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2.4《平面向量基本定理及坐标表示》同步练习
一、单选题：本题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，若，则( )
A. B. C. D.
2.设平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.若，，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
8.已知向量，向量，则( )
A. B. C. D.
9.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
10.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
11.已知，，是坐标原点，则( )
A. B. C. D.
12.已知，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
13.已知点，，向量，则向量( )
A. B. C. D.
14.已知点，，若向量，则实数( )
A. B. C. D.
15.已知向量，若点坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
16.已知，，若，，三点共线，则( )
A. 或 B. C. D. 或
17.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
18.设向量，，则下列叙述错误的是( )
A.
B. 的最小值为
C. 与共线的单位向量只有一个，其坐标为
D. 若，则或
19.如图，已知菱形的边长为，为中点，，则下列选项正确的有( )
A. B. 若，则
C. 若 ，则 D.
20.已知向量，，则( )
A. B. 向量在向量上的投影向量为
C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则
21.若平面向量，不共线，则下列各组向量可以作为平面向量的一组基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题分
已知点，，，是线段的中点．
求点和的坐标；
若是轴上一点，且满足，求点的坐标．
23.本小题分
已知．
若，求的坐标；
若，求与的夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，故即，故，
故，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
考查向量平行时的坐标关系，向量坐标的加法和数乘运算，根据向量坐标求向量长度．
根据即可求出，从而得出，进而得出的坐标，从而可求出的值．
【解答】
解：；
；
；
；
；
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为向量，则，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．
根据平面向量垂直的性质列式求解即可．
【解答】
解：由题已知， ，，
所以，
得．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算根据题意列方程组，利用平面向量坐标运算法则，即可求出向量、的坐标表示．
【解答】
解：由题知：
得，．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积，向量的模以及坐标运算，属于基础题．
根据向量模的公式，求出的值，进而根据向量数量积的坐标公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：由，
，得，
则，
．
故答案选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据平面向量的运算即可得到的值．
【解答】
解：向量，，
，
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
直接根据，将坐标代入运算即可求出所求．
【解答】
解： ，向量，
所以 ．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题．
根据向量加法的坐标运算求解．
【解答】
解：向量，，
所以，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，直接利用向量的坐标运算求解即可，属于基础题．
【解答】
解：．
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的加法运算，属于基础题．
根据向量加法运算可得，由坐标可得结果．
【解答】
解：．
故选D．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标，属于基础题．
设，则，即可得．
【解答】
解：设，则，
所以，
解得，
所以．
故选C．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于简单题．
求出的坐标，再求解即可．
【解答】
解：设，因为，，
所以解得
所以，又，
所以，
故选A．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标即可求解．
【解答】
解：，
所以，
解得．
故选B．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．
设点的坐标为，由，即可得的坐标．
【解答】
解：设点的坐标为，
则，
解得，，
于是点的坐标为，
故选B．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算、平面向量共线的充要条件，属于基础题．
求出的坐标，利用，得出，即可求出结果．
【解答】
解：，，，
，
，，三点共线，，
，即，
解得或．
故选D．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．
由已知可得，计算即可．
【解答】
解：，，．
，
，．
故选：．
18.【答案】
【解析】解：，故A正确；
，所以的最小值为，故B正确；
与共线的单位向量为或故C错误；
若，可得：，解得则或，故D错误．
故选：．
向量模公式判断；向量的模判断；单位向量判断；向量模相等列出方程求解判断．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模以及单位向量等基本知识，是基础题．
19.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，向量数量积，向量的模，属于中档题．
通过平面向量基本定理，用表示其他向量，再利用向量数量积以及模长的求法，对照选项逐一判断即可．
【解答】
解：由题意，故A正确；
，
故，
若，则
，
故，B正确；
由于，
故
，故C错误；
，
由于，故，
从而，故D正确．
故选ABD．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量平行关系的坐标表示、投影向量、向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题．
利用向量平行关系的坐标表示和向量线性运算的坐标表示，即可判断选项A的正误．
利用向量模的坐标表示和向量数量积的坐标运算，结合投影向量，即可判断选项B的正误．
利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，即可判断选项C的正误．
利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，即可判断选项D的正误．
【解答】
解：对于，，，
则，所以，故A不正确．
对于，，，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为，故B正确．
对于，，，则，
所以，，，
所以，故C正确．
对于，，，则，
所以，故D正确．
故选：．
21.【答案】
【解析】解：因为向量，不共线，
若向量，共线，则，
即，无解，故向量，不共线，
若向量，共线，则，
即，无解，故向量，不共线，
若向量，共线，则，
即，无解，故向量，不共线，
则向量，，向量，，向量，都可以作为平面向量的一组基底．
因为，所以向量，共线，则向量，不可以作为平面向量的一组基底．
故选：．
22.【答案】解 ，，是线段的中点，．．
设，则，，，
，解得，点的坐标是．

23.【答案】解：设，由，，
得，解得或
故的坐标为或；
由，得，
则，解得，
则．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】．

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