北师大版七年级数学下册 第4章《三角形》期末知识点复习题(含解析)

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北师大版七年级数学下册 第4章《三角形》期末知识点复习题(含解析)

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第4章《三角形》期末知识点复习题
【题型1 利用三角形的中线求面积】
1.如图,在中,,,,若四边形的面积为,则的面积为( )

A.60 B.56 C.70 D.48
2.如图,在中,,,若的面积为4,则四边形的面积为 .
3.如图,点C为直线外一动点,,连接,点D、E分别是的中点,连接交于点F,当四边形的面积为5时,线段长度的最小值为 .

4.【问题情境】
有这样一道题:如图1,是的中线,与的面积有怎样的数量关系?
小旭同学在图1中作边上的高,根据中线的定义可知.又因为高相同,所以,于是.据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.

【深入探究】
(1)如图2,点在的边上,点在上.
①若是的中线,求证:;
②若,则______.
【拓展延伸】
(2)如图3,分别延长四边形的各边,使得点、、、分别为、、、的中点,依次连结、、、得四边形.
①求证:;
②若,则______.
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】
1.如图,,点在上,且,点到射线的距离为,点在射线上,.若的形状,大小是唯一确定的,则的取值范围是( )

A.或 B. C. D.或
2.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数,那么它的长度最大值是
3.一个三角形的两边长分别为5和7,设第三边上的中线长为x,则x的取值范围是( )
A.x>5 B.x<7 C.24.设表示一个三角形三边的长,且他们都是自然数,其中,若=2020,则满足此条件的三角形共有 个.
【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】
1.如图,已知点为内任意一点.证明:
(1).
(2).
(3)若,,为三个城镇, ,要在内建造供水站向三个城镇按如图路线供水,则所需供水管长度应满足什么条件?
2.已知a,b,c是一个三角形的三边长,化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|.
3.如图1,点是内部一点,连接,并延长交于点.
(1)试探究与的大小关系;
(2)试探究与的大小关系;
(3)如图2,点,是内部两点,试探究与的大小关系.
4.如图,草原上有四口油井,位于四边形ABCD的四个顶点上,现在要建立一个维修站H,试问H建在何处,才能使它到四口油井的距离之和最小,说明理由
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
1.如图1,在中,平分,平分.
(1)若,则的度数为_________;
(2)若,直线经过点.
①如图2,若MNAB,求的度数(用含的代数式表示);
②如图3,若绕点旋转,分别交线段于点,试问旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变,求出的度数(用含的代数式表示),若改变,请说明理由;
③如图4,继续旋转直线,与线段交于点,与的延长线交于点,请直接写出与的关系(用含的代数式表示).
2.(1)在图1中,请直接写出之间的数量关系;
(2)如果图2中,,AP与CP分别是和的角平分线,试求的度数;
(3)如果图2中和为任意角,其他条件不变,试问与,之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可).
3.,点,分别在、上运动不与点重合.
(1)如图①,、分别是和的平分线,随着点、点的运动,当AO=BO时 ;
(2)如图②,若是的平分线,的反向延长线与的平分线交于点,随着点,的运动的大小会变吗?如果不会,求的度数;如果会,请说明理由;
(3)如图③,延长至,延长至,已知,的平分线与的平分线及其延长线相交于点、,在中,如果有一个角是另一个角的倍,求的度数.
4.如图,,点A、分别在、上运动(不与点重合).
(1)若是的平分线,的反方向延长线与的平分线交于点.
①若,则______;
②猜想:的度数是否随A,的移动发生变化?并说明理由.
(2)如图,若,,则______;
(3)若将改为(如图3),,,其余条件不变,则______(用含,的代数式表示,其中).
【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】
1.(1)问题情境:如图1,,,,求的度数;
(2)问题迁移:在(1)的条件下,如图2,的角平分线与的角平分线交于点F,则的度数为多少?请说明理由;
(3)问题拓展:如图3,,点P在射线上移动时(点P与点O,M,D三点不重合),记,,请直接写出与,之间的数量关系.
2.如图,,点P在直线上,作,交于点M,点F是直线上的一个动点,连接,于点E,平分.

