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第八单元测试
一、选择题
1．有8个外观相同的台球，其中一个是次品，略轻。欢欢用天平来找次品，第一次称的结果如右下图，可以推断（ ）一定是正品。
A．①、②、③、⑦和⑧ B．④、⑦和⑧ C．④、⑤和⑥
2．24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成（ ）份，然后再称。
A．2 B．3 C．4 D．6
3．9袋食盐中有1袋略轻，用天平至少称（ ）能保证找出它。
A．4次 B．3次 C．2次
4．有8瓶果汁，其中有一瓶少装了3毫升。用天平称，至少称（ ）次能保证找出这瓶少3毫升的果汁。
A．1 B．2 C．3
5．王师傅加工一批零件，其中有1个不合格，略轻一些。质检人员说用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个数范围是（ ）。
A． B． C． D．以上都不对
6．10瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用天平称，至少称（ ）次一定能找出变质的饮料。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在27个金币中，有一枚假金币，假金币除了质量轻一些外，其他无任何差别，如果用天平秤，至少称（ ）次就能保证找出这枚假金币。
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
8．8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（ ）。
A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧
二、填空题
9．有10袋盐，其中9袋每袋500g，只有一袋是490g用天平称，至少称( )次才能保证找出这袋较轻的盐。
10．用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？
待测物品个数 首次分成
6 （2，2，2）
14 （ ， ， ）
25 （ ， ， ）
11．在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少( )次才能保证找出这枚假金币。
12．小屯距离黔西南州贞仁县城西北方向25km，以古法造纸闻名于全国。贞丰小屯古法造纸严格按照《天工开物》一书中描述的流程生产，经72道工序，以刀、捆为单位计量，80张为一刀、70刀为一捆。如果每张纸的重量相同，在24捆纸中，有一捆张数不足，用天平至少称( )次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成( )份来称。
13．1箱糖果有24袋，其中有23袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称( )次才能保证找出这袋糖果来。
14．有18个零件，其中有一个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。
15．一箱牛奶有27盒，其中26盒有250mL，另一盒大约有242mL，至少称( )次才能保证找出轻的一盒。
16．有9盒饼干，其中8盒质量相同，另外1盒少了几块。假如用天平秤，至少称( )次能保证找出这盒饼干。
三、判断题
17．从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。( )
18．如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( )
19．21个小螺帽中有1个质量不合格，用天平至少称3次就能找出不合格的小螺帽。( )
20．从7个弹珠中找一个稍轻的次品，至少要称3次才能保证找出次品。( )
四、解答题
21．有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。
22．某奶粉厂做促销活动，在原有500g一袋的奶粉中赠送50g共550g，还按原价出售。由于工作人员一时疏忽，把一袋没有添加赠送的奶粉混入了包装箱中。在包装箱的6袋中，你能找到没有添加赠送的那一袋奶粉吗？
23．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
24．有5个外观一样的硬币，其中有一个假币比真币轻一些。用天平称的办法去找，至少称几次能把假硬币找出来？请写出过程。
《第八单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B B B C B
1．A
【分析】从图中可知，天平左右两边各放了3个台球，天平不平衡，左边重、右边轻。因为次品略轻，所以这个次品一定在右边的④⑤⑥中，由此推断哪些台球是正品。
【详解】根据第一次称的结果可知，天平左边的台球重，右边的台球轻。因为次品略轻，所以左边较重的①②③是正品，另外还没有称的台球⑦和⑧也是正品。
所以，可以推断①、②、③、⑦和⑧一定是正品。
故答案为：A
2．B
【分析】如果分成两份，每份的数量多，相对来就需要称的次数多；如果分成四份，最少要称4次，才能找出次品。所以最好是分成3份，这样能用最少的次数找出次品所在的位置。具体做法是先把24个零件分成（8，8，8），把两个8个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组。再把8分成（3，3，2），可找出有次品的一组。再把3分成（1，1，1），可找出次品。据此解答。
【详解】根据分析得，24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成3份，然后再称。
