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综合与实践型—浙江省八（下）数学期末复习
一、解答题
1．（2024八下·苍南期末）综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
2．（2024八下·萧山期末）综合与实践：如何称量一个元硬币的重量？
素材：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动已知，支点的中点处，一个的砝码．
素材：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入个相同的元硬币，调整点的位置，发现当时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量不计托盘与横梁重量
（1）任务：左侧托盘放入砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求关于的函数表达式；
（2）任务：求一个元硬币的重量；并判断左侧托盘放入砝码时，右侧托盘至少要放置几个元硬币，该天平才能保持平衡；
（3）任务：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入砝码，右侧托盘放置一个元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？
3．（2024八下·德清期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为　 　cm，宽为　 　cm；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
4．（2024八下·衢州期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量
素材 1： 如图 1 是一架自制天平， 支点 固定不变， 左侧托盘 固定在某处， 右侧托盘 在横梁滑动。在 中放置一个重物， 在 中放置一定质量的砝码， 移动托盘 可使天平左右平衡。增加砝码的质量， 多次试验， 将砝码的质量 (g) 与对应的 长度 记录下来， 并绘制成散点图（如图 2）。
素材 2： 由于一个空的矿泉水瓶太轻， 无法称量。小组进行如下操作， 保持素材 1 的装置不变， 在托盘 中放置一个内盛 34 g 水的矿泉水瓶， 移动托盘 ， 使得天平左右平衡， 测得 。
（1）任务 1： 请在图 1 中连线， 猜想 关于 的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证。
（2）任务 2： 求出一个空矿泉水瓶的质量。
5．（2024八下·湖州期末）解答：
探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形
素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．
素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．
素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．
问题解决
任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形；
任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长．
6．（2024八下·上城期末）综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
7．（2024八下·越城期末）折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
如图，一张菱形纸片，，，E，F分别为边，上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形，点A，B的对应点分别为点，．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点，C，三点在同一直线上．
【深入探究】
操作 探究内容 图形
操作一 当点E位于中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点D，，C，四个点在同一直线上.
操作二 将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且得到是直角三角形.
操作三 当点E位于靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且与交于点G.
【解决问题】
（1）根据操作一探究内容，求证：；
（2）根据操作二探究内容，当为直角三角形时，求的长度；
（3）根据操作三探究内容，直接写出的长度．
8．（2024八下·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务．
“脸谱扇”的制作、展示与包装
项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装．
素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为、（），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形，且，）． 脸长/17.218.417.318.119.0脸宽/12.813.113.312.713.1
素材2 如图2是一块矩形展板，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与、的距离以及左右两边的作品分别与、的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为，上下间距均为．
素材3 如图3，将做好的脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄．现有一块面积为的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直．
任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽．
任务2 记素材2中上面四个作品与的距离为，若，求x的值．
任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值．
答案解析部分
1．【答案】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）18，；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）设所用的篱笆为米，
则，
∴，
，
，
解得：，或（舍去），
∴m的最小值为18米，
此时，
解得．
所以米．
故答案为：18，．
【分析】目标1：设的长为x米，先用x表示出BC，再根据“现可用的篱笆总长为20米”列出关于x的方程求解；
目标2：（1）设的长为x米，先用x表示出BC，再根据所用的篱笆长求出m，然后列出关于x的方程求解，根据判别式小于零，无解，故不能围成；
（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
2．【答案】（1）解：由题意得，，
．
．
（2）解：由任务，，
又当时，天平平衡，
．
．
枚一元的硬币．
一个一元的硬币．
，
随的增大而减小．
当最大时，最小，
即当时，最小．
又，
右侧托盘至少要放置个元硬币．
（3）解：由题意，设时，天平平衡，此时，
．
．
答：的长度为．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）先根据中点得到，进而即可列出反比例函数；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合反比例函数的性质即可得到当时，最小，从而即可求解；
（3）设时，天平平衡，此时，进而即可列出一元一次方程，从而即可求解。
3．【答案】（1）26；12
（2）解：设剪去的正方形的边长为，
则纸盒底面长方形的长为（30-2x）cm，宽为（16-2x）cm，
∴可列方程：，
解得，
当时，，所以不符合题意舍去，
答：剪去正方形的边长为3cm；
（3）解：设剪去的正方形的边长为.