(1)若点F在点E左侧且,求的度数;
(2)当点在线段(不与点M,E重合)上时,设,直接写出的度数(用含的代数式表示);
(3)将射线从(1)中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置,转动的时间为t秒,求当t为何值时,为直角三角形.
3.如图,,点在直线上,点在直线和之间,,平分.
(1)求的度数(用含的式子表示);
(2)过点作交的延长线于点,作的平分线交于点,请在备用图中补全图形,猜想与的位置关系,并证明;
(3)将(2)中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分,交于点”,其余条件不变,连接,若恰好平分,请直接写出__________(用含的式子表示).
4.已知,点是直线上一定点.
(1)如图1,现有一块含角的直角三角板(,,),将其点固定在直线上,并按图1位置摆放,使,点恰好落在射线上,此时,,求的度数;
(2)现将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转,转到与重合时停止,三角板按图1摆放不动,设旋转时间为秒,在旋转过程中,当与三角板的一边平行时,求的值;
(3)若将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转,同时,将三角板也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点逆时针旋转,在旋转过程中,的角平分线与的角平分线交于点.
①如图2,当时,________度;
②如图3,当时,________度.
【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】
1.有一张正方形纸片ABCD,点E是边AB上一定点,在边AD上取点F,沿着EF折叠,点A落在点A′处,在边BC上取一点G,沿EG折叠,点B落在点B′处.
(1)如图1,当点B落在直线A′E上时,猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由.
(2)当∠A′EB′=∠B′EB时,设∠A′EB′=x.
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数.
②探究EB′是否可能平分∠FEG,若可能,求出此时∠FEG的度数;若不可能,请说明理由.
2.(1)如图,将一张三角形纸片沿着折叠,使点落在边上的处,若,则 ______;
(2)如图,将一张三角形纸片沿着折叠点,分别在边和上,并使得点和点重合,若,则 ______;
(3)如图,将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状,和重合,
①的度数是多少?请说明理由;
②如果,求的度数.
3.我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”.在三角形纸片中,点,分别在边,上,将沿折叠,点落在点的位置.
(1)如图1,当点落在边上时,若,则______,可以发现与的数量关系是 ;
(2)如图2,当点落在内部时,且,,求的度数;
(3)如图3,当点落在外部时,若设的度数为,的度数为,请求出与,之间的数量关系.
4.将一张三角形纸片的一角折叠,使得点落的位置,折痕为.
(1)当点落在四边形的外部的位置且与点在直线的两侧.
①如图1,若,,求的度数;
②如图2,请写出、和的关系并证明;
(2)如图3,有一张三角形纸片,,,若点是边上的固定点),请在上找一点,将纸片沿折叠,为折痕点落在处,使 与三角形的其中一边平行,求的度数.
【题型7 全等三角形的动态问题】
1.如图,中,,,.点P从A点出发沿路径向终点运动,终点为B点;点Q从B点出发沿路径向终点运动,终点为A点.点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过P和Q作于E、作于F,当点P运动 秒时,以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等.
2.如图,CAAB,垂足为点A,AB=24cm,AC=12cm,射线BMAB,垂足为点B,一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E经过 ( ) 秒时,△DEB与△BCA全等.(注:点E与A不重合)( )
A.4 B.4、8 C.4、8、12 D.4、12、16
3.如图,在中,, , , ,现有一动点,从点出发沿着三角形的边运动回到点停止,速度为,设运动时间为.
(1)如上图,当 时,的面积等于面积的一半;
(2)如图,在中,, , ,.在的边上,若另外有一个动点Q,与点P同时从点出发,沿着边运动回到点A停止,在两点运动过程中的某一时刻,恰好与全等,则点Q的运动速度是 .
4.如图,在四边形中,,,,点从点出发,以每秒2个单位的速度沿向点匀速移动,点从点出发,以每秒6个单位的速度,沿做匀速移动,点从点出发沿向点匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,假设移动时间为秒.与全等, .
【题型8 全等三角形中的多结论问题】
1.如图,在和中,,,,,连接,,延长交于点F,连接.下列结论:①;②;③;④平分.其中正确的结论个数有( )个.
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图,中,,,三条角平分线、、交于O,于H.下列结论:①;②;③平分;④.其中正确的结论个数有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,在直角三角形中,,的角平分线、相交于点,过点作交的延长线于点,交于点,下列结论:①;②;③若,,则;④.其中正确的结论是 .(只填写序号)

4.如图,在中,是边上的高,,,.连接,交的延长线于点E,连接,.则下列结论:①;②;③;④;⑤,其中正确的有(  )
A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤
【题型9 由全等三角形的判定与性质求最值】
1.如图,中,,,D,E为边上的两个动点,且,连接,,若,则的最小值为 .
2.如图,在Rt中,,M为的中点,H为上一点,过点C作,交的延长线于点G,若,,则四边形周长的最小值是 .
3.如图,在四边形中,,,连接,,平分.若是边上一动点,则长的最小值为 .
4.如图,在直角中,,,,,平分,是上一动点(不与重合),是上一动点(不与重合),则的最小值为 .
【题型10 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】
1.回答问题
(1)【初步探索】如图1,在四边形中,,E、F分别是上的点,且,探究图中之间的数量关系,小王同学探究此问题的方法是:延长到点G,使,连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论是    ;
(2)【灵活运用】如图2,若在四边形中,,E、F分别是上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)【拓展延伸】已知在四边形中,,若点E在的延长线上,点F在的延长线上,如图3,仍然满足,请直接写出与的数量关系.
2.已知:等边△ABC边长为3,点D、点E分别在射线AB、射线BC上,且BD=CE=a(0<a<3),将直线DE绕点E顺时针旋转60°,得到直线EF交直线AC于点F.
(1)如图1,当点D在线段AB上,点E在线段BC上时,说明BD+CF=3的理由.
(2)如图2,当点D在线段AB上,点E在线段BC的延长线上时,请判断线段BD,CF之间的数量关系并说明理由.
(3)当点D在线段AB延长线上时,线段BD,CF之间的数量关系又如何?请在备用图中画图探究,并直接写出线段BD,CF之间的数量关系.
3.(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知:在中,,,直线l经过点A,直线l,直线l,垂足分别为点D、E.证明:.
(2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在中,,D、A、E三点都在直线l上,并且有,其中α为任意锐角或钝角.请问结论是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,过的边向外作正方形和正方形,是边上的高,延长交于点I,求证:I是的中点.
4.如图,在中,,是的平分线,过点作的垂线交延长线于点,若,则的度数是

【题型11 由全等三角形的判定与性质求面积】
1.如图,中,,,是的角平分线,,则的最大值为 .