故答案为：B
【点睛】本题运用了找次品中最基本的方法，应让学生掌握平均分成3份再称是最快的方法。
3．C
【分析】第一次：把9袋食盐平均分成三份，每份3袋，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则略轻的食盐即在未取那3袋中（再按照下面的方法操作），若天平秤不平衡；再称第二次即可得解。
【详解】第一次称量：把9袋食盐分成3份，每份3袋，先把天平两边分别放3袋，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则质量轻的在剩下的3袋中，即可进行第二次称量：从剩下的3袋中拿出2袋，放在天平的两边各1袋，若天平平衡，则剩下1袋是质量轻的；若天平不平衡，则托盘上升一边为质量轻的；
情况二：若左右不平衡，则质量轻的在托盘上升的一边3袋中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3袋拿出2袋，放在天平的两边各l袋，若天平平衡，则剩下1袋是质量轻的；若天平不平衡，则托盘上升一边为质量轻的。
综上所述，至少需要称2次，才能找到那袋略轻的食盐。
故答案为：C
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
4．B
【分析】把8瓶果汁分成3瓶，3瓶，2瓶三组，第一次称找出含有次品的那一组；再把含有次品的那一组进行分组，第二次再称就可以找到次品，即找出这瓶少3毫升的果汁。
【详解】有8瓶果汁，其中有一瓶少装了3毫升。用天平称，至少称2次能保证找出这瓶少3毫升的果汁。
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的计算方法。
5．B
【分析】因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称3次，其中有1个不合格，则第一堆零件的个数在10个与27个之间。
【详解】（个）
（个）
所以这批零件的个数范围为。
故答案为：B
【点睛】此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。
6．B
【分析】把10瓶分成两组： 5瓶为1组，进行第一次称量，那么次品就在较重的那一组中；
再把较重的5瓶分成3组（2， 2， 1），2瓶为1组称量，如果左右相等说明剩下的1瓶是次品：左右不等，那么次品就在较重（天平较低）的那2瓶中，然后把较重的2瓶分为2组： 1组1瓶称量，那么较重（天平较低）的那一瓶就是次品。据此解答。
【详解】第一次：10瓶饮料平均分成2组，分别放天平两端，找出重的一组（天平端下沉）。
第二次：把含有变质的（略重）的5瓶分成2瓶、2瓶、1瓶。天平两端各放两瓶，如果平衡，则剩下的那一瓶就是变质的。如果不平衡，进行第三次称重。
第三次，略重的2瓶那一组，在天平的两端各放一瓶，重的天平端会下沉，找出变质的饮料。
由此得知：要想用天平找出变质的饮料，至少称3次。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查用天平找奖品的应用。注意分组是关键。
7．C
【分析】先把27个零件分成（9，9，9），在天平两边各放9个，若天平平衡，则假金币在剩下的9个中，再把9分成（3，3，3），在天平两边各放3个，若天平平衡，则假金币在剩下的3个中，再把3分成（1，1，1），在天平两边各放1个，若平衡，则剩下的那个就是假金币，若不平衡，则上升的那个就是假金币；若不平衡，则假金币在上升的那9个中，同理，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
如果用天平秤，至少称3次就能保证找出这枚假金币。
故答案为：C
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
8．B
【分析】从第一次情况中可知，③和④里面有一个是轻的；如果③和④都是轻的，就不会出现第二种情况。
从第二次情况中可知，⑦和⑧里面有一个是轻的；
结合两种情况，①、②、⑤、⑥肯定是一样重的，①＋③＋⑦＝②＋④＋⑥，假设④是标准的重量，则③是轻的，这个等式就不成立；假设③是标准的重量，则④是轻的，这个等式就不成立；为了保持等式成立，则⑦是轻的。
【详解】①＋②比③＋④重，说明③和④有一瓶矿泉水是次品（不能都是次品，因为若都是次品，那么不会出现：⑤＋⑥比⑦＋⑧重）；
⑤＋⑥比⑦＋⑧重，说明：⑦和⑧有一瓶是次品（同理，不能都是次品）；
根据：①＋③＋⑦与②＋④＋⑥一样重，
④和⑦是轻球。
故答案为：B
【点睛】推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。
解答简单推理题时，认真分析题目中的数量关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。
9．3
【分析】有10袋盐，其中一袋质量较轻，根据寻找次品的最优策略，可以将10袋盐分成3袋，3袋，4袋三份进行称量，找出次品。
【详解】将10袋盐分成3袋，3袋，4袋：
第一次称量：在天平两端各放3袋盐，平衡则次品在剩余4袋里面，如果不平衡则次品在轻的这边。
第二次称量：把3袋盐平均分成3份，取两份分别放在天平两端，如果平衡，则剩余那袋为次品，如果不平衡，则轻的是次品；把4袋盐平均分成2份，分别放在天平的两端，次品在轻的这边。
第三次称量：把2袋盐分别放在天平的两端，则次品是轻的那一边。
综上可知：至少称3次才能保证找出这袋较轻的盐。
【点睛】解答本题的关键是掌握用天平找次品的方法。
10． 5 5 4 8 8 9
【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。
