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2025届高三第二次适应性调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ）
A. 210 B. 35 C. 40 D. 120
6. 在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（）
A. 4 B. C. D. 6
7. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1）
B. 当且时，
C. ，
D. 若存在极值点，且，其中，则
10. 对一列整数进行如下操作：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入第二个整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为．若数列满足，，现把数列的前2025项随机地输入，则（ ）
A. 最小值为0 B. 的最小值为1
C. 的最大值为2025 D. 的最大值为2024
11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（ ）
A. 勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值大于3
B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是
C. 勒洛四面体四个曲面交线长的和为
D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则________．
13. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________．
14. 甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为．若存在球与正三棱台的5个面同时相切，求：
（1）正三棱台的体积；
（2）正三棱台的表面积．
16. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知，为常数．
（1）若，，求面积的最大值；
（2）若，，求的值．
17. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值；
（3）在（2）的条件下，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值．
18. 某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为．
（1）食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）
套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计
满意 20 40 60
不满意 30 30 60
合计 50 70 120
参考数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？
（2）若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值；
（3）设员工小李第n天选择B套餐概率为，求．
19. 设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．
（1）如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；
（2）已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；
（3）设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．
A
C
B
A
C
B
B
D
ABD
BC
AD
15.（1）在正三棱台中，取BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，
连接，设，内切球半径为r，则，棱台的高为2r，
于是，，同理，
由内切球与平面相切，切点在上，得，
在等腰梯形中，，则，
在梯形中，，则，解得，
因此棱台的高，棱台的体积为．
（2）由（1）知，在正三棱台中，，斜高，
所以正三棱台的表面积
16.（1） 由，，得，而，
由余弦定理得，则，
于是的面积，
整理得，其中锐角由确定，
而，则，因此，当且仅当时取等号，
由，解得，所以面积的最大值.
（2）由，，得，由正弦定理得，
又
，
整理得，而，所以.
17.（1） 由题意，，
当直线的斜率为1时，直线的方程为，设，
联立，得,
则，,
所以，即，
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）知，，
设，直线，
联立，可得，
则，
设直线，
联立，得，
则，，即，
同理可得，即，
又，且，
所以，
将，，代入得，
又，则，又，则.
（3）因为直线、的倾斜角分别为、，
所以，，
由，，，
则，
则，
若要使最大，则，设，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
18.（1） 零假设：认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善无关，
由已知数据计算，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受，
因此认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系.
（2）依题意，，令，
，当且仅当时取等号，
当时，，当时，，即当时，数列单调递减，
于是，
所以的最大值为，此时或.
（3）由员工小李第n天选择B套餐的概率为，得员工小李第n天选择A套餐的概率为，
因此，而，
，又，因此，所以.
19.（1） 设，
则由，解得，
又，
而，因此，解得.
当时，；
当时，，
当时，，
即，符合题意，
所以或.
（2）由是由“生成”的，是由“生成”的，
得，则，
于是或，而，因此，
若，则，，
若，且，
假设是第一个使不同时为0的整数，则，
此时，而，则，矛盾，
从而不存在使不同时为0的整数，
所以.
（3）设分别表示的前项和，
即分别是由-生成"的，
由，得；
当时，.
于是，同理，
而，则，
，，
.
所以，，
令，则，
，，
因此，
所以取到最小值.

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