2.如图,已知四边形,连接,,,若,则的面积等于 .

3.如图,中,,分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN,四块阴影部分面积分别为、、、,若,则 .
4.已知:中,,,为射线上一动点,连接,在直线右侧作,且.连接交直线于,若,则的值为 .

【题型12 尺规作图与全等三角形的综合】
1.如图,点B在直线l上,分别以线段BA的端点为圆心,以BC(小于线段BA)长为半径画弧,分别交直线l,线段BA于点C,D,E,再以点E为圆心,以CD长为半径画弧交前面的弧于点F,画射线AF.若∠BAF的平分线AH交直线l于点H,∠ABC=70°,则∠AHB的度数为 .
2.我们通过“三角形全等的判定”的学习,可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实,用它可以判定两个三角形全等;而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等.下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”.探究:已知△ABC,求作一个△DEF,使EF=BC,∠F=∠C,DE=AB(即两边和其中一边所对的角分别相等).
(1)动手画图:请依据下面的步骤,用尺规完成作图过程(保留作图痕迹):
①画EF=BC;
②在线段EF的上方画∠F=∠C;
③画DE=AB;
④顺次连接相应顶点得所求三角形.
(2)观察:观察你画的图形,你会发现满足条件的三角形有____个;其中三角形____(填三角形的名称)与△ABC明显不全等;
(3)小结:经历以上探究过程,可得结论:______.
3.综合与实践:在综合实践课上,老师让同学们在已知三角形的基础上,经过画图,探究三角形边之间存在的关系.如图,已知点在的边的延长线上,过点作且,在上截取,再作交线段于点.

实践操作
(1)尺规作图:作出符合上述条件的图形;
探究发现
(2)勤奋小组在作出图形后,发现,,请说明理由;
探究应用
(3)缜密小组在勤奋小组探究的基础上,测得,,求线段的长.
4.尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作,其中用到的主要工具就是直尺和圆规,在数学中,我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形.
尺规作图起源于古希腊的数学课题,只允许使用圆规和直尺,来解决平面几何作图问题.
【作图原理】在两年的数学学习里中,我们认识了尺规作图,并学会用尺规作图完成一些作图问题,请仔细思考回顾,判断以下操作能否通过尺规作图实现,可以实现的画√,不能实现的 画×.
(1)过一点作一条直线.(   )
(2)过两点作一条直线.(   )
(3)画一条长为3㎝的线段.(   )
(4)以一点为圆心,给定线段长为半径作圆.(   )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗?那就是“作一条线段等于已知线段”,接着,我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线,作角平分线,过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关,下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理,请补全过程.
已知:∠AOB.
求作:使
作法:(1)如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线,以点为圆心,OC长为半径画弧,交于点;
(3)以点为圆心,____________________;
(4)过点画射线,则.
说理:由作法得已知:
求证:
证明:
(   )
所以(   )
【小试牛刀】请按照上面的范例,完成尺规作图并说理:过直线外一点作已知直线的平行线.
已知:直线与直线外一点A.
求作:过点A的直线,使得.
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理,下面是一个常见商标的设计示意图.假设你拥有一家书店,请利用你手中的刻度尺和圆规,为你的书店设计一个图案.要求保留作图痕迹,并写出你的设计意图.
【题型13 三角形的三边关系与全等三角形的综合】
1.中,,过点作.连接为平面内一动点.
(1)如图1,若,则   .
(2)如图2,点在上,且于,过点作于,为中点,连接并延长,交于点.求证:;
(3)如图3,连接,过点作于点,且满足,连接,过点作于点,若,求线段的长度的取值范围.
2.如图,在中,,平分,点为中点,与相交于点.
(1)若,,求的度数;
(2)如图1,若,求线段的长的取值范围;
(3)如图2,过点作交延长线于点,设,的面积分别为,,若,试求的最大值.
3.定理:三角形任意两边之和大于第三边.
(1)如图1,线段,交于点,连接,,判断与的大小关系,并说明理由;
(2)如图2,平分,为上任意一点,在,上截取,连接,.求证:;
(3)如图3,在中,,为角平分线上异于端点的一动点,求证:.
4.阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在中,,,求边上的中线的取值范围.
(1)小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):①延长到Q使得;
②再连接,把、、集中在中;③利用三角形的三边关系可得,则的取值范围是___________.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(2)请写出图1中与的位置关系并证明;
(3)思考:已知,如图2,是的中线,,,,试探究线段与的数量和位置关系,并加以证明.
参考答案
【题型1 利用三角形的中线求面积】
1.A
【分析】连接、,过点作于点,设,根据同高的三角形的面积的比等于底边的比,分别得到、、、、、,再根据四边形的面积,求出,即可得出的面积.
【详解】解:连接、,过点作于点,
设,
,,,



同理可得:,




同理可得:,
是的中点,
同理可得:,


同理可得:,
四边形的面积为28,



故选:A.

