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专题02 勾股定理
一、单选题
1．（2025春·广东佛山·八年级佛山市第十一中学校考阶段练习）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A． ， ， 2 B．5，7，11 C．9 ，12，15 D．15 ，20 ，25
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】解：（）2+（）2=22，能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
52+72≠112，不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
92+122=152，能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
152+202=252，能构成直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
2．（2025秋·陕西西安·八年级西安一中校考期中）下列各组数为边长的三角形中，能够形成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据勾股定理判断即可．
【详解】A．,该选项错误;
B．,该选项正确;
C．,该选项错误;
D．,该选项错误;
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用,关键在于利用勾股定理计算．
3．（2025秋·甘肃·八年级兰州市外国语学校校考期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、，，，不是整数，故此选项错误；
C、，能构成直角三角形，是整数，故此选项正确；
D、，，，不是整数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．
4．（2025春·山东临沂·八年级统考期末）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．2，4，5 D．1，2，3
【答案】D
【分析】由题意可知三角形边长的平方等于正方形的面积，进而根据勾股定理可得．
【详解】A. 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形的三边长分别为，又，符合题意；
B. 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，4时，围成的三角形的三边长分别为，又，符合题意；
C. 当选取的三块纸片的面积分别是2，4，5时，围成的三角形的三边长分别为，又，符合题意；
D. 当选取的三块纸片的面积分别是1，2，3时，围成的三角形的三边长分别为，又，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，根据选项判断是否为直角三角形是解题的关键．
5．（2025春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图，在 ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　)
A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得出CD=AB=、∠D=∠CAD=45°，由等角对等边可得出AC=CD=，再利用勾股定理即可求出BC的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，即△ACD是等腰直角三角形，
∴BC=AD==2．
故选C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，根据平行四边形的性质结合∠ABC=∠CAD=45°，找出△ACD是等腰直角三角形是解题的关键．
6．（2025秋·山东烟台·七年级统考期中）下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为(　　)

A．4cm B．5 cm C． D．
【答案】D
【详解】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴EA=EB，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴CE=CA-AE=8-BE，在Rt△BCE中，
∵
∴BE=,故选D．
考点：1.折叠问题；2.勾股定理.
7．（2025秋·八年级课时练习）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据 BD h＝ BF DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝8，
∴S△ADE＝16，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，
∴ （AF+DF） BF＝16，
∴ （6+DF）×4＝16，
∴DF＝2，
∴DB＝，
设点F到BD的距离为h，则有 BD h＝ BF DF，
∴h＝4×2，
∴h＝，
∴点F到BC的距离为．
故选：C
【点睛】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
8．（2025秋·四川乐山·八年级统考期末）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（　　）
A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF
【答案】C
【分析】利用勾股定理先分别求得△ABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.
【详解】在△ABC中，AB==，BC==，AC=2，
A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故不符合题意；
B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意；
C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=2=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意；
D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，
故选：C.
【点睛】本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.
9．（2025秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，矩形的边长为2，长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
A．2．5 B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由勾股定理得，矩形对角线为，则交点表示的数等于．
故选D．
试题解析：
考点：1．实数；2．数轴．
10．（2025春·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】∵ED是BC的垂直平分线,∴∠EDB=90°,BD=BC∵∠B=30°, BE=2, ∴DE=1, ∵∠A=90°, ∴AC=BC, ∴AC=BD,
在RT△BDE中，BD= ,即AC=.
故选A.
11．（2025秋·山东济南·八年级校考阶段练习）如图△ABC的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为：（　　）
A．30 B．24 C．60 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的在月牙图形中的运用.
【详解】因为，所以分别以5，12，13为三边的三角形为直角三角形.
左上的半圆面积，右上半圆面积
下面半圆的面积
则+=，上面两个小半圆的面积和等于下面半圆面积，
都减去公共部分的面积，则可得
阴影面积=三角形ABC的面积=
所以选A.
【点睛】月牙定理，图中阴影部分的面积就等于下面直角三角形的面积.
