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2.有理数及其大小比较
1.有理数
(1)整数和分数统称为有理数。
(2)有理数包含正数、0和负数。
(3)0既不是正数也不是负数。
2.数轴
(1)用一条直线上的点表示数,这条线叫作数轴,其中0点被称为原点。
(2)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度。
3.相反数
(1)定义
在数轴上,一个数与其对应的点关于原点对称的点所表示的数,我们称之为这个数的相反数。
如图所示,1和-1,2和-2都是一对相反数。
(2)性质
①和为零:任意实数a 与其相反数-a 的和等于零,即a+(-a)=0;②唯一性:一个数的相反
数是唯一的。即,对于任意实数a,满足a+(-a)=0,其中(-a)是唯一的;③互反性:如果a
是b的相反数,那么b也是a 的相反数。即,如果a+b=0,则-a=b且a=-b;④零的特殊
性:零的相反数是它本身,即0的相反数是0。
4.绝对值
(1)定义
指一个数在数轴上所对应点到原点的距离,用“|a|”来表示。如图所示,-2到0的距离为2,
可以表示为|-2|=2;同样的,1到0的距离为1,可以表示为|1|=1。
(2)性质
①非负性:绝对值总是大于或等于零,即对于任意实数a,都有|a|≥0;②正数的绝对值:正数
的绝对值是它本身,即如果a>0,则|a|=a;③负数的绝对值:负数的绝对值是它的相反数,
即如果a<0,则|a|=-a ;④0的绝对值是0,即|0|=0。
5.有理数大小的比较
有理数大小比较的方法主要有以下几种:
方法一:直接比较法:
①对于正数,数值大的数较大。例如,5>3;②对于负数,绝对值大的数反而小。例如,-5<
-3;③正数大于0,0总是大于负数。例如,5>0,0>-3。
方法二:数轴比较法:
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在数轴上,右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数。
方法三:作差比较法:
对于任意两个有理数a 和b,计算它们的差a-b。
①如果a-b>0,则a>b;②如果a-b=0,则a=b;③如果a-b<0,则a例1 下列说法中,正确的是 ( )
A.正数和负数统称为有理数
B.整数和分数统称为有理数
C.正有理数和负有理数统称为有理数
D.以上说法都不对
解析:A选项:正数、负数和0统称为有理数,错误;B选项:整数和分数统称为有理数,正确;C选
项:正有理数、负有理数和0统称为有理数,错误。故选B。
答案:B
例2 在数轴上,点A 表示的数是-3,点B 表示的数是5,则点A 在点B 的 ( )
A.左边 B.右边 C.上边 D.下边
解析:作出数轴可知,点A 在点B 的左边。
答案:A
例3 下列各数中,与-3互为相反数的是 ( )
1 1
A.3 B.-3 C.3 D.-3
解析:根据相反数定义解答。
答案:A
例4 在数轴上,点A 表示的数是-5,点B 表示的数是4,求A,B 两点间的距离。
解析:AB=|4-(-5)|=9。
答案:见解析。
例5 利用作差法比较a=-231和b=-2.33的大小。
解析:a-b=-231-(-2.33)=-228.67,-228.67<0。
答案:a一、选择题。
1.下列说法中,错误的有 ( )
4
①-2 是负分数;②1.5不是整数;③非负有理数不包括0;④正整数、负整数统称整数;7 ⑤0
是最小的有理数
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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2.计算:-|-5|= ( )
1 1
A.5 B.-5 C.5 D.-5
3.手机信号的强弱通常采用负数来表示,绝对值越小表示信号越强(单位:dBm),则下列信号最
强的是 ( )
A.-50 B.-60 C.-70 D.-80
4.下列说法中错误的是 ( )
A.若a=b,则
1
|a|=|b| B.有理数a 的倒数是a
C.所有的有理数的绝对值都是非负数 D.若a2=b2,则|a|=|b|
5.下列比较两个有理数的大小正确的是 ( )
1 1 5 10 7 6
A.-3>-1 B.4>3 C.-6<-11 D.-9>-7
6.如图,在数轴上,点A,B 分别表示数a,b,且a+b=0,若AB=8,则点A 表示的数为 ( )
A.-4 B.0 C.4 D.8
7.已知|a|=6,|b|=4,且aA.-2 B.-2或-10 C.-10 D.2或10
8.已知a,b两数在数轴上的位置如图所示,则代数式|a-b|的结果是 ( )
A.a B.0 C.a-b D.b-a
9.若|-2a|=2a,则a 的取值范围是 ( )
A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a<0
二、填空题。
10.正分数和负分数统称为 。
11.若a,b互为相反数,c,d 互为倒数,则2021a+3cd+2021b= 。
12.若213.若|x|=5,|y|=3,且x14.已知|a|=2,|b|=4,且a,b异号,则a+b= 。
15.已知有理数a,b,c,其中a 是最大的负整数,b是绝对值最小的数,c是倒数等于本身的数,则
a+b+c的值是 。
三、解答题。
16.如图,写出数轴上点A,B,C,D,E 各表示什么数。
48
17.某车间生产一批圆形机器零件,从中抽取6件进行检验,比规定直径长的毫米数记为正数,比
规定直径短的毫米数记为负数,检查记录如下:
抽取次数 1 2 3 4 5 6
直径(mm) +0.2 -0.3 -0.1 +0.3 +0.5 -0.2
指出第几个零件最好 并说明理由。
18.已知在纸面上有一个数轴(如图),折叠纸面。
(1)若表示-2的点与表示2的点重合,则表示1的点与表示 的点重合。
(2)若表示1的点与表示-3的点重合,回答下列问题:
①表示3的点与表示 的点重合;
②若数轴上A,B 两点之间的距离为10(A 在B 的左侧),且A,B 两点经折叠后重合,求A,
B 两点表示的数多少
19.定义:数轴上表示整数的点称为整点。在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB。
(1)某数轴的单位长度是1cm,求盖住的整点的个数。
(2)若将数轴的单位长度改为2cm,求盖住的整点的个数。
20.操作与探索:
(1)如图,写出数轴上点A,B,C,D 表示的数。
(2)请你自己画出数轴并表示有理数:
5
- ,。23
(3)如图,观察数轴,回答下列问题:
①大于-3并且小于3的整数有哪几个
②在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么
49四、1.600人 2.60人 3.略
第二部分 新知预习
五、1.500粒 2.392粒 图略 3.C 型号
专题十一 概率与可能性 一、有理数
一、
1.2 3 2.相 3.(1)可能 (2)一定 1.正数和负数
() ()
3 可能 4 可能 4.3 黄 红 1.B 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D
5.1,2,3 7.C 8.B 9.B 10.A 11.-259
、 二 1.D 2.C 3.A 12.23:00 13.-80 14.+1007 15.30.04
三、1. 2. 3. 29.97 16.(1)92分 (2)70分 (3)80.5分
、 四 要使摸到黑球的可能性最小,则盒子里面 17.以海边堤岸高度为基准,将其记为0
只有1个黑球;要使一定摸到黑球,则盒 米,建筑物比海边堤岸高出50-12=38(米),
子里面全部是黑球;6÷2=3(个),盒子里 因而记作+38米,潜水艇比海边堤岸低30+
面有3个黑球,其余是白球。 12=42(米),因而记作-42米。 18.(1)10
+2=12(米),所以以水面为基准,这名运动
员指 尖 的 高 度 为 +12 m,池 底 的 深 度 为
-5.4m。 (2)10+5.4=15.4(米),所以以
跳台为基准,池底的深度为-15.4m,水面的
高度为-10m。
2.有理数及其大小比较
1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A
五、1.一共有:6×6=36(种)可能,和为奇 7.B 8.C 9.B 10.
分 数 11.3
数:3×3+3×3=18(种),和为偶数:3×3 12.2x-7 13.-8或-2 14.±2 15.0
+3×3=18(种),所以两人赢得可能一 或-2 16.A 表示-4,B 表示1.5,C 表示
样大。 0,D 表示-1.5,E 表示4。 17.第三个零
件最好,2. 理由
:|+0.2|=0.2,|-0.3|=0.3,
|-0.1|=0.1,|+0.3|=0.3,|+0.5|=
0.5,|-0.2|=0.2,因为0.1<0.2<0.3<
0.5,所以第三个零件的尺寸最接近规定尺寸,故
第三个零件最好。 18.(1)-1 (2)①-5
(答案不唯一) ②-6,4 19.(1)2021或2020个 (2)1011或
3.(1)黑色比白色多即可(答案不唯一)。 1010个
(2)黑 色 和 白 色 份 数 相 等(答 案 不 20.(1)A,B,C,D 表示的数分别是-3,-1.5,
唯一)。 0,2。 (2)如图所示:
93