2.14
【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题.
【详解】解:如图,连接AF,
∵,的面积为4,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,解得,
∴,
∴.
故答案为:14.
3.5
【分析】如图:连接,过点C作于点H,根据三角形中线的性质求得,从而求得,利用垂线段最短求解即可.
【详解】解:如图:连接,过点C作于点H,

∵点D、E分别是的中点,
∴,,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵点到直线的距离垂线段最短,
∴,
∴的最小值为.
故答案为:5.
4.(1)①证明:∵是的中线,
∴,点为的中点,
∴是的中线,
∴,
∴,
即;
②,
解:设边上的高为,
则,,
∵,
∴,
同理,
则,
即,
∴.
(2)①证明:连接,,,如图:

∵点、、、分别为、、、的中点,
∴,,,分别为,,,的中位线,
∴,,,,
∴,
∵,
即;
②15,
解:由①可得,同理可证得,

即,
∵,
∴.
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】
1.A
【分析】根据的形状,大小是唯一确定的,结合三角形的三边关系进行分析即可.
【详解】解:过点作交于点,作点关于的对称点,如图:

∵点到射线的距离为,
∴,
∵垂直平分,
∴,
当,即点在线段上(不含端点)或点在线段上(不含端点),
不能唯一确定;
当时,即点与点重合,
可唯一确定为直角三角形;
当时,即点与点重合或点与点重合,
∵点与点重合时不能构成三角形,故能唯一确定;
当时,即点在点的右侧,故能唯一确定;
综上,若的形状,大小是唯一确定的,则的取值范围是或.
故选:A.
2.5
【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值.
【详解】解:因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12,根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x,x;
因为 3x×4=12×x(2倍的面积),面积S=6x,
因为知道两条边的假设长度,根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可得:2x<第三边长度<4x,
因为要求高的最大长度,所以当第三边最短时,在第三边上的高就越长,
S=×第三边的长×高,6x>×2x×高,6x<×4x×高,
∴6>高>3,
∵是不等边三角形,且高为整数,
∴高的最大值为5,
故答案为:5.
3.D
【详解】如图所示:
AB=5,AC=7,
设BC=2a,AD=x,
延长AD至E,使AD=DE,
在△BDE与△CDA中,
∵AD=DE,BD=CD,∠ADC=∠BDE,
∴△BDE≌△CDA,
∴AE=2x,BE=AC=7,
在△ABE中,BE-AB<AE<AB+BE,即7-5<2x<7+5,
∴1<x<6.
故选D.
4.2041210
【分析】已知,根据三角形的三边关系求解,首先确定出、三边长取值范围,进而得出各种情况有几个三角形.
【详解】解:,,表示一个三角形三边的长,且它们都是自然数,其中,如果,则,,
当时,根据两边之和大于第三边,则的取值范围为,有2020个三角形;
当时,根据两边之和大于第三边,则的取值范围为,有2019个三角形;
当时,根据两边之和大于第三边,则的取值范围为,有2018个三角形;
当时,根据两边之和大于第三边,则的取值范围为,有1个三角形;三角形数量是:,
故答案为:2041210.
【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】
1.(1)在中,,①
在中,,②
在中,.③
由,得.
故.
(2),①
同理,,②
.③
由,得,
即.
(3)由,点为内一点,及(1)(2)知

故水管长度应在到之间.
2.解:∵a,b,c 是三角形的三边,
∴由a+b﹣c>0得2a+b﹣c>0,
由b﹣(a+c)<0得b﹣2a﹣c<0,
由﹣a﹣b﹣c<0得﹣a﹣b﹣2c<0,
∴原式=(2a+b﹣c)+(b﹣2a﹣c)+(a+b+2c)
=a+3b.
3.(1)解:,理由为:


即:
(2),理由为:
在中,,
在中,,
两式相加得:+
即:
(3),理由为:
如图,延长交的延长线于G,交于点F,
在中,,①
在中,,②
中,,③
得:
4.解:H建在、的交点处,理由如下:
连接、相交于点H,任取一点,连接、、、,
在中,,
在中,,



最小,
即维修站H建在、的交点处,才能使它到四口油井的距离之和最小.
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
1.(1)∵ 平分,平分,
∴∠CBD=,∠BCD=,
∴∠CBD+∠BCD=+=,
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°,∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴180°-∠BDC=,
∴∠BDC=,
∵∠A=60°,
∴∠BDC==120°,
故答案为:120°.
(2)①∵∠NDC=180°-∠MDC,
∴=180°-∠MDC -∠MDB
=180°-(∠MDC+∠MDB)
=180°-∠BDC
=180°-()
=.
②保持不变,恒等于90°-.理由如下:
∵∠NDC=180°-∠MDC,
∴=180°-∠MDC -∠MDB
=180°-(∠MDC+∠MDB)
=180°-∠BDC
=180°-()
=.
故保持不变,且为.
③与的关系是+=.理由如下:
∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°,
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC,
∵∠BDC=,
∴∠NDC+∠MDB=180°-()=.
2.解:(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,
且∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D =∠C+∠B;
(2)由(1)可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①,∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②,
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P,
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
①+②得:∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,