根据题意可列方程为：，
解得(舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 纸盒底面长方形的长=30-2-2=26（cm）；
宽=16-2-2=12（cm）；
故答案为：26；12；
【分析】（1）根据题意可得：纸盒底面长方形的长=原长方形的长-2×剪去的正方形的边长，宽=原长方形的宽-2×剪去的正方形的边长，代入计算即可求解；
（2）设剪去的正方形的边长为，结合（1）的结论并根据长方形的面积等于长方形的长×宽可列关于x的方程，解方程并检验可求解；
（3）设剪去的正方形的边长为，根据题意“ 折成的有盖长方体纸盒的表面积为”可列关于y的方程，解方程求出y的值，根据实际问题检验即可求解.
4．【答案】（1）解：连线，如图：
。
根据图中函数图象判断该函数为反比例函数，
设 关于 的函数表达式为 ，
把 代入函数表达式得 ，
解得 ，
关于 的函数表达式为 .
把 代入函数表达式，得 ， 成立.
（2）解：当 时， 即 ，
解得：x=50（g）.
则50-34=16（g）.
所以空矿泉水瓶的质量为16g.
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）与光滑的曲线把各点依次连起来，可以得出是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式，并任选一对值验证即可；
（2）当OB=24cm时，即y=24，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，即可求解.
5．【答案】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，，
同理，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
选方法二，如图2，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
同理，
∴，
同理可证，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变，
∴，
∴，
由题意，得，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】任务一：选方法一，根据三角形中位线定理得到，，即可得到为平行四边形，进而得到，，由拼接可得，，证明结论即可；选方法二，根据三角形中位线得到，，根据两组对边分别相等得到平行四边形；
任务二：根据剪拼特征得到，根据平移得到，进而求出FM的值，再在中利用勾股定理解题．
6．【答案】解：任务1：根据题意得：
在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为，
故答案为：；
令，
解得：(不符合题意，舍去)，
则此时底面积能达到；
任务2：根据题意得：；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大；
由任务1可知：方案1的底面积为：；
由任务2可知：方案2的底面积为：；
根据题意知：，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得；
故当时，方案一的纸盒体积大；
当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；
当时，方案二的纸盒体积大．
任务4：方案二中纸盒的体积为：；
当时，纸盒体积有最大值为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：根据题意可得：=(40-2x)cm，进而表示出底面的面积为：（40=2x)2cm2；然后令（40=2x)2=900，解方程即可得出答案；
任务2：根据题意可得=BC=(40-2x)cm，再根据中间的四边形为正方形即可表示出；
任务3：首先表示出两个方案中纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得；故而得出当时，方案一的纸盒体积大；当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当时，方案二的纸盒体积大；
任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积，然后用二次函数最值的方法即可得出答案.
7．【答案】解：（1）证明：菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
，，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
∴；
（2）当时，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：或；
（3）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：如图，
连接，在上截取，连接，作，交的延长线于点H，作于点Q，
∴，
点位于靠近点的三等分点，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
设，则，如图，
作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠ABC=60°，AB∥CD，BC∥AD，由翻折及中点定义可得A'E=ED=AE，由有一个内角为60°的三角形是等边三角形得△A'DE是等边三角形，由等边三角形的性质得∠EA'D=∠A'ED=60°，进而根据平角定义及折叠性质得∠AEF=∠A'EF=60°，再由同位角相等，两直线平行得EF∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）当∠B'CF=90°时，由折叠性质得∠B=B'=60°，BF=B'F，由直角三角形两锐角互余求出∠B'FC=30°，由含30°角直角三角形的性质可得出，从而由，求得BF的值；当∠CFB'=90°时，同理求解即可；
（3）连接CE，在CD上截取DW=ED，连接EW，作CH⊥EW，交EW的延长线于点H，作EQ⊥CA'于点Q，易得△DEW是等边三角形，则∠EWD=60°，由折叠性质得AE=A'E=4，∠A=∠CA'E=120°，则A'E=CW=4，∠CA'E=∠CWE=120°，由等角的补角相等得∠EA'Q=∠CWH=60°，从而由AAS判断出△EA'Q≌△WCH，可得，，；由HL可证得，得，，进而得出，，，CG=x，则A'G=WG=4-x，由含30°角直角三角形的性质表示出A'T，GT，CT，进而利用勾股定理建立方程求出x即可得出答案.