1
16.(1)抽取-3,-5,+ ,最大值为60。
(3)① 4
(2)抽取
1
-5,+ ,+3,最小值为-60。
由数轴得,大于-3并且小于3的整数有5 4
个:-2,-1,0,1,2;②在数轴上到表示-1的 17.①不成立;②不成立;③不成立。
点的距离等于2个单位长度的点表示的数是 18.(1)9 (2)-9 (3)在运算后,它们的值
-1-2=-3;-1+2=1。 相等。
3.有理数的乘方
二、有理数的运算
1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D
1.有理数的加法与减法 7.B 8.D 9.A 10.C 11.2
5 12.-3
1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 或3 13.25.6mm 14.> < = =
7.B 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 915.6 16.(1)81 (2)-81 (3)-8 (4)4
1
13.-5 14.3 15.-1 16.1 () 36 ()8
5 -49 6 125 17.∵|a-2|+ 17.(1)-1 (2)-3 18.(1)8 (2)-30
2
1 (b+1)=0,∴a-2=0,b+1=0,解得:a=(3)-7 (4)-60 (5)-3 (6)-7 ()5 7-2 2,b=-1,∴当a=2,b=-1时,原式=2×2
(8)-1 ×1-4×(-1)=8,即2ab2-a2b的值是8。
19.(1)458-(-27.8)-(-70.3)-200-
三、代数式
138.1-38-188=-8,∴星期五的盈亏数为
-8。 (2)由于-8是负数,故星期五亏了, 1.列代数式表示数量关系
亏了8元。 (3)200-(-70.3)=200+ 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B
70.3=270.3(元)。所以盈利最多的一天比 7.D 8.C 9.A 10.100y+x 11.(2a
亏损最多的一天多270.3元。 +1)2- (2a-1)2=8a 12.5a-6
2.有理数的乘法与除法
π 3 2 反 16 1.A 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 13.1-4a 14.16m 15. 16.-257
5
7.B 8.①②③④ 9.-32 10.0 11.- 17.(1)12n (2)
a-2
2 m
2 (3) 5
7 2 49
12.(1)- (2)- 或17 3 -6 13.
(1)33 () 15041.15m 18.(a2-b2)mm2 19.(1)v
( 25 42
1
2)1 (3) (16 4
)-19 14.-14 时
150
(2) 时 (v+10 3
) 150 150v - 时v+10
15.(1)运算顺序错误 符号错误 (2)原式
a 1
20.(1) (2)-a2 (3) (3x+y)
=(-15)÷ 1- ×6=(-15)×( b+1 26 -6)×6= 1 2 () ( ) ()
90×6=540 4 x- -y 21.1ab-bx-ax+x
2

94

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