又∵∠D=40°,∠B=36°,
∴40°+36°=2∠P,
∴∠P=38°;
(3)存在的数量关系为:,
由(1)可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①,∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②,
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P,
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
①+②得:∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,
.
3.(1)解:∵、分别是和的平分线,
∴∠EBA=∠OBA,∠BAE=∠BAO,
∵,
∴∠EAB+EBA=90°,
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°,
∴,




(2)解: ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化,设∠BAD=α,
∵AD平分∠BAO,
∴∠BAO=2α,
∵∠AOB=90°,
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α,
∵BC平分∠ABN,
∴∠ABC=45°+α,
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD,
∴∠D=∠ABC -∠BAD=45°+α -α=45°;
(3)解:∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E,
∴∠AOE=135°,
∴,



∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线,
∴,
在△AEF中,若有一个角是另一个角的3倍,
则①当∠EAF=3∠E时,得∠E=30°,此时∠ABO=60°;
②当∠EAF=3∠F时,得∠E=60°,
此时∠ABO=120°>90°,舍去;
③当∠F=3∠E时,得,
此时∠ABO=45°;.
④当∠E=3∠F时,得,
此时∠ABO=135°>90°,舍去.
综上可知,∠ABO的度数为60°或45°.
4.(1)解:①,平分,




是的平分线,




故答案为:;
②的度数不随,的移动发生变化,理由如下:
设,
平分,




是的平分线,




的度数不随,的移动发生变化;
(2)解:设,












故答案为:;
(3)解:设,












故答案为:.
【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】
1.解:(1)过点P作,
如图,∵,
∴,
∴,,
∵,,
∴,

∴.
(2)分别过点P和点F作,,
如图,∵,
∴,
∴,,,,
由(1)得,
∵的角平分线与的角平分线交于点F,
∴,
∴,
∴.
(3)当点P在上时,如原题图3,和(1)同理可得:;
当点P在延长线上时,如图所示,AP交CD于点E,
∵,
∴,
又∵,

当点P在延长线上时,如图所示,CP交AB于点F,
∵,
∴,
又∵,
∴.
综上所述,当点P在上时,;当点P在延长线上时,;当点P在延长线上时,.
2.(1)解: ,

在中,,

平分,





(2)解:如图,



在中,,

平分,





(3),
当为直角三角形时,存在两种情况:
情况一:当时,
初始状态时,
旋转过的度数为.
转动的时间为(秒).
情况二:当时,.
初始状态时,
旋转过的度数为.
转动的时间为(秒).
综上:当为秒或秒时,为直角三角形.
3.(1)过点作,




(2)根据题意,补全图形如下:
猜测,
由(1)可知:,
平分,




又平分,



(3)①如图1,

由(2)可知:,









又平分,


②如图2,
,(同①);
若,
则有,
又,



综上所述:或,
故答案是:或.
4.(1)如图1,过点作,
图1
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
(2)依题意可知:,分以下三种情况讨论:
①如图4,当时,与交于点,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,解得.
②如图5,当时,与交于点,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,解得.
③如图6,当时,与交于点,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,解得.
综上所述:的值为5或50或65.
(3)依题意可知:,,
∵的角平分线与的角平分线交于点,
∴,,
由(1)的模型可得,
①当时,延长于于G,
∴,
∵,
∴,
解得,

故答案为:;
②当时,延长于于G,
∴,
∵,
∴,
解得,

故答案为:;
【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】
1.(1)解:∠FEG=90°.
由折叠可知∠AEF=∠A′EF,∠BEG=∠B′EG.
又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°,
∴∠A′EF+∠B′EG=90°,∠FEG=90°;
(2)解:由折叠可知∠AEF=∠A′EF,∠BEG=∠B′EG.
①(i)如图,当点B′落在∠A′EG内部时,
∵∠A′EB′=x,∠A′EB′=∠B′EB,
∴∠B′EB=3x.
∴∠AEA′=180° ∠A′EB=180° (∠B′EB+∠A′EB′)=180° 4x,
∴∠BEG=∠BEB′=,∠AEF=∠AEA′=90° 2x,
∴∠FEG=180° ∠BEG ∠AEF=90°+.
(ⅱ)如图2,当点B′落在∠A′EF内部时,
∵∠A′EB′=x,∠A′EB′=∠B′EB,
∴∠B′EB=3x,
∴∠AEA′=180° ∠A′EB=180° (∠B′EB ∠A′EB′)=180° 2x,
∴∠BEG=∠BEB′=,∠AEF=∠AEA′=90° x.
∴∠FEG=180° ∠BEG ∠AEF=90° .
综上所述,当点B′落在∠A′EG内部时,∠FEG=90°+;
当点B′落在∠A′EF内部时,∠FEG=90° .
②EB′可能平分∠FEG,理由如下:
(i)当点B′落在∠A′EG内部时,∠FEG=90°+.
∵EB′平分∠FEG,∴∠B′EG=∠FEG=45°+.
又∵∠B′EG=∠BEB′=,
∴45°+=,解得x=36°.
此时∠FEG=90°+=108°.
(ⅱ)当点B′落在∠A′EF内部时,∠FEG=90° .
∵EB′平分∠FEG,
∴∠B′EG=∠FEG=45° .
又∵∠B′EG=∠BEB′=,
∴45° =,
解得x=()°.
此时∠FEG=90° =()°.
综上所述,当点B′落在∠A′EG内部时,∠FEG=108°;
当点B′落在∠A′EF内部时,∠FEG=()°.
2.解:(1)由对折性质可知,是角平分线,
∴,
故答案为:.
(2)在中,,,
∴,
根据折叠的性质得,,
∴,
∵,