【详解】由分析可知，要把待测物品尽量平均分成三份，若不能平均分，则个数相差1即可。
待测物品个数14个，首次可分为5、5、4；
待测物品个数25个，首次可分为8、8、9。
【点睛】本题考查找次品问题，明确分成三份的方法是解题的关键。
11．3/三
【分析】第一次，把27枚金币分成3份：9枚、9枚、9枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的那份分成3份：3枚、3枚、3枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次，取含有次品的一份（3枚），取2枚分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那枚，若天平不平衡，则较轻的为次品，据此即可找到次品。
【详解】在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少3次才能保证找出这枚假金币。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
12． 3 3
【分析】张数不足的这一捆，质量会较轻。要使得称的次数最少，则应尽可能地平均分成3份。第一次将24捆平均分成3份，将前两份放在天平的两端，推断出次品所在的一份。以此类推，不断缩小次品所在范围，直到找出次品。
【详解】第一次：将24捆纸分成（8，8，8），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品。如果平衡，则第三份含有次品；
第二次：将8捆纸分成（3，3，2），将数量相同的两份放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品。如果平衡，则第三份含有次品；
第三次：①将3捆纸分成（1，1，1），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边是次品。如果平衡，则第三份是次品；
②将2捆纸分成（1，1），放在天平两端，哪边轻哪边是次品。
所以，用天平至少称3次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成3份来称。
13．3
【分析】根据题意，本题和找次品是同类型题目，解题的关键是利用天平平衡原理来逐步进行排除，从而达到缩小范围的目的。找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将24袋糖果平均分成3份，每份8袋。
第一次把其中的两份8袋放在天平上称一称，如天平平衡，则这些称的糖果中没有轻的一袋，如天平不平衡，拿出轻一些的那8袋，继续称；
第二次把有1袋质量不足的糖果分成3袋、3袋和2袋，把其中的两份3袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的2袋里有1袋质量不足，如天平不平衡，则拿出轻一些的那3袋继续称；
第三次根据最不利原则，假设轻一些的在那3袋中，把其中2袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的那一袋是质量不足的，如天平不平衡，则轻一些的1袋是质量不足的。在上述描述中，找出质量不足的糖果的规律为：2~3个物品，至少称1次；4~9个物品，至少称2次；10~27个物品，至少称3次；28~81个物品，至少称4次；
24在10~27这个范围内，至少称3次才能保证找出这袋糖果来。
14．3
【分析】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。
【详解】把18个零件分成三份：（6，6，6），第一次，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；第二次，取含有较轻的一份（6个），分成三份：（2，2，2），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的继续称量；第三次，取含有较轻的一份（2个），2个分别放在天平两侧，即可找出较轻的次品。所以至少称3次才能保证找出次品。
【点睛】本题主要考查找次品的方法，关键是尽可能的把物品平均分成3份。
15．3
【分析】将27盒牛奶平均分成（9，9，9）三份，任意取两份放在天平的两端，若天平平衡，则较轻的一盒再未取的9盒中；若天平不平衡，则较轻的一盒在天平上升的一端。再将有轻的一端的9盒再平均分成（3，3，3）三份，按照上述方法称重，直到找出次品为止。
【详解】将27盒牛奶平均分成（9，9，9）三份，任意取两份放在天平的两端。
若天平平衡，则较轻的一盒在剩下的一份中。
将剩下的9盒平均分成（3，3，3）三份，任意取两份放在天平的两端，若天平平衡，则较轻的一盒在剩下一份中，在剩下的三盒中任意取两盒放在天平的两端，较轻的一盒在天平上升的一端；若天平不平衡，较轻的一盒在天平上升的一端，将有较轻的一端中任意取两盒放在天平的两端，找到较轻的一盒。
若天平不平衡，则较轻的一盒在天平上升的一份中。
将有较轻的9盒平均分成（3，3，3）三份，任意取两份放在天平的两端，若天平平衡，则较轻的一盒在剩下一份中，在剩下的三盒中任意取两盒放在天平的两端，较轻的一盒在天平上升的一端；若天平不平衡，较轻的一盒在天平上升的一端，将有较轻一端中任意取两盒放在天平的两端，找到较轻的一盒。
所以，一箱牛奶有27盒，其中26盒有250mL，另一盒大约有242mL，至少称3次才能保证找出轻的一盒。
16．2