8．【答案】解：（1） 脸谱的长为，
脸谱的宽为
答：脸谱的长与宽分别为和；
（2），
，
∵，
∴
解得：；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，
可列不等式为，
∴，解：，
∵，
∴，
∴的最大值为4，
∴被剪去的小正方形边长的最大值为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；平均数及其计算；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法求解；
（2）分别表示出PS和PQ，根据列方程求解；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，可得，结合二次函数的图象求解．
1 / 1综合与实践型—浙江省八（下）数学期末复习
一、解答题
1．（2024八下·苍南期末）综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
【答案】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）18，；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）设所用的篱笆为米，
则，
∴，
，
，
解得：，或（舍去），
∴m的最小值为18米，
此时，
解得．
所以米．
故答案为：18，．
【分析】目标1：设的长为x米，先用x表示出BC，再根据“现可用的篱笆总长为20米”列出关于x的方程求解；
目标2：（1）设的长为x米，先用x表示出BC，再根据所用的篱笆长求出m，然后列出关于x的方程求解，根据判别式小于零，无解，故不能围成；
（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
2．（2024八下·萧山期末）综合与实践：如何称量一个元硬币的重量？
素材：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动已知，支点的中点处，一个的砝码．
素材：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入个相同的元硬币，调整点的位置，发现当时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量不计托盘与横梁重量
（1）任务：左侧托盘放入砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求关于的函数表达式；
（2）任务：求一个元硬币的重量；并判断左侧托盘放入砝码时，右侧托盘至少要放置几个元硬币，该天平才能保持平衡；
（3）任务：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入砝码，右侧托盘放置一个元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？
【答案】（1）解：由题意得，，
．
．
（2）解：由任务，，
又当时，天平平衡，
．
．
枚一元的硬币．
一个一元的硬币．
，
随的增大而减小．
当最大时，最小，
即当时，最小．
又，
右侧托盘至少要放置个元硬币．
（3）解：由题意，设时，天平平衡，此时，
．
．
答：的长度为．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）先根据中点得到，进而即可列出反比例函数；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合反比例函数的性质即可得到当时，最小，从而即可求解；
（3）设时，天平平衡，此时，进而即可列出一元一次方程，从而即可求解。
3．（2024八下·德清期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为　 　cm，宽为　 　cm；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
【答案】（1）26；12
（2）解：设剪去的正方形的边长为，
则纸盒底面长方形的长为（30-2x）cm，宽为（16-2x）cm，
∴可列方程：，
解得，
当时，，所以不符合题意舍去，
答：剪去正方形的边长为3cm；
（3）解：设剪去的正方形的边长为.
根据题意可列方程为：，
解得(舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 纸盒底面长方形的长=30-2-2=26（cm）；
宽=16-2-2=12（cm）；
故答案为：26；12；
【分析】（1）根据题意可得：纸盒底面长方形的长=原长方形的长-2×剪去的正方形的边长，宽=原长方形的宽-2×剪去的正方形的边长，代入计算即可求解；
（2）设剪去的正方形的边长为，结合（1）的结论并根据长方形的面积等于长方形的长×宽可列关于x的方程，解方程并检验可求解；
（3）设剪去的正方形的边长为，根据题意“ 折成的有盖长方体纸盒的表面积为”可列关于y的方程，解方程求出y的值，根据实际问题检验即可求解.
4．（2024八下·衢州期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量
素材 1： 如图 1 是一架自制天平， 支点 固定不变， 左侧托盘 固定在某处， 右侧托盘 在横梁滑动。在 中放置一个重物， 在 中放置一定质量的砝码， 移动托盘 可使天平左右平衡。增加砝码的质量， 多次试验， 将砝码的质量 (g) 与对应的 长度 记录下来， 并绘制成散点图（如图 2）。
素材 2： 由于一个空的矿泉水瓶太轻， 无法称量。小组进行如下操作， 保持素材 1 的装置不变， 在托盘 中放置一个内盛 34 g 水的矿泉水瓶， 移动托盘 ， 使得天平左右平衡， 测得 。
（1）任务 1： 请在图 1 中连线， 猜想 关于 的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证。
（2）任务 2： 求出一个空矿泉水瓶的质量。
【答案】（1）解：连线，如图：
。
根据图中函数图象判断该函数为反比例函数，
设 关于 的函数表达式为 ，
把 代入函数表达式得 ，
解得 ，
关于 的函数表达式为 .
把 代入函数表达式，得 ， 成立.
（2）解：当 时， 即 ，
解得：x=50（g）.
则50-34=16（g）.
所以空矿泉水瓶的质量为16g.
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）与光滑的曲线把各点依次连起来，可以得出是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式，并任选一对值验证即可；
（2）当OB=24cm时，即y=24，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，即可求解.