故答案为:.
(3)①由折叠的性质可知:,,且,

②根据折叠的性质及上述知识可知,

3.(1),

由折叠得:,


设,

由折叠得:,


∴;
故答案为:,;
(2),,
,,
由折叠得:,,

方法二:连接
由①结论可知:,
同理,由①结论可知:,

(3),,
,,
由折叠得:,


与,之间的数量关系:.
方法二:连接,
由①结论可知:,
同理,由①结论可知:,

4.(1)由折叠可知,
在中,
在中,
在四边形中,

②由折叠可知,
在中,
在中,
在四边形中,

(2)解:①当时,如图所示,
∴,
∵由折叠可知, ,,
∵,
∴;
②当,在上方时,如图所示,
∵,
∴,
由(1)可得,
∴,
由折叠可知, ,
∴,
∴;
③当,在下方时,如图所示,,
则,
∴,
∴,
由折叠可知, ,
∴,
综上所述, 或或.
【题型7 全等三角形的动态问题】
1.1或或12
【分析】根据题意分为五种情况,根据全等三角形的性质得出,代入得出关于t的方程,解方程即可.
【详解】解:设点运动秒时,以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等,分为五种情况:
①如图1,P在上,Q在上,则,,
,,


,,



即,

②如图2,P在上,Q在上,则,,
由①知:,


因为此时,所以此种情况不符合题意;
③当P、Q都在上时,如图3,


④当Q到A点停止,P在上时,如图4,,时,解得.
,符合题意;
⑤因为P的速度是每秒1,Q的速度是每秒3, P和Q都在上的情况不存在;
综上,点P运动1或或12秒时,以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等.
故答案为:1或或12.
2.D
【分析】首先分两种情况:当E在线段AB上和当E在BN上,然后再分成两种情况:AC=BE和AB=EB,分别进行计算,即可得出结果.
【详解】解:①当E在线段AB上,AC=BE时,△ACB≌△BED,
∵AC=12cm,
∴BE=12cm,
∴AE=24﹣12=12cm,
∴点E的运动时间为12÷3=4(秒);
②当E在BN上,AC=BE时,△ACB≌△BED,
∵AC=12cm,
∴BE=12cm,
∴AE=24+12=36cm,
∴点E的运动时间为36÷3=12(秒);
③当E在BN上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,
∵AB=24cm,
∴BE=24cm,
∴AE=24+24=48cm,
∴点E的运动时间为48÷3=16(秒),
综上所述t的值为: 4,12,16.共3种情况.
故选D.
3. 或 或或或
【分析】(1)根据三角形中线的性质,分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可;
(2)根据题意分四种情况进行分析,利用全等三角形的性质得出点所走的路程,进而可求出的运动时间,即的运动时间,再利用速度=路程÷时间求解即可.
【详解】解:∵的面积等于面积的一半,
∴P点运动到BC的中点,
此时,
当P点运动到AC边上时,
此时,
∴此时P点在AC边的中点,
此时,
综上所述,当或时,的面积等于面积的一半;
(2)设点的运动速度为,
①当点在上,点在上,时,


解得 ;
②当点在上,点在上,时,

∴,
解得 ;
③当点P在上,点在上,时,

∴点P的路程为,点Q的路程为,

解得 ;
④当点P在上,点Q在上,时

∴点P的路程为,点Q的路程为,

解得 ;
∴运动的速度为 或 或 或 .
故答案为:或或或.
4.或或
【分析】设点E的移动时间为t,点G的运行距离为y,当与全等时,分,或,分别列方程计算即可得解.
【详解】设点E的移动时间为t,点G的运行距离为y,
,
,
∵与全等,
∴,
,或,
,,,有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,
∴,
①当点F由点C到点B,即时,
由得,
解得;,
由得,
解得:(舍去),
②当点F由点C到点B,即时,
由得,
解得:,
由得,
解得:,
综上,或或,
故答案为:或或
【题型8 全等三角形中的多结论问题】
1.B
【分析】先证明,可得,则,故①符合题意;如图,记的交点为,结合,可得,故③符合题意;在上可以是个动点,仍然满足中,,可得不一定等于,故②不符合题意;如图,作于,作于.由全等三角形的对应高相等可得:,证明,可得,则平分,故④符合题意.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,故①符合题意;
∴,
如图,记的交点为,
∵,
∴,故③符合题意;
∵在上可以是个动点,仍然满足中,,
∴不一定等于,故②不符合题意;
如图,作于,作于.
∵,
∴由全等三角形的对应高相等可得:,
∵,,
∴,
∴,
∴平分,故④符合题意;
故选B
2.C
【分析】由得,即可求得,可判断①正确;
由,而,可推导出,可判断②正确;
由,得,再由推导出,即可证明,可判断③错误;
在上截取,连接,由得,即要证明,再证明,得,则,所以,即可证明,得,所以,可判断④正确.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
故①正确;
∵于H,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
故②正确;
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
故③错误;
如图,在上截取,连接,
∵,,
∴,
∵,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∵,
故④正确,
故选:C.
3.①③④
【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确;延长交于H,通过证明,,利用全等的性质来判断③是否正确;通过证明,利用性质判断②是否正确;根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比,直接判断④是否正确,从而得解.
【详解】解:∵的角平分线、相交于点O,
∴,,