12．（2025秋·上海·八年级专题练习）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断．
【详解】解：A、32＋32＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、42＋（）2＝82，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、52＋52≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
13．（2025秋·福建福州·八年级期末）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，等腰Rt△ACE的底边AC=m，等腰△BDF的底边BD=n，腰FB=FD=n，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则m，n满足（ ）
A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n
【答案】A
【分析】过点F作FH⊥AD于点H．过点E作EG⊥AD于G，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出EG和FH，然后设BC=x，分别表示出△CDE与△ABF的面积，再将二者相减得到关于x的代数式，因为x变化时，S不变，所以x的系数为0，则可得到m与n的关系式．
【详解】解：过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G，
∵△ACE是等腰直角三角形，AC=m，
∴EG=AC=，
∵BD=n，FB=FD=n，FH⊥AD，
∴BH=BD=，
在Rt△BHF中，
FH=，
设BC=x，
则S△ABF=AB FH=（m-x）×n，S△CDE=CD EG=（n-x）×，
∴S△CDE-S△ABF=（n-x）×-（m-x）×n
=（-）x-，
∵当BC的长度变化时，S始终保持不变，
∴-=0，
∴m=n，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键．
14．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（ ）
A． B． C．24 D．12
【答案】D
【分析】连接，设交于点，交于点，证明 ，进而证明，根据勾股定理得出，，过点作于点，勾股定理求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
连接，设交于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
即，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴
∴
又∵，
∴
又∵，
解得：，，
，
过点作于点，
设
∴
即，
解得：
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
15．（2025春·湖北·九年级校联考专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【详解】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.
详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：
∵DP⊥BP，AC为直径；
∴∠DPB=∠PBC=90°.
∴PD∥BC,且PD为⊙O的切线.
∴∠PDE=90°=∠DEB,
∴四边形PDEB为矩形，
∴AB∥OE，且O为AC中点，AB=6.
∴PD=BE=EC.
∴OE=AB=3.
设PA=x，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC，EC=PD=6-x.
.在Rt△OEC中:
,
即：，解得x=2.
所以AC=2OC=2×（3+x）=10.
点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.
二、填空题
16．（2025秋·甘肃张掖·八年级校考期末）如图，则阴影小长方形的面积S＝_____．
【答案】30
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
【详解】由勾股定理得：=10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【点睛】考查了勾股定理；解题关键是利用勾股定理求出小长方形的长．
17．（2025秋·山东济南·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，三边长分别用a，b，c表示，已知a=3，b=5，则c=___________
【答案】4或．
【分析】在直角三角形中已知两边长求第三边用勾股定理．此题没明确斜边因此要分情况计算之．
【详解】解：在Rt△ABC中：当∠B为直角时，b为斜边，此时；
当∠C为直角时，c为斜边，此时c=；
由于a=3＜5，所以a不可能是斜边，∠A不可能为直角．
综上讨论c=4,或c=．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查运用勾股定理计算边长．关键是要分清直角边和斜边，当民
已知两直角边求斜边时，先算两边的平方和，再求算术根；当已知斜边和直角边，另一直角边时，先作平方差，再求算术根．
18．（2025春·江西宜春·八年级统考期末）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”（1步=5尺）．译文：“当秋千静止时，秋干上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知尺，尺，人的身高尺，则_______尺．
【答案】14.5
【分析】设OA=OB=x尺，可得OE=（x-4）尺，在中，由勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：设OA=OB=x尺，
根据题意得：CE=BD=5尺，
∵尺，
∴AE=4尺，
∴OE=（x-4）尺，
在中，，
∴，
解得：x=14.5，
即OA=14.5尺．
故答案为：14.5
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．（2025春·北京·八年级101中学校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
【答案】或
【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5
在中，
或
故答案为：或
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．
20．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则S△AOC＋S△AOB＝__________________．
【答案】6＋
