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九年级数学科试卷
一、选择题（把你认为正确的答案代号填在相应的表格内，每小题3分，共30分）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. 0 C. 3 D. 6
2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算中，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是（　　）
A. B. C. D.
6. 小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，AB是的直径，C，D是上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ ）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 75°
9. 如图，小沈将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，将正方形向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O逆时针方向旋转，得到四边形，则点A对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分，请把下列各题的正确答案填在横线上）．
11. 2025年4月，我国跳水名将陈芋汐在跳水世界杯夺得金牌，其中一跳的有效得分分别为10，8，8，9，9，则这组数据的中位数是___________
12. ________．
13. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了__________米．
14. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
15. 如图1，中，点D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点Q是曲线部分的最低点，则的长为___.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 已知．
（1）化简P；
（2）若a为方程一个解，求P的值．
17. 如图，已知于点，于点．求证：
18. 如图，在中，分别是，中点，连接．
（1）实践与操作：作出线段的中点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，．若于点．求证：四边形是菱形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，19、20每小题9分，21题10分，共28分．
19. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元．
（1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？
（2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
20. 2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即．
（1）求下管的长．
（2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据）
21. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动．
【操作推断】
（1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ；
【迁移探究】
（2）如图②， 延长交于点 E， 连接．
① ；
②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由；
拓展应用】
（3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每题13分共26分．
22. 如图1，是外接圆，是直径，弦与交于点，与交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求劣弧的长；
（3）如图2，，于点，交于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好在线段上，求证：．
23. 如图1，抛物线经过点，，矩形的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B，C的坐标；
（3）如图2，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交折线，，于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接，，设运动时间为t秒，的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值．
九年级数学科试卷
一、选择题（把你认为正确的答案代号填在相应的表格内，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（每小题3分，共15分，请把下列各题的正确答案填在横线上）．
【11题答案】
【答案】9
【12题答案】
【答案】3
【13题答案】
【答案】##1.5
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】见解析
【18题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
四、解答题（二）：本大题共3小题，19、20每小题9分，21题10分，共28分．
【19题答案】
【答案】（1）“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元
（2）当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元
【20题答案】
【答案】（1）
（2）此时应将座管调为
【21题答案】
【答案】（1）90 （2）① 45；②正确，理由见解析
（3）1或
五、解答题（三）：本大题共2小题，每题13分共26分．
【22题答案】
【答案】（1）见解析 （2）劣弧的长为；
（3）见解析
【23题答案】
【答案】（1）抛物线的表达式为：
（2）点，
（3），y的最大值为

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