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2.5《向量的数量积》同步练习
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
4.已知向量，的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.若，，则实数( )
A. B. C. D.
6.已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，，为的中点．若，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知向量，且与的夹角为，则( )
A. B.
C. D.
9.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点．若，，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为 ．
11.已知向量与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为 ．
12.平面向量的夹角为，若，则 ．
13.已知向量满足，的夹角为，则________．
14.已知向量若在方向上的投影向量为，则 ．
15.已知是两个单位向量，，且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量．
求；
设的夹角为，求的值；
若向量与互相垂直，求的值．
17.本小题分
已知，，
当为何值时，最小？
当为何值时，与的夹角最小？
18.本小题分
已知，，且与的夹角为．
求；
若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数的值．
19.本小题分
已知向量，满足，，．
求向量与的夹角
求
20.本小题分
已知，，．
求与的夹角；
求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：在方向上的投影向量为，故，
故，而，故，
故．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于基础题．
利用投影向量的定义即可求解．
【解答】
解：由题意，得，
则向量在向量上的投影向量为．
4.【答案】
【解析】解：向量与的夹角为，，，
则．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，属于基础题．
利用向量数量积的坐标公式运算即可求解．
【解答】
解：因为，所以，
即，所以，
因为，，所以，
所以，解得．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，向量的模，向量夹角的计算．属于基础题．
先计算出，，，根据数量积公式计算即可．
【解答】
解：，，
，，
，
．
7.【答案】
【解析】解：
因为平行四边形中，，，为的中点，
设，由，
得：
，
即，
解得或舍去．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，因为，所以，即，故C正确；
对于，，，
所以，故D正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算及数量积，属于基础题．
直接由向量的运算和数量积逐一判定即可．
【解答】
解：因为点是的中点，
所以
，

，

，
．
故选AD．
10.【答案】
【解析】解：因为，，三点共线，且，
所以，则，
所以，
则，
又，，，
所以．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了投影向量，向量的数量积的概念及其运算，属于基础题．
由投影向量的概念得向量在向量上的投影向量的模为，计算可得．
【解答】
解：因为向量与夹角为夹角为，，
所以
，
，
所以向量在向量上的投影向量的模为
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积运算及向量的模．
根据条件即可求出的值，进而得出的值．
【解答】
解：的夹角为，，
，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的数量积和向量的模的计算问题．
首先求出向量，的数量积，然后根据模的计算方法即可．
【解答】
解：，，
由与的夹角为，
所以，
由．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：在方向上的投影向量为，
故，解得，
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直和数量积的计算，属于基础题．
根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律计算作答．
【解答】
解：是两个单位向量，，且，
则，
解得，
所以．
故答案为：．
16.【答案】解：由，得，
所以 ；
设的夹角为，则；
由，得，
由向量与互相垂直得，，
所以，
化简得，解得．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：因，则，
于是得，
当时，最小，此时，，则，
所以当时，最小为．
设与的夹角为，有，而在上单调递减，
要最小，则当且仅当最大，
显然的最大值为，此时，即与共线同向，
由的向量坐标可得，故，
所以时，与的夹角最小．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】；
．
【解析】已知，，且与的夹角为，
根据平面向量数量积公式可得，
根据平面向量的模长公式可得；
由题意可得与共线，
则存在实数，使得，而与不共线，
于是，解得，
所以实数的值为．
利用数量积的定义及运算律求解；
利用共线向量定理列式求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
19.【答案】解：，
又，
所以
因为
．
所以．
【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，利用向量的数量积求向量的模，属于基础题．
利用向量的数量积的定义式求向量的夹角；
先平方再求向量式的模．
20.【答案】解：设与的夹角为，
，
，即，
，
，
又，
．
，
．

【解析】本题考查了向量的夹角、向量的数量积以及向量的模，属于基础题．
由，得，利用夹角公式，即可得出结果；
由，代入计算即可得出

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