【分析】将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，再根据旋转的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，点O旋转至O′，
由旋转的性质可得，
∴,
∵,
可得△AOO′是边长为3的等边三角形，
△COO′是三边分别为3、4、5的直角三角形，
由勾股定理可得等边三角形△AOO′的高为：，
故S△AOC＋S△AOB＝S四边形AOCO′＝S△AOO′＋S△COO′＝＋＝6＋．
故答案为：6＋．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
21．（2025秋·安徽芜湖·八年级期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，，点为上一动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据勾股定理得到BC，由中点的定义求出BD，作点C关于AB对称点C′，则PC′=PC，连接DC′，交AB于P，连接BC′，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在等腰直角中，，， ，
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=BC=．
∵为的中点，
∴BD=．
作点C关于AB对称点C′，交AB于点O，则PC′=PC，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵点C关于AB对称点C′，
∴∠C′BA=∠CBA=45°，，
∴∠，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．
22．（2025秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________
【答案】 10 ##
【分析】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理可得：，
作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P．
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
即，解得：．
故答案为：10，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解．
23．（2025春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考阶段练习）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A坐标为，若是以为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标______．
【答案】或或
【分析】过A作轴于H，根据勾股定理求出的长，再分别讨论、的各种情况，即可得出答案．
【详解】解：过A作轴于H，则，
在中，；
设点B的坐标为，
①若，
∵轴，
∴，则点；
②若，即，
∴，
则点；
∴符合条件的B点的坐标为：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，关键是掌握为等腰三角形时，那么任意一组邻边可为腰，注意分情况讨论．
24．（2025春·全国·八年级专题练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆完全收拢（即）时，如图2所示，床高（与之间的距离）为，则此时伸缩杆的长度为________．当成时，伸缩杆打开最大，此时的长度为，则固定钢架的长度为________．
【答案】 15 29
【分析】过P作，交于N，交于M，根据题意得出cm，cm，再由平行线分线段成比例得出cm，再由勾股定理求解即可得出结果；过点D作于点F，过点C作于点H，利用勾股定理得出cm，cm，，利用勾股定理逆定理确定，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：过P作，交于N，交于M，
∴cm，
∵cm，cm，
∴cm，
∵，
∴，即，
解得cm，
∴在中，
cm，
∴cm，
∴在中，
cm；
过点D作于点F，过点C作于点H，如上图所示，
∴cm，，
在中，cm，，
∴cm，
在中，cm，，
∴cm，
∴，
如下图，
∵cm，cm，cm，
∵，即，
∴，
在中
，即，
∴，
解得：cm，
故答案为：①15；②29．
【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理解三角形，平行线分线段成分比例等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
25．（2025·上海杨浦·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为_____．
【答案】
【分析】作DG⊥AE，先根据翻折变化的性质得到△DEF≌△BEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠AED=∠CDF，设CF=X，则DF=FB=4-X，根据勾股定理求出CF，可知tan∠AED=tan∠CDF，在Rt△ADG和Rt△EDG中分别求出DG、EC，然后根据勾股定理即可得到结论
【详解】
作DG⊥BE，
∵△DEF是△BEF翻折而成，
∴△DEF≌△BEF，∠B＝∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠AED+45°，
∴∠AED＝∠CDF，
∵CA＝CB＝4，CD＝AD＝2，
设CF＝x，
∴DF＝FB＝4﹣x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+4＝（4﹣x）2，
解得，
∵∠A＝45°，AD＝2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题是一道综合题，解题的关键是掌握图形翻折变换的性质、等腰三角形的性质和勾股定理并能灵活运用
三、解答题
26．（2012秋·江苏苏州·九年级统考期末）如图，一块三角形铁皮，其中∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝12cm．求△ABC的面积．
【答案】72
【详解】分析：首先过A作AD⊥CB，根据∠C=45°，可以求出AD=DC，再利用勾股定理求出AD的长，再根据直角三角形的性质求出AB的长，利用勾股定理求出BD的长，最后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
详解：
过A作AD⊥CB，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
设AD=DC=x，
则x2+x2=（12）2，
解得：x=12，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=24，
∴BD=，
∴CB=12+12，
∴△ABC的面积=.
