可求解．
【详解】解：如图，在取点E，使，连接，过点C作于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当点C，M，E三点共线时，的值最小，
∵点到直线，垂线段最短，
∴当点E与点F重合时，的值最小，
即的最小值为的长，
∵，
即，
解得：，即的最小值为．
故答案为：
【题型10 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】
1.解：（1）结论：．
如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）结论：．理由：
如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
2.解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，
∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，
∴∠F＝∠BED，
又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，
即BD＝CF﹣3；
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
②若E在BC延长线上，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；
综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
3.解：（1）如图1，
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）．
如图2，
证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作于M，的延长线于N．
∴，
由（1）和（2）的结论可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴I是的中点．
4.
【分析】延长至点，使，先求得，进而证得，得到，结合即可求得答案．
【详解】如图所示，延长至点，使．

∵，，
∴．
∴．
∵，是的平分线，
∴．
∴，
．
∴．
在和中
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【题型11 由全等三角形的判定与性质求面积】
1.
【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值．
【详解】解：如图：延长，交点于，

平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，
，即；
，
，
当时，取最大值，即取最大值．
．
故答案为：．
2.
【分析】如图，将逆时针旋转到，连接、，则，，，证明，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，将逆时针旋转到，连接、，

∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
3.
【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可得到答案．
【详解】解：连接，过点E作于点，记的交点为，的交点为，
∵，而，
∴，
∴，
故；
又∵， 而，
∴，
∴，
∴，
而，则，
∵，
∴， 而，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：
4.或
【分析】添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解．
【详解】如图，过作于点，

∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，，
则，
如图，过作交延长线于点，

∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，，
则，
故答案为：或．
【题型12 尺规作图与全等三角形的综合】
1.35°
【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【详解】解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知：，
在和中
AH平分
故答案为：．
2.（1）解：如图所示：
（2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，
故答案为：2，；
（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
3.（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于，如图为所求图形：

（2）理由如下：
在和中，
∴．
∴，．
∴．
（3）由（2）得，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴线段的长为9．
4.解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；
（2）过两点作一条直线．可以求作；
（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；
（3）以点C为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D画射线OB，则∠AOB＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝OC，OD＝OD，CD＝CD，
求证：∠AOB＝∠AOB．
证明：在△OCD和△OCD中，
∴△OCD≌△OCD（SSS），
∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
；
[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
．
【题型13 三角形的三边关系与全等三角形的综合】
1.（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴当点，点，点共线时，最大值为，最小值为，
∴．
2.（1），，
，
平分，
，
；
（2）如图1，过点作，交的延长线于，
，，
点为中点，
，
，
，，
在中，，，
，
；
（3）如图2，延长，交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
当时，有最大值，即有最大值，
的最大值．
3.（1）解：，理由如下：
，，
，
即；
（2）证明：平分，
，
在和中，
，
，
；
（3）证明：在上取一点，使，连接交于点，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
同理可证，
，，
，
即，
，
．
4.（1）解：由题意可得：
∵，
∴，
故答案为；
（2），理由如下
延长到Q使，连接
∵是的中线
∴
在和中
∴
∴
∴
（3），，理由如下
在下图中，延长到Q使得，连接
由（2）知，
∴，
∵
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴，
延长交于点
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
综上：，

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