资源简介

2025年中考押题预测卷（山东青岛卷）
数学
注意事项：
1．考试时间120分钟，试卷满分：120分。答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．（本题3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形图
C．希尔伯特曲线 D．斐波那契螺旋线
2．（本题3分）2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某运动”步数，小南查到的步数是16000步．将数据16000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
5．（本题3分）如图，矩形的顶点，若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，圆的直径为6，四边形内接于，连接，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．0
9．（本题3分）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
10．（本题3分）实数，在数轴上对应位置如图所示，则．．
11．（本题3分）代数式与代数的值相等，则．
12．（本题3分）习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为．（计算结果保留）
13．（本题3分）对于实数定义新运算：，例如，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是．
14．（本题3分）如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是．
15．（本题3分）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时．其中正确的是．（只需填写序号）
三、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
16．（本题4分）如图，在四边形中，，用圆规和直尺在上取一点，使得．（只保留作图痕迹，不写推理过程和作图步骤）
四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.）
17．（本题9分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．
18．（本题6分）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）．
某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述．
下面给出了部分信息：
信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息．
结合信息一解决下列问题：
（1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________；
（2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组；
（3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？
信息二：
抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表：
运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试
平均分
方差
（4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议．
19．（本题6分）为了让同学们更多地了解家乡文化，在某次班会上，甲、乙准备从“．临夏砖雕、．傩舞傩戏、C．河州泥塑、．保安腰刀”这四个传统的非物质文化遗产中，各选一个进行学习并做演讲．班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别粘贴了这4个非物质文化遗产的图画．将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，放回后乙再随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行准备．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是_____；
（2）请用列表或画树状图的方法，甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率．
20．（本题6分）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？
21．（本题8分）根据如下素材，完成探索社务．
背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．
素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元．
素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件
素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台．
解决问题
任务 求、两种型号智能机器人的单价；
任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
22．（本题8分）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题：
（1）代数式的最小值为；
（2）求代数式的最大或最小值．
23．（本题8分）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当，，时，求的长．
24．（本题10分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段的最大值；
（3）是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
25．（本题10分）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．
（1）定义理解
请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可）
（2）深入探究
如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可）
（3）拓展运用
在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离．
参考答案
一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分。下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．A
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2．C
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法。科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据16000用科学记数法表示为．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了合并同类项，二次根式的性质，幂的乘方，负整数幂．根据运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了用频率估计概率；解题关键是通过频率估计概率，用概率求黑球的个数．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，设布袋中黑球的个数可能有x个，列出方程求解即可．
【详解】解：设布袋中黑球的个数可能有x个，
依题意得：
，
解得，
经检验，符合题意，
故布袋中黑球的个数可能有个．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了旋转变换，矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．根据题意得出，过点作轴于点，求出，求出，再根据题意矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，第秒时，点的位置，进而得到点的坐标．
【详解】解：矩形的顶点，，
，
如图，过点作轴于点，
，
，，
，
矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，
秒，
每秒旋转一周，
，
旋转第秒时，点在轴的负半轴，
此时点的坐标为，
故选：C ．
6．C
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是矩形，则，，由平行线的性质可得，然后通过等边对等角得出，，然后由平角定义求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7．B
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，先求出，再运用圆周角定理得，然后根据弧长公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可．
【详解】解：当时，
，
，
，
，
，
……，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可．
【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象；
当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求．
故选：A．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
10．
【分析】本题考查了数轴的特点，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质化简是解题的关键．
根据数轴得到，结合因式分解，二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：根据题意，可得，
∴，
∴
，
故答案为：．
11．7
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
先根据题意列出方程，再解分式方程，再检验即可．
【详解】解：由题意得，，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为，
故答案为：7．
12．
【分析】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．
【详解】解：根据题意可得：，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，根据新运算列出一元二次方程，根据方程有2个相等的实数根，得到，进行求解即可．
【详解】解：，
∵方程有2个相等的实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接，过A作于M，在上截取，连接，由菱形的性质推出，，判定，推出，得到，判定是等边三角形，求出，判定F、G、K共线，且，由菱形的性质推出，，求出，得到，于是．
【详解】解：连接，过A作于M，在上截取，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴F、G、K共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
15．①②③
【分析】由图象可得对称轴为直线，可得，可判断①；将点A坐标代入解析式可得，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求或，可判断④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
故①正确，
当时，，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵二次函数，
∴点，
∴，，
当时，，
∴（正数值已舍去），
当时，，
∴（正数值已舍去），
∴当是等腰三角形时，a的值有2个，
故③正确；
∵二次函数，
∴顶点，
∴，，，
若，可得，
∴，
∴，
若，可得，
∴，
∴，
∴当是直角三角形时，或，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
16．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，尺规作角平分线，作的角平分线，与交点即为，此时由，，可证明．
【详解】解：如图，点即为所求点
四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.）
17．（1）；（2）
【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握各自求解方法和解题步骤是解题的关键；
（1）通过去分母转化为整式方程，即可求解；
（2）分别解两个不等式，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）方程两边同乘，得
解得
检验：当时，，
∴原方程的解为．
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
18．（1）；；
（2）；
（3）人；
（4）见解析．
【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可；
共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组；
利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可；
从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩．
【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，
从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的，
抽取的总人数为：（人）
第组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
第组有人，占比为：，
∴，
第组有人，
第组占抽查总人数的，
扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：，
故答案为，；
总共抽查了人，
中位数是第、名成绩的平均数，
第1组和第2组总人数是24人，
从条形统计图中可知：第、名位于第组，
抽取的这些学生的中位数位于第组；
从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生，
利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人；
、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素．
建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内；
加强锻炼增强肺活量；
加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可）
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是．
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果有12种，
∴甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率为．
20．
【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键．
连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，过点A作，交于点K，过点作，得出，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得．
【详解】解：设上升的高度为，
连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，过点A作，交于点K，过点作，
，
，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
于点，，
，
，
，
，
，
．
，即，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
．
答：点在竖直方向上上升了．
21．任务：万元、万元
任务: 型号智能机器人台，型号智能机器人台
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键．
任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，
则购买型号智能机器人台，
根据题意得：，
∵，
解得：，
∴，
∵，，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值（万件），
（台），
即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多．
22．（1）；（2）最大值为10
【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键：
（1）仿照题干的方法进行求解即可；
（2）仿照题干的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
∵，
∴，
∴当时，有最小值为；
（2）
；
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值为10．
23．（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
，，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：或,（舍去），
即，
由（1）得：，
，
．
24．（1）
（2）有最大值
（3）或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解；
（2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可；
（3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
25．（1）见解析
（2）四边形是对等垂美四边形，理由见解析
（3）3或
【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键．
（1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可；
（2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论；
（3）分是直角和为直角两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所作的对等垂美四边形；
（2）是，理由如下：
解：连接，交于点，设与交于点，
由题意知，，，，
∴，
即
在和中，
∴
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴在四边形中，，，
∴四边形是对等垂美四边形
（3）解：当是直角时，点与点重合，如图，
∴点到的距离即为，
∵，
∴点到的距离为3；
当为直角时，如图，
∵，，
∴，
设点到的距离为，
∴，即，
∴，
综上，点到的距离为3或．

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