点睛：主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质，关键是熟练利用直角三角形的性质求出BD、AD的长．
27．（2025春·山西临汾·八年级统考期末）如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度．
【答案】该船的行驶速度为7.5海里/小时
【分析】先根据勾股定理求出BC的长度，再根据路程时间关系求出速度即可．
【详解】依题意，AB=10海里，海里，
由勾股定理，得（海里），
15÷2=7.5（海里/小时）．
答：该船的行驶速度为7.5海里/小时．
【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解．
28．（2025春·广东深圳·八年级深圳市福田区实验教育集团侨香学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长．
【答案】（1）25；（2）150；（3）12
【分析】（1）根据勾股定理可求得AB的长；
（2）根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）根据三角形的面积相等即可求得CD的长．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
∴AB2=AC2+BC2，即AB2=202+152，
解得AB=25．
答：AB的长是25；
（2）由（1）可得：△ABC的面积为AC BC=×20×15=150．
答：△ABC的面积是150；
（3）∵CD是边AB上的高，
∴AC BC=AB CD，
解得：CD=12．
答：CD的长是12．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
29．（2025秋·安徽宿州·九年级校联考期中）△ABC中，a，b，c分别为它的三边，且a＋b＋c＝60，a∶b∶c＝3∶4∶5，求△ABC的面积．
【答案】150
【分析】先由a+b+c=60cm，a：b：c=3：4：5，求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，从而可求出面积．
【详解】∵a+b+c=60cm，a：b：c=3：4：5，
∴a=15cm，b=20cm，c=25cm，
∵152+202=252，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝×15×20＝150．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据三边长判断出为直角三角形，然后可求出三角形面积．
30．（2025春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，正方形网格的每个小正方形的边长均为每个小正方形的顶点叫做格点，若在格点上，且满足．
(1)在图中画出符合条件的；
(2)若于点，则的长为 ．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】（1）结合网格图利用勾股定理确定点的位置即可得解；
（2）根据三角形的面积列出关于方程，求解即可得到答案．
【详解】解：（1）如图：
∵小正方形的边长均为
∴，；
∴；
∴即为所求．
（2）如图：
∵由网格图可知，，；
∴
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理在网格图中的的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．
31．（2025春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，D为BC上一点，连接AD，将△ABC沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点B'处，求DB'的长度．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得，，，先利用勾股定理求出，即可得到，设，则，在直角三角形中：，则，解方程即可．
【详解】解：由折叠的性质可得，，，
∴
∵∠B=90°，AB=9，BC=12，
∴，
∴，
设，则，
在直角三角形中：，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质与勾股定理．
32．（2025秋·广东揭阳·八年级阶段练习）长方形纸片ABCD中，AD=5cm ，AB=25cm ，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.
(1)求AE的长；
（2）求△ADE的面积．
【答案】(1) 12cm；（2）30cm
【详解】试题分析：根据折叠的性质可知，EB=ED，设AE为x，则得到EB=ED=25-x，在Rt△AED中，利用勾股定理即可求出AE的长即可；（2）利用直角三角形的面积公式直接求解即可．
试题解析：
(1)由折叠可得，DE=BE，
∵AB=25cm，
∴AE+DE=25cm，
设 AE 的长为 xcm，则DE=(25-x)cm，
在 Rt△ADE 中，∠A=90°，AD=5，
由勾股定理得：，
解得 x=12，
所以 AE的长为12cm；
（2）在 Rt△ADE 中，∠A=90°,AD=5，AE=12，
∴（cm ）．
点睛：本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．
33．（2025秋·浙江·八年级期末）定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P　 　△ABC的准心（填“是”或“不是”）
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PDAB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
【答案】（1）是；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据AD平分∠BAC可知，结合AB＝AC可判定，进而可得,故P是△ABC的准心；
（2）连接PA、PB，根据准心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APD=45°，然后即可求出∠APB的度数；
（3）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：（1）是；
∵AD平分∠BAC，
∴，
在和中，
∴（ASA）
∴，
∴P是△ABC的准心，
故答案为：是；
（2）①若，连接PB，则，
∵CD为等边三角形的高，
∴，，
∴，
∴PD=DB=AB，
与已知PD=AB矛盾，
∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；
（3）解：∵，，
∴,
①若，设，则，
∴，即，
②若，则，
③若，由图知，在中，不可能．
故或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准心的定义是解题的关键，根据准心的定义，要注意分三种情况进行讨论．
34．（2025秋·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在中，，，，等腰直角中，，且点D是边BC上一点．
（1）求AC的长．
（2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离．
（3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值．
【答案】（1）6 （2） （3）
【分析】（1）作AF⊥BC，垂足为F，可得△ABF是等腰直角三角形，由已知可得AB=3，利用勾股定求AF=BF=3，，在Rt△FAC中，利用勾股定理即可求出AC长；
（2）过E点作于H，由（1）得：，AF⊥CF，可求.设，则，，可求，设，则，在中，由勾股定理得：，可得，由，构造方程，解方程即可；
（3）当D运动到C点时，E到BC的距离最大，作于H点，并延长EA交BC于G，可求，可求，在中，∠GEH =30°，，由勾股定理得：，可求，
【详解】解：（1）过A点作于F点，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴；
（2）过E点作于H，
由（1）得：，AF⊥CF，
∴，
设，则，
，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即E到BC的距离为；
（3）由题可知，当D运动到C点时，E到BC的距离最大，
此时，
作于H点，并延长EA交BC于G，
则，
由（2）得：，
则，
在中，，
∴∠GEH=90°-∠EGH=30°，
∴，
由勾股定理得：，
即，
∴，
解得：，
即点E到BC的最大距离为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，30°角所对直角边等于斜边的一半，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，30°角所对直角边等于斜边的一半，抓住，构造方程，解题关键是引辅助线准确构图来解决最大距离．
35．（2025春·全国·八年级期中）已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．
