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洛阳强基联盟高二5月联考
数 学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ）
A.19 B.20 C.40 D.200
2.已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（ ）
A. B. C. D.1
3.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
4.设某制造公司进行技术升级后的第x个月（，2，3，4，5）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ）
A. B.1 C.3 D.6
5.有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A.24种 B.48种 C.96种 D.144种
6.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ）
A.0.036 B.0.044 C.0.966 D.0.956
7.篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则（ ）
A.1.2 B.2.4 C.2.16 D.2.52
8.重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动.某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（ ）
A.8 B.7或8 C.9 D.8或9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列结论错误的是（ ）
A.两个变量的相关性越强，相关系数r越大
B.利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上
C.对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大
D.在2×2列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍
参考公式：，其中.
10.下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ）
A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024
C.展开式的常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大
11.已知甲袋中有3个红球，乙袋中有2个黑球1个红球.从两袋中各随机摸出1个球，放入对方袋中，如此反复n次，记甲袋中恰有2个红球的概率为，甲袋中恰有1个红球的概率为，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 .
13.已知，则 .
14.若（），则的值被4除的余数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目.
（1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数；
（2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数.
16.（本小题满分15分）
近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人.
（1）用2×2列联表表示上述数据；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？
附：，其中.
0.1 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
17.（本小题满分15分）
某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下：
学生编号 1 2 3 4 5 6
测试成绩 60 85 80 78 90 91
（1）若该校高二年级有600名学生，将样本频率视为概率，在高二年级学生中任意抽取2人，求在2人中至少有1人是“体质优秀”学生的前提下，恰有1人是“体质优秀”学生的概率.
（2）若从这6名学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求X的分布列与数学期望.
18.（本小题满分17分）
随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79
（1）小张同学根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程；
（2）利用相关系数r可以判断两变量间线性相关性的强弱，越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值.用相关系数比较两模型哪一个更有价值？
参考公式：，，.
参考数据：，，，，（其中）.
19.（本小题满分17分）
已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题.假设两人选对一个单选题的概率都是.
（1）设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望；
（2）若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望；
（3）已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高.
洛阳强基联盟高二5月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为.故选A.
2.C 由题意，得，所以.故选C.
3.B 因为，所以，又，所以.故选B.
4.B 因为时的预测值为，所以残差为.故选B.
5.D 先把3名女生捆绑到一起，有种排法，再把她们与另外3名男生排列，有种排法，则不同的坐法有种坐法.故选D.
6.B 设事件B为“取到的产品是次品”，（，2）为“取到的产品来自第i批”，则，，，，由全概率公式，可得.所以这件产品是次品的概率为0.044.故选B.
7.C 由题意知，随机变量X的可能取值为0，3，因为，，所以，.故选C.
8.D 若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为X，则，若抽到k名女性的可能性最大，则，所以，解得，又，故或9.故选D.
9.AC 对于A，两个变量的相关性越强，越大，A错误；B正确；对于C，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，C错误；对于D，若，每个数据都变为原来的2倍，则，D正确.故选AC.
10.BD 由题意可知，展开式共有11项，故A错误；展开式的二项式系数之和为，故B正确；展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项为，故C错误；当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确.故选BD.
11.ABC 当时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球两种情况，所以，；当时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球两种情况、甲袋中恰有1个红球2个黑球3种情况，所以，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，，又，所以，.故选ABC.
12. 因为，，，所以.
13.9 由题意，得，所以，.
14.3 令，得，因为，所以当r为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即（），当r为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即（），所以，又，故被4除余3.
15.解：
（1）若任意选择三门课程，则不同的选法总数为种.
（2）解法一：物理和历史不能同时选包含2种情况：物理和历史中选择一个，物理和历史都没有选，若物理和历史中选择一个，不同的选法总数为；若物理和历史都没有选，不同的选法总数为.综上所述，物理和历史不能同时选时不同的选法总数为种.
解法二：任意选择三门课程，则不同的选法总数为种，若物理和历史同时选，则不同的选法总数为种，所以物理和历史不能同时选时不同的选法总数为种.
16.解：
（1）2×2列联表如下：
女性 男性 合计
关注配料表 30 50 80
不关注配料表 70 50 120
合计 100 100 200
（2）零假设为：消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别无关.
由题意可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关.
17.解：
（1）高二年级随机抽取的6名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为，
若将样本频率视为概率，在高二年级学生中任意抽取1人，此人是“体质优秀”学生的概率为.
设2人中至少有1人是“体质优秀”学生为事件A，恰有1人是“体质优秀”学生为事件B，
则，，
所以，即所求的概率为.
（2）高二年级抽取的6名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有4人.
所以X的可能取值为0，1，2，
，，，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
18.解：
（1）将两边取对数，得，令，
由题意得，，，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
（2）因为回归直线方程为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以该经验回归方程有价值.
因为，，
所以，
所以u与x线性相关性强，其经验回归方程有价值，
又，
所以模型更有价值.
19.解：
（1）由题意，得，
所以，即X的数学期望为2.
（2）由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为.
设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，，
所以，.
又此次考试中乙同学选择题的得分为，
所以.
（3）对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为Z，则Z的所有可能取值为0，6，
所以Z的分布列为
Z 0 6
P p
所以此题的得分期望是（），
所以我们只需要比较3和6p的大小关系即可，
当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项；
当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以；
当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项.

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