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2.6《平面向量的应用》同步练习
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，，则等于( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，则的最小角为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，所对的边分别为，，，若，则的周长为( )
A. B. C. D.
8.在中，已知且，则等于( )
A. B. C. D.
9.已知中，，，，则( )
A. B. C. D.
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
11.在中，，，，则的外接圆直径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.下列结论正确的是( )
A. 中，若，则为锐角三角形
B. 锐角中，
C. 中，若，则
D. 中，若，则为锐角三角形
13.在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是( )
A. 若，，，则有两个解
B. 若，则是锐角三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
14.已知三角形中，内角，，所对的边分别为，，若，，则角______．
15.两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为 ．
16.在中，若，，，则的周长为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求；
若的面积为，求内角的角平分线长的最大值．
18.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
求角；
在中，，求周长的最大值．
19.本小题分
已知的内角，，所对的边为，，，向量，向量，且．
求角；
若，，求的面积．
20.本小题分
在中，以，，分别为内角，，的对边，且C.
求
若，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可．
【详解】：，，，为钝角且，有一解，故A错误；
：，，，为锐角，，则无解，故B错误；
：，，，为钝角且，则无解，故C错误；
：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题
由正弦定理直接计算可得．
【解答】
解：因为，，，
所以由正弦定理得：，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理的运用，属于基础题．
根据给定条件，利用余弦定理求解即得．
【解答】
解：在中，由余弦定理得．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，属于基础题．
先由正弦定理求得的值，从而求得 的值．
【解答】
解：
在 中，若，，
则由正弦定理可得 为的外接圆半径，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查余弦定理的应用，考查了三角形中的边角关系，是基础题．
由三角形中大边对大角可知，边所对的角最小，然后利用余弦定理的推论求得，则答案可求．
【解答】解：在中，
，，，
由大边对大角可知，边所对的角最小，
由余弦定理可得：
．
，．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知以及余弦定理，得，从而得周长．
【解答】
解：在中，，
由余弦定理得：，
整理可得，
，
，
，
的周长为．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了余弦定理，属于基础题．
依题意得，再由余弦定理求解即可．
【解答】
解：由且，得．
所以．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：在中，由余弦定理可得，解得故选A．
10.【答案】
【解析】解：，，，
由余弦定理得，
所以．
故选：．
用余弦定理列出方程，变形后整体代入求出的值．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，属于基础题．
先由三角形面积公式得，再由余弦定理得，最后根据正弦定理得的外接圆直径．
【解答】
解：，，，
，即，
，
根据余弦定理得：，
，
则根据正弦定理得：．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：对于，，又，
所以，化简得，所以、中有一个为钝角，所以A错误；
对于，因为为锐角三角形，所以，即，
且，，所以，即，所以正确；
对于，由正弦定理，又，所以，所以C正确；
对于，由，可得，易得，均为锐角，所以，
化简得，即，所以也为锐角，所以D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：对于，因为，，，
可得，则三角形有两解，故A正确；
对于，是锐角三角形，
，则为锐角，无法判断其他角的情况，故B错误；
对于，因是锐角三角形，则，
因正弦函数在上单调递增，，
则，故C正确；
对于，因为，
由正弦定理边角可得，
则，故D正确．
故选：．
对于，由余弦定理可得的可能情况，据此可判断解的个数；对于，由数量积运算律可得为锐角，据此可判断选项正误；对于，由诱导公式及三角函数单调性可判断选项正误；对于，由正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式可判断选项正误．
本题考查正弦定理的应用，两角和正弦公式的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，考查推理能力，属于基础题．
利用正弦定理化简，计算得到，利用余弦定理得，求出，即可得到答案．
【解答】
解：因为，所以由正弦定理得，
所以，因为，所以，因为，所以；
因为，所以由余弦定理得，
因为，所以；
所以
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：如图所示
由题意可得，且，，
所以由余弦定理可得，即．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：由，解得，
代入，得，
，
则，又，
故周长为．
17.【答案】；
．
【解析】解：由正弦定理，可得，即，
所以，结合余弦定理得；
由，，可得，所以，
的面积，即，，解得．
由，可得，
即，可得，
所以，当且仅当时，长取得最大值．
根据正弦定理化简题中等式，可得，结合余弦定理求出，可得答案；
由得，根据三角形的面积公式列式算出，然后由，结合三角形的面积公式推导出，运用基本不等式求出的最大值，可得答案．
本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
18.【答案】解：在中，由正弦定理可得，
因为，所以，易知即，
因为，所以．
，故，
故，当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：向量，向量，
因为，所以，
由正弦定理，得，
因为，所以，
则，又，
所以；
若，，
由余弦定理，得，
即，
解得或舍去，
所以的面积．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解：．
由正弦定理可得：．
由余弦定理可得：，
，
．
，，，
由余弦定理，
可得：，
可得：，解得：，负值舍去，
的面积
．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用正弦定理可得：，由余弦定理可得：，结合范围，可求．
由已知利用余弦定理得，解得的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

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