（2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．
【详解】（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键
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专题02 勾股定理
一、单选题
1．（2025春·广东佛山·八年级佛山市第十一中学校考阶段练习）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A． ， ， 2 B．5，7，11 C．9 ，12，15 D．15 ，20 ，25
2．（2025秋·陕西西安·八年级西安一中校考期中）下列各组数为边长的三角形中，能够形成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．，， D．，，
3．（2025秋·甘肃·八年级兰州市外国语学校校考期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春·山东临沂·八年级统考期末）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．2，4，5 D．1，2，3
5．（2025春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图，在 ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　)
A． B．2 C．2 D．4
6．（2025秋·山东烟台·七年级统考期中）下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为(　　)

A．4cm B．5 cm C． D．
7．（2025秋·八年级课时练习）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025秋·四川乐山·八年级统考期末）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（　　）
A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF
9．（2025秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，矩形的边长为2，长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
A．2．5 B． C． D．
10．（2025春·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
11．（2025秋·山东济南·八年级校考阶段练习）如图△ABC的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为：（　　）
A．30 B．24 C．60 D．
12．（2025秋·上海·八年级专题练习）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，
13．（2025秋·福建福州·八年级期末）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，等腰Rt△ACE的底边AC=m，等腰△BDF的底边BD=n，腰FB=FD=n，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则m，n满足（ ）
A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n
14．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（ ）
A． B． C．24 D．12
15．（2025春·湖北·九年级校联考专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
二、填空题
16．（2025秋·甘肃张掖·八年级校考期末）如图，则阴影小长方形的面积S＝_____．
17．（2025秋·山东济南·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，三边长分别用a，b，c表示，已知a=3，b=5，则c=___________
18．（2025春·江西宜春·八年级统考期末）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”（1步=5尺）．译文：“当秋千静止时，秋干上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知尺，尺，人的身高尺，则_______尺．
19．（2025春·北京·八年级101中学校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
20．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则S△AOC＋S△AOB＝__________________．
21．（2025秋·安徽芜湖·八年级期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，，点为上一动点，则的最小值为__________．
22．（2025秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________
23．（2025春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考阶段练习）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A坐标为，若是以为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标______．
24．（2025春·全国·八年级专题练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆完全收拢（即）时，如图2所示，床高（与之间的距离）为，则此时伸缩杆的长度为________．当成时，伸缩杆打开最大，此时的长度为，则固定钢架的长度为________．
25．（2025·上海杨浦·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为_____．
三、解答题
26．（2012秋·江苏苏州·九年级统考期末）如图，一块三角形铁皮，其中∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝12cm．求△ABC的面积．
27．（2025春·山西临汾·八年级统考期末）如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度．
28．（2025春·广东深圳·八年级深圳市福田区实验教育集团侨香学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长．
29．（2025秋·安徽宿州·九年级校联考期中）△ABC中，a，b，c分别为它的三边，且a＋b＋c＝60，a∶b∶c＝3∶4∶5，求△ABC的面积．
30．（2025春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，正方形网格的每个小正方形的边长均为每个小正方形的顶点叫做格点，若在格点上，且满足．
(1)在图中画出符合条件的；
(2)若于点，则的长为 ．
31．（2025春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，D为BC上一点，连接AD，将△ABC沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点B'处，求DB'的长度．
32．（2025秋·广东揭阳·八年级阶段练习）长方形纸片ABCD中，AD=5cm ，AB=25cm ，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.
(1)求AE的长；
（2）求△ADE的面积．
33．（2025秋·浙江·八年级期末）定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P　 　△ABC的准心（填“是”或“不是”）
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PDAB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
34．（2025秋·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在中，，，，等腰直角中，，且点D是边BC上一点．
（1）求AC的长．
（2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离．
（3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值．
35．（2025春·全国·八年级期中）已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
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