故①正确;
延长交于H,如图所示:

∴,
又∵,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
故③正确;
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
又∵,,
∴,
∴,
∴,
故②错误;
∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比,
∴,
故④正确;
因此正确的有:①③④.
故答案为:①③④.
4.D
【分析】先证得,从而推得①正确;利用及三角形内角和与对顶角,可判断②正确;证明,得出,同理,得出,,则,证明,得出.则可得出④正确,由可得出结论③正确,根据全等三角形的性质即可得到⑤正确.
【详解】解:∵,
∴,即,
又∵,
∴,
∴,故①正确;
∵,
∴,
又∵与所交的对顶角相等,
∴与所交角等于,即等于,
∴,故②正确;
过点F作于点M,过点G作交的延长线于点N,
∵,
∴,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
同理,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
故④正确,
∵,
∴.
故③正确.
∵,,,
∴,故⑤正确.
故选:D.
【题型9 由全等三角形的判定与性质求最值】
1.
【分析】过点,分别作的垂线和的垂线交于点,连接,,先证,得,再证,得,进而得出,当,,三点不共线时,;当,,三点共线时,,然后根据直角三角形中,的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值,从而得出结果.
【详解】过点,分别作的垂线和的垂线交于点,连接,,
,,

,,

,,






当,,三点不共线时,;
当,,三点共线时,.
的最小值是的长,
,,




的最小值是.
故答案为:.
2.22
【分析】通过证明可得,可得四边形的周长即为,进而可确定当时,四边形的周长有最小值,通过证明四边形为矩形可得的长,进而可求解.
【详解】解:,
∴,
∵M是的中点,
∴,
在和中,

∴(ASA),
∴,,
∵,,
∴四边形的周长,
∴当最小时,即时四边形的周长有最小值,
∵,,
∴,
∴四边形为矩形,
∴,
∴四边形的周长最小值为,
故答案为:22.
3.3
【分析】过D作DE⊥BC于E,DE即为DP 长的最小值,由题意可以得到△BAD≌△BED,从而得到DE的长度.
【详解】解:如图,过D作DE⊥BC于E,DE即为DP 长的最小值,
由题意知在△BAD和△BED中,,
∴△BAD≌△BED,
∴ED=AD=3,
故答案为3.
4.
【分析】在取点E,使,连接,过点C作于点F,证明,可得,即当点C,M,E三点共线时,的值最小,再由点到直线,垂线段最短,可得当点E与点F重合时,的值最小,即的最小值为的长,然后根据,即可求解.
【详解】解:如图,在取点E,使,连接,过点C作于点F,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
即当点C,M,E三点共线时,的值最小,
∵点到直线,垂线段最短,
∴当点E与点F重合时,的值最小,
即的最小值为的长,
∵,
即,
解得:,即的最小值为.
故答案为:
【题型10 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】
1.解:(1)结论:.
如图1,延长到点G,使,连接,
在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
在和中,

∴,
∴.
故答案为:;
(2)仍成立,理由:
如图2,延长到点G,使,连接,
∵,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
在和中,

∴,
∴;
(3)结论:.理由:
如图3,在延长线上取一点G,使得,连接,
∵,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∴.
2.解:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°=∠B,
∴∠BDE=∠FEC,
又∵BD=CE,
∴△DBE≌△ECF(AAS),
∴CF=BE,
∴BD+CF=CE+BE=BC=3;
(2)如下图,设G点在FE的延长线,AF与DE交点为H,
∴∠DEG=∠F+∠FHE=60°,∠BCA=∠FHE+∠BED=60°,
∴∠F=∠BED,
又∵∠B=∠FCE=60°,CE=BD,
∴△DBE≌△ECF(AAS),
∴CF=BE,
∴BD=CE=BE﹣BC=CF﹣BC,
即BD=CF﹣3;
(3)①若E在线段BC上,设DE延长线交AC于点I,
∵∠ABC=∠BDE+∠BED=60°,∠IEF=∠IEC+∠CEF=60°,∠BED=∠IEC,
∴∠BDE=∠CEF,
又∵∠DBE=∠ECF=120°,CE=BD,
∴△DBE≌△ECF(AAS),
∴CF=BE,
∴BD+CF=CE+BE=BC=3;
②若E在BC延长线上,
∵∠ABC=∠BDE+∠BED=60°,∠FED=∠FEC+∠BED=60°,
∴∠BDE=∠FEC,
又∵∠DBE=∠FCE=120°,BD=CE,
∴△DBE≌△ECF(AAS),
∴CF=BE,
∴CF﹣BD=BE﹣CE=BC=3;
综上,若E在线段BC上,BD+CF=3;若E在BC延长线上,CF﹣BD=3.
3.解:(1)如图1,
∵直线l,直线l,
∴,
∵,

∵,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∴;
(2).
如图2,
证明如下:
∵,
∴,
∴,
在和中.