5．（2024八下·湖州期末）解答：
探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形
素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．
素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．
素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．
问题解决
任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形；
任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长．
【答案】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，，
同理，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
选方法二，如图2，连结，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
同理，
∴，
同理可证，
由拼接，得，，
∴四边形是平行四边形．
任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变，
∴，
∴，
由题意，得，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】任务一：选方法一，根据三角形中位线定理得到，，即可得到为平行四边形，进而得到，，由拼接可得，，证明结论即可；选方法二，根据三角形中位线得到，，根据两组对边分别相等得到平行四边形；
任务二：根据剪拼特征得到，根据平移得到，进而求出FM的值，再在中利用勾股定理解题．
6．（2024八下·上城期末）综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
【答案】解：任务1：根据题意得：
在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为，
故答案为：；
令，
解得：(不符合题意，舍去)，
则此时底面积能达到；
任务2：根据题意得：；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大；
由任务1可知：方案1的底面积为：；
由任务2可知：方案2的底面积为：；
根据题意知：，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得；
故当时，方案一的纸盒体积大；
当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；
当时，方案二的纸盒体积大．
任务4：方案二中纸盒的体积为：；
当时，纸盒体积有最大值为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：根据题意可得：=(40-2x)cm，进而表示出底面的面积为：（40=2x)2cm2；然后令（40=2x)2=900，解方程即可得出答案；
任务2：根据题意可得=BC=(40-2x)cm，再根据中间的四边形为正方形即可表示出；
任务3：首先表示出两个方案中纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得；故而得出当时，方案一的纸盒体积大；当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当时，方案二的纸盒体积大；
任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积，然后用二次函数最值的方法即可得出答案.
7．（2024八下·越城期末）折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
如图，一张菱形纸片，，，E，F分别为边，上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形，点A，B的对应点分别为点，．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点，C，三点在同一直线上．
【深入探究】
操作 探究内容 图形
操作一 当点E位于中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点D，，C，四个点在同一直线上.
操作二 将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且得到是直角三角形.
操作三 当点E位于靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着翻折后，使得点，C，三点在同一直线上，且与交于点G.
【解决问题】
（1）根据操作一探究内容，求证：；
（2）根据操作二探究内容，当为直角三角形时，求的长度；
（3）根据操作三探究内容，直接写出的长度．
【答案】解：（1）证明：菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
，，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
∴；
（2）当时，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：或；
（3）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：如图，
连接，在上截取，连接，作，交的延长线于点H，作于点Q，
∴，
点位于靠近点的三等分点，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
菱形纸片沿着翻折，得到四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
设，则，如图，
作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠ABC=60°，AB∥CD，BC∥AD，由翻折及中点定义可得A'E=ED=AE，由有一个内角为60°的三角形是等边三角形得△A'DE是等边三角形，由等边三角形的性质得∠EA'D=∠A'ED=60°，进而根据平角定义及折叠性质得∠AEF=∠A'EF=60°，再由同位角相等，两直线平行得EF∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）当∠B'CF=90°时，由折叠性质得∠B=B'=60°，BF=B'F，由直角三角形两锐角互余求出∠B'FC=30°，由含30°角直角三角形的性质可得出，从而由，求得BF的值；当∠CFB'=90°时，同理求解即可；
（3）连接CE，在CD上截取DW=ED，连接EW，作CH⊥EW，交EW的延长线于点H，作EQ⊥CA'于点Q，易得△DEW是等边三角形，则∠EWD=60°，由折叠性质得AE=A'E=4，∠A=∠CA'E=120°，则A'E=CW=4，∠CA'E=∠CWE=120°，由等角的补角相等得∠EA'Q=∠CWH=60°，从而由AAS判断出△EA'Q≌△WCH，可得，，；由HL可证得，得，，进而得出，，，CG=x，则A'G=WG=4-x，由含30°角直角三角形的性质表示出A'T，GT，CT，进而利用勾股定理建立方程求出x即可得出答案.
8．（2024八下·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务．
“脸谱扇”的制作、展示与包装
项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装．
素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为、（），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形，且，）． 脸长/17.218.417.318.119.0脸宽/12.813.113.312.713.1
素材2 如图2是一块矩形展板，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与、的距离以及左右两边的作品分别与、的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为，上下间距均为．
素材3 如图3，将做好的脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄．现有一块面积为的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直．
任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽．
任务2 记素材2中上面四个作品与的距离为，若，求x的值．
任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值．
【答案】解：（1） 脸谱的长为，
脸谱的宽为
答：脸谱的长与宽分别为和；
（2），
，
∵，
∴
解得：；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，
可列不等式为，
∴，解：，
∵，
∴，
∴的最大值为4，
∴被剪去的小正方形边长的最大值为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；平均数及其计算；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法求解；
（2）分别表示出PS和PQ，根据列方程求解；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，可得，结合二次函数的图象求解．
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