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1.6《函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质》同步练习
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数学史上，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作若函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为( )
A. B. C. D.
2.将函数图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为( )
A. B. C. D.
3.要得到函数的图象，只需要将函数的图象 ( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.要得到函数的图像，只需把函数的图像( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是( )
A. B. C. D.
6.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
7.已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是( )
A. 振幅是，初相是 B. 振幅是，初相是
C. 振幅是，初相是 D. 振幅是，初相是
8.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
9.为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点( )
A. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度
B. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度
C. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知函数，下面四个结论中错误的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
D. 函数是奇函数
11.如图是函数的部分图象，则( )
A. 最小正周期
B.
C. 的对称中心是
D. 的图象向右平移个单位，得到函数的图象
12.有以下四种变换方式，其中能将的图象变换成函数的图象的是( )
A. 先向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍
B. 先向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍
C. 先将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度
D. 先将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
13.已知函数在区间内有最大值，没有最小值，则可能的值是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
14.已知函数的部分图象如图，则函数的单调递增区间为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函的最小正周期和单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
16.本小题分
已知函数，．
若，，求函数的解析式及对称轴；
若，，且，求的值；
已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围以及的值．
17.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求函数的解析式；
求函数在上的单调递增区间；
求函数在区间上的值域．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中，且函数的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为．
求的解析式；
求在区间上的值域．
20.本小题分
已知函数，对，有．
求的值及函数的解析式；
若，时，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：化简，
利用辅助角公式，，
将向右平移个单位，得，
因为在上单调递减，余弦函数的单调递减区间为，
取，则需满足：，
代入，计算区间端点：当，对应角度为，当，对应角度为，
因此，，解得．
故选：．
根据三角函数的性质即可求解．
本题考查了三角函数的性质，属于中档题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．
直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
【解答】
解：函数的图象上每个点的横坐标变为原来的 纵坐标不变，
得到：，
再将得到的图象向右平移 个单位长度，
得到： ，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的化简与图象平移的应用问题，是基础题．
根据函数图象平移法则，即可得出结论．化函数，函数．
【解答】
解：由函数，
且函数；
为得到函数的图象，
只需要将函数的图象向左平移个单位长度．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：依题意，目标函数可转化为，故只需将向左平移个单位．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为，
将函数的图象向左平移个单位后得到函数，
所以，则，，
，，当时，，时，，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象
再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是、初相是．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由正弦型函数的最值求参、正弦型函数的周期性，属较易题．
根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解．
【解答】
解：由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以．
9.【答案】
【解析】解：把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍纵坐标不变得，
再将图象向左平移个单位长度，得．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的性质，图象变换，属于基础题．
根据余弦型函数的性质逐一判断即可．
【解答】
解：，其最小正周期，A错误
又，既不是最大值，也不是最小值，故B错误
将的图象向右平移个单位得到函数的图象，C错误
，函数是奇函数，故D正确，
故选ABC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦型的图象与性质，属于基础题．
由题意可得，故可得，根据可求，从而可求的解析式，再逐项分析即可．
【解答】
解：最小正周期，故A错误；
故，
，
所以，解得．
因为，所以，
所以，故B正确；
由图可得为的一个对称中心，且，
所以的对称中心是，故C错误；
的图象向右平移个单位，得，故D正确．
故选BD．
12.【答案】
【解析】解：将的图象先向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍可得函数的图象，故A满足要求；
将的图象先向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍可得函数的图象，故B不满足要求；
先将的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，
再向右平移个单位长度可得函数的图象，故C不满足要求；
先将的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，
再向左平移个单位长度可得函数的图象，故D满足要求．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象与性质，正弦函数的图象，属于基础题．
根据已知条件及函数的图象与性质，求出实数的取值范围．
【解答】
解：，，
，
由图象可知，
故选：．
14.【答案】，
【解析】【分析】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，属于中档题．
由函数的图象求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】
解：根据函数的部分图象，
可得，，，，
再根据在函数图象上，可得，
又，，
，，
令，
求得，，
故函数的单调递增区间为，，
故答案为：，．
15.【答案】解：
，的周期，
由，
得，
的单调增区间为；
函数的图象向右平移个单位后，得
，
，，
，
，
的值域为：．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论；
根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．
16.【答案】答案见解析；
；
，，．
【解析】解：函数，，
因为，，
所以函数的最小正周期，
所以，解得，
当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为；
当时，，令，解得，
所以函数的图象的对称轴为；
当，，
由，则，
由，则，可得，
所以
；
由题意可知，
由题意可得，，
所以，
所以或，
故或，
又，
故，则，
当时，，
设，则，则原式可化为，
即的图象在区间内与水平直线的图象有个不同的交点，
作出在上的图象，
所以当时，即，与恰有个不同的交点，
故实数的取值范围为，，
设与的个不同的交点分别为、、，则、，
，即，整理得．
根据函数周期性可得，分类讨论，结合正弦函数性质利用整体法求解即可；
利用已知可求得，结合同角三角函数的平方关系可求得，进而利用可求值；
根据图象变换可得，再根据函数零点可得，进而结合正弦函数的图像与性质分析运算．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
17.【答案】；
，；
．
【解析】由图象可知，
且，根据周期公式可得，
又，所以，
所以函数，
由图象可知过点，可得，
解得，，
又，则，
所以函数的解析式为；
根据正弦函数的单调递增公式，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上的单调递增区间为和；
当，则，
即
设，
则，，
根据二次函数的性质可知当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
故函数在区间上的值域为．
根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式；
利用整体代入法可得函数单调区间；
可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域．
本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
18.【答案】，，； ．
【解析】由函数的部分图象知，，
，所以，
由，得，；
解得，；
又，所以，，
令，；
解得，；
所以的单调递增区间为，；
将函数的图象向左平移个单位长度，
得函数的图象，
所以，
不等式可化为，
时，，，
由题意，令，解得，
所以的取值范围是．
由函数的部分图象求出，和，，写出的解析式，根据正弦函数的单调性求出单调递增区间；
根据函数图象平移法则求出函数的解析式，根据不等式恒成立列不等式求解即可．
本题考查了函数与不等式的应用问题，是中档题．
19.【答案】解：．
因为函数的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为，
设最小正周期为，则，即，所以，又，所以，
所以．
，，
结合正弦函数的单调性可得．

【解析】本题考查正弦型函数的对称性及周期、正弦函数的单调性等知识，属于较易题．
化简函数解析式，根据函数的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为，知 其中为函数的最小正周期，再根据周期公式求出的值，最后得到函数解析式；
根据正弦函数的单调性求解即可．
20.【答案】，；
．
【解析】已知函数，
根据诱导公式和两角和的正弦公式可得，
对，有，则，
则，因，解得，
故函数的解析式为；
因，由，可得，
则，
根据两角和的正弦公式可得
．
利用诱导公式与和角公式化简函数解析式，由题意得，结合角的范围即可求得，即得函数解析式；
先求得，利用同角的三角函数公式求得，由进行拆角，利用和角公式展开计算即得．
本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式，属于中档题．

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