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】第一次：把9盒饼干平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即在未取的3盒中，若天平秤不平衡（再按照下面的方法操作）；第二次：把天平秤较高端的3盒饼干，任取2盒，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即是未取的那盒，若天平秤不平衡，天平秤较高端的那盒即为质量不足那盒，则至少称2次能保证找出这盒饼干。
【点睛】本题考查找次品问题，解决这类问题的关键是将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份。
17．√
【分析】第一次，把10件物品分成3份：3件、3件、4件，取3件的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻物品的一份（3件或4件），取2件分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，则天平较高的一端为较轻的物品；
第三次，取含有较轻物品的两件分别放在天平两侧，即可找到轻的物品。
【详解】从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来，说法正确；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
18．√
【分析】把10个零件分成3份，即（3，3，4）﹔第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。
【详解】
根据分析得，
用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。
故答案为：√
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
19．×
【分析】根据找次品的方法，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出次品。
【详解】第一次，把21个小螺帽平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则不合格的在未取的一份，若天平不平衡；
第二次，取较轻的一份与第三份分别放在天平两侧，若天平平衡，则第二份含质量不合格（较重）的，若天平不平衡，则第一份含有质量不合格（较轻）的螺帽；
第三次，取含有质量不合格（假设较重）的一份（7个）分成3份：2个、2个、3个，取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，不合格的在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第四次，取含有不合格螺帽的一份（2个或3个）中的2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个为质量不合格螺帽，若天平不平衡，则较重的一个为不合格螺帽。
所以，至少4次一定能找出不合格的小螺帽。
故答案为：×
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
20．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把7个弹珠按照3、3、1分成3份，
第一次：把其中3个的两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那个是，若天平秤不平衡；
第二次：从天平秤较高端的3个中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那个是，若天平秤不平衡，则天平秤较高端的那个即是。
所以利用天平，至少称量2次才能保证找出这个次品，原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意分的每份中弹珠的个数。
21．3；见详解
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此设计方案即可。
【详解】答：方案设计如下：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次能确保找出少了3片的那一瓶。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
22．能
【分析】根据找次品的办法，一般把物品分成几份，尽量平均分，然后进行称量，由此进行解答即可。
【详解】把6袋奶粉平均分成两份，每份3袋，用天秤称，然后再把轻的平均分成三份再称一次就可以找出没有添加赠送的那一袋奶粉。
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。
23．2次
【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。
【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次）
答：至少称2次能保证找出次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。
24．2次；过程见详解
【分析】把5个硬币平均分成3份，分成2枚，2枚，1枚，第一次，一边2枚，哪边轻就在哪边，一样重就是剩余的那1枚；第二次，一边1枚，哪边轻就在哪边，一样重就是剩余的那枚；进而得出结论。
【详解】至少2次：第一次，一边2枚，哪边轻就在哪边，一样重就是剩余的那1枚；第二次，一边1枚，哪边轻就是哪枚，一样重就是剩余的那枚。
【点睛】解答此题的关键：（1）应明确找次品的方法；（2）所需次数最少。
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