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2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（二）山东省枣庄市第八中学高三二模
一、单选题
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．六边形
5．将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
6．子贡曰：“夫子温 良 恭 俭 让以得之”，“温 良 恭 俭 让”指五种品德：温和 善良 恭敬 节俭 谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ）
A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种
7．已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为的函数满足，且，记，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．为等差数列 D．
二、多选题
9．已知随机变量，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
11．设，记曲线与直线，轴所围成的封闭区域的面积为，数学家牛顿研究发现：，则（ ）
A． B．
C．S D．
三、填空题
12．已知向量，则的值为 .
13．在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 .
14．在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥体积的最大值为 .
四、解答题
15．甲 乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率分别为，乙通过初试和复试的概率均为，两人是否通过面试相互独立.
（1）求甲 乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率；
（2）设两人中被录用的人数为，求的分布列及数学期望.
16．在中，为BC的中点，点满足.将沿AD折起，使点B到达点的位置，连接，如图.点满足，二面角的大小为.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线DN与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
18．已知抛物线的焦点为为上一点，且.
（1）求的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围.
19．设，数列共有k项，定义：若，且这k项的和为1，则称为“和谐数列”.记.
（1）若等差数列为“和谐数列”，，且共有6项，求的公差；
（2）若为“和谐数列”，，比较与的大小，并说明理由；
（3）若为“和谐数列”，为正项数列，证明：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意得，则，
所以.
故选A
2．【答案】C
【详解】作出Venn图，如图，
对于A，，故A错误；
对于B，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故D错误；
故选C.
3．【答案】C
【详解】由及，得，
由余弦定理，得，
因为，所以.
故选C
4．【答案】C
【详解】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接，
分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面.
故选C
5．【答案】B
【详解】由题意可得，
因为，
所以，
所以，
即，且.
因为，当且仅当时，取到最小值.
故选B
6．【答案】D
【详解】先把字相同的卡片看成—组，
第一步：从这5组中选出—组，
第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选—张卡片，
第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学，
所以不同的分配方案有种.
故选D
7．【答案】D
【详解】
设，，则，
所以，.
又，，
所以.
因为直线与垂直，所以，
，所以，所以.
又，所以，的离心率.
故选.
8．【答案】D
【详解】对于A，令，则.
又，故，即，故A正确；
对于B，C，令，则.
由，可得.
令，则，所以，即，故B，C正确；
对于D，由，可得，故D错误.
故选D
9．【答案】BCD
【详解】对于A，由题意，得，故A错误；
对于B，又，所以，故B正确；
对于C，因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，
所以，故C正确；
对于D，由对称性，得，
所以，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】.
因为的最小正周期为，所以，解得，故A正确；
.因为，所以.而，故B错误；
当时，单调递减，故C正确；
令，得.令，可得图象的一个对称中心为点，故D正确.
故选ACD
11．【答案】AD
【详解】对于A，由题意，，
而，
所以，故A正确；
对于B，，
，
则，所以，故B错误；
对于C，，
令，则，
而，故C错误；
对于D，如图，设直线分别与曲线交于两点，
与轴交于两点，
则，
则梯形ABCD的面积为，
由图可知，，故D正确.
故选AD.
12．【答案】/
【详解】因为，
所以.
因为，
所以，解得.
13．【答案】或
【详解】设，则由，得，
化简整理得，圆心为，半径为.
设圆心到直线的距离为，
因为，所以，，
所以，解得或.
14．【答案】
【详解】如图①，设的外接圆的圆心分别为，半径为，三棱锥的外接球的球心为O，半径为，取AB的中点为E，连接，.
在中，由正弦定理，得，即，同理可得.
因为侧面底面，侧面底面，面，所以底面，所以.
由外接球的性质可得底面侧面，所以四边形为矩形.
在中，，
因为，所以，所以球的表面积为.
设三棱锥的高为h，过作于点H，
由面面垂直的性质可得，底面，即为三棱锥的高.
及其外接圆如图②所示，由图可知，当位于劣弧的中点时，最大，最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为.
15．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）记“甲 乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试”为事件A，
甲通过初试且没有通过复试的概率为，
乙通过初试且没有通过复试的概率为，
所以，
即甲 乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率为.
（2）由题意知的所有可能取值为.
甲被录用的概率为，
乙被录用的概率为，
所以，
，
，
则的分布列为
X 0 1 2
P
16．【答案】（1）证明见解析
（2）.
【详解】（1）由，得，
则，而平面平面DMN，
所以平面
（2）由为BC的中点，得，
将沿折起后，，则是二面角的平面角，
而二面角的大小为，则，
又平面，则平面，在平面内过作，
以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
不妨设，则，
则，
设平面的法向量为，则，取，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）解：由题意得，
则.
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即.
（2）由（1）得，
令，则.
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
即.
①当时，在上单调递增.
②当时，由，得；由，得，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（3）证明：当时，要证，
只需证，
即证.
由（2）得，即，
即，需先证.
令，
则.
令，
则，
所以在上单调递增.
又，
则当时，；
当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，
则成立.
综上，.
18．【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）解：因为点在C上，
所以.
因为，所以，
则，解得，
所以的方程为.
（2）
（i）证明：法一：由题意知直线的斜率存在，.
设直线的方程为，
联立）得，
则，
，
，
所以，
解得或.
当时，直线的方程为，过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为，恒过点.
综上，直线BD过定点.
法二：由题意知，设，
则，
同理可得.
由，得，
整理得①.
直线BD的方程为，
，
两式相加得，
即，
即.
由①得，故直线BD过点.
（ii）解：设，易知直线和的斜率均存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为，
此时，
则.
由，得.
联立得，
由，得，
同理，所以，
则，
同理可得，
所以，
，
由题意得
.
因为在和上均单调递增，
所以，
又，
即16，
所以.
19．【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）解：设的公差为，由题意得.
因为是等差数列，，
所以，解得.
（2）解：，理由如下：
因为为“和谐数列”，
所以，
即.
令，
则.
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
即.
要证，
只需证，
即证，
只需证，
只需证.
因为，
所以，得证.
（3）证明：要证，
只需证，
即证.
因为为“和谐数列”，
所以，
所以只需证.
设，只需证.
因为，
所以，
所以，
所以.

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