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1.5《正弦函数和余弦函数的图像及性质》同步练习
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数图象的一条对称轴为直线，一个周期为，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
3.已知函数是奇函数，则实数( )
A. B. C. D.
4.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
5.函数的周期是( )
A. B. C. D.
6.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
7.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
8.命题：函数的图象关于直线对称；命题：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列说法错误的是( )
A. 为奇函数
B. 曲线的对称中心为
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上有一条对称轴
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.已知函数，下面四个结论中错误的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
D. 函数是奇函数
12.如图是函数的部分图象，则( )
A. 最小正周期
B.
C. 的对称中心是
D. 的图象向右平移个单位，得到函数的图象
13.已知函数，则下列结论一定正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的值域是
C. 的最小正周期为 D. 不是中心对称函数
14.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减
D. 若在区间上单调递增，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
15.函数，若为奇函数，则等于______．
16.若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为________．
17.已知函数若函数图像上的一个对称中心到对称轴距离的最小值为，则的值为__________
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知函数．
求函的最小正周期和单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
19.本小题分
已知
求函数的最小正周期；
求函数在上的单调区间．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
求函数在区间上的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的对称性和周期性，属于基础题．
根据各项解析式，结合正余弦型函数的性质，将 代入验证，应用排除法即可判断．
【解答】解：由 ，显然 不是对称轴，排除；
由可知周期为，故排除；
由 ，显然 不是对称轴，排除；
，即 是对称轴，最小正周期 ，满足题设．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，故．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数为奇函数的性质，可进行求解．
【解答】
解：由题知为奇函数，所以得：，
即：，解之得：，故 D项正确．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．根据三角函数的周期公式即可得到结论．
【解答】
解：函数
函数的最小正周期，
故选D．
5.【答案】
【解析】解：，所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：最小正周期为：，故选：．
7.【答案】
【解析】解：函数的最小正周期为．
故选：
8.【答案】
【解析】解：因为函数的图象关于直线对称，
则有，，
解得：，，
，．
当时，命题命题，
当时，命题命题，
所以是的必要不充分条件．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
令，，求得， ，
即的对称中心为，
当时，，
可得函数图象的一个对称中心 ．
故选A．
10.【答案】
【解析】解：由题意，，
对于，由于，为奇函数，故正确；
对于，令，，解得，，可得的对称中心为，故正确；
对于，由于，可得，由正弦函数的性质可得在区间上先单调递增，后单调递减，故错误；
对于，由于，可得，由正弦函数的性质可得在区间上有一条对称轴，故正确．
故选：．
化简函数解析式可得，对于，可得，利用正弦函数的奇偶性即可求解；对于，利用正弦函数的对称性即可求解；对于，利用正弦函数的单调性即可求解；对于，利用正弦函数的对称性即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的性质，图象变换，属于基础题．
根据余弦型函数的性质逐一判断即可．
【解答】
解：，其最小正周期，A错误
又，既不是最大值，也不是最小值，故B错误
将的图象向右平移个单位得到函数的图象，C错误
，函数是奇函数，故D正确，
故选ABC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦型的图象与性质，属于基础题．
由题意可得，故可得，根据可求，从而可求的解析式，再逐项分析即可．
【解答】
解：最小正周期，故A错误；
故，
，
所以，解得．
因为，所以，
所以，故B正确；
由图可得为的一个对称中心，且，
所以的对称中心是，故C错误；
的图象向右平移个单位，得，故D正确．
故选BD．
13.【答案】
【解析】解：由，
可知为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，所以项正确；
因为，
所以函数的最小正周期是，可知项错误；
根据周期性，可知在上的值域就是在上的值域，
当时，，
函数的最小值为，最大值为，值域为，
所以在上的值域为，可知项正确；
，
函数是定义在上的偶函数，值域为，图象没有对称中心，
所以的图象没有对称中心，可知项正确．
故选：．
根据诱导公式与函数的奇偶性判断出项的正误；求出函数在上的值域，即可判断出项的正误；根据函数的周期公式，结合诱导公式判断出的最小正周期为，可得项的正误；将函数转化为，可知图象没有对称中心，进而判断出项的正误．
本题主要考查三角函数的周期性、函数的奇偶性与对称性、复合函数的值域与最值等知识，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，解得，
根据周期公式可得，解得，
所以函数，
又，所以，解得，
又，所以，所以，故A正确；
当时，，此时取得最大值，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，
由于在上的单调性和在上的单调性相同，
且在上不单调，故在上不单调，故C错误；
若在区间上单调递增，
令，解得，
则的最大值为，故D正确．
故选：．
由图象确定函数最小正周期可求出，结合函数最值求出，判断；代入验证可判断；结合正弦函数的单调性可判断；
本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，
所以由正弦函数的图象与性质知，，
即，又，所以．
故答案为：．
若为奇函数，则，所以本题只需令，求解即可．
本题主要考查正弦函数的奇偶性和对称性，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，是函数两个相邻的零点，
所以，
解得．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数的性质的应用，属基础题．
根据三角函数的性质可知，函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，结合已知可求，根据周期公式可求．
【解答】
解：根据三角函数的性质可知，函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，
即 ，则有，所以，
故答案为．
18.【答案】解：
，的周期，
由，
得，
的单调增区间为；
函数的图象向右平移个单位后，得
，
，，
，
，
的值域为：．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论；
根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．
19.【答案】；
在上的单调增区间为，减区间为
【解析】，其周期；
，
当时，，
当时，，
故函数在上的单调增区间为，减区间为
利用正弦函数的周期公式求解即可；
由正弦函数的单调性可求得上的单调区间．
本题考查正弦函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．
20.【答案】解：，
所以，函数的最小正周期为，
由得，
故函数的单调递增区间为．
解：当时，，，所以，，
即函数在区间上的值域为．

【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，辅助角公式和函数的图象与性质，属于基础题
运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；
由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．

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