∴,
∴,
∴;
(3)证明:过E作于M,的延长线于N.
∴,
由(1)和(2)的结论可知,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∴I是的中点.
4.
【分析】延长至点,使,先求得,进而证得,得到,结合即可求得答案.
【详解】如图所示,延长至点,使.

∵,,
∴.
∴.
∵,是的平分线,
∴.
∴,

∴.
在和中
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
故答案为:.
【题型11 由全等三角形的判定与性质求面积】
1.
【分析】延长,交点于,可证,得出,,则,当时,取最大值,即取最大值.
【详解】解:如图:延长,交点于,

平分,



在和中,


,;

,即;


当时,取最大值,即取最大值.

故答案为:.
2.
【分析】如图,将逆时针旋转到,连接、,则,,,证明,根据,计算求解即可.
【详解】解:如图,将逆时针旋转到,连接、,

∴,,
∴,
∴,即,
∵,,,
∴,
∴,
故答案为:.
3.
【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积,通过三角形全等即可转化为,即可得到答案.
【详解】解:连接,过点E作于点,记的交点为,的交点为,
∵,而,
∴,
∴,
故;
又∵, 而,
∴,
∴,
∴,
而,则,
∵,
∴, 而,
∴,
同理可证,
∴,
∵,
∴,

故答案为:
4.或
【分析】添加辅助线,构造全等三角形,根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系,最后进行分类讨论即可求解.
【详解】如图,过作于点,

∴,
∴,
∵,
∴,即:,
∴,
在和中,

∴,
∴,,
∴,
∴,
设,则,
∴,,
∴,
∴,,
则,
如图,过作交延长线于点,

∴,
∴,
∵,
∴,即:,
∴,
在和中,

∴,
∴,,
∴,
在和中,

∴,
∴,
设,则,
∴,,
∴,
∴,,
则,
故答案为:或.
【题型12 尺规作图与全等三角形的综合】
1.35°
【分析】连接CD,EF.由题目中尺规作图可知:,.可证,所以,可得.所以.由于AH平分,所以.即:.
【详解】解:连接CD,EF
由题目中尺规作图可知:,
在和中
AH平分
故答案为:.
2.(1)解:如图所示:
(2)观察所画的图形,发现满足条件的三角形有2个;其中三角形(填三角形的名称)与△ABC明显不全等,
故答案为:2,;
(3)经历以上探究过程,可得结论:两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,
故答案为:两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等.
3.(1)以为圆心,任意为半径画弧,交于 ,以为圆心,同等长为半径画弧,交于,以为圆心,为半径,与前弧交于,连接并延长至,以为圆心,长为半径,与交于,以为圆心,任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心,同等长为半径,交于,以为圆心,长为半径交前弧于,连接并延长交于,如图为所求图形:

(2)理由如下:
在和中,
∴.
∴,.
∴.
(3)由(2)得,.
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴线段的长为9.
4.解:[作图原理]:(1)过一点作一条直线.可以求作;
(2)过两点作一条直线.可以求作;
(3)画一条长为3cm的线段.不可以求作;
(4)以一点为圆心,给定线段长为半径作圆.可以求作;
故答案为:√,√,×,√;
[回顾思考]:作法:(1)如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线OA,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交OA于点C;
(3)以点C为圆心,以C′为圆心,CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′;
(4)过点D画射线OB,则∠AOB=∠AOB.
说理:由作法得已知:OC=OC,OD=OD,CD=CD,
求证:∠AOB=∠AOB.
证明:在△OCD和△OCD中,
∴△OCD≌△OCD(SSS),
∴∠AOB=∠AOB(全等三角形的对应角相等),
故答案为:以C′为圆心,CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′,SSS,全等三角形的对应角相等;
[小试牛刀]:如图,直线l′即为所求(方法不唯一),

[创新应用]:如图所示(答案不唯一),设计意图:书架中隐藏着无限宝藏,

【题型13 三角形的三边关系与全等三角形的综合】
1.(1)解:∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
故答案为:;
(2)∵,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵为中点,
∴,
又∵,
在和中,

∴,
∴,
∴,
∴;
(3)连接,如图,
∵,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∴.
∴当点,点,点共线时,最大值为,最小值为,
∴.
2.(1),,

平分,


(2)如图1,过点作,交的延长线于,
,,
点为中点,


,,
在中,,,


(3)如图2,延长,交于点,
,,,

,,




当时,有最大值,即有最大值,
的最大值.
3.(1)解:,理由如下:
,,

即;
(2)证明:平分,

在和中,



(3)证明:在上取一点,使,连接交于点,
是的角平分线,

在和中,



同理可证,
,,

即,


4.(1)解:由题意可得:
∵,
∴,
故答案为;
(2),理由如下
延长到Q使,连接
∵是的中线

在和中



(3),,理由如下
在下图中,延长到Q使得,连接
由(2)知,
∴,


在中,





在和中

∴,
延长交于点









综上:,

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