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2024—2025学年初四下学期第二次月考
数学试卷
注意事项：
1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分；
2．请在答题卡上按要求书写作答；
一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分）
1. 在－3，0，1， 2这四个有理数中，是负数的是( )
A. －3 B. 0 C. 1 D. 2
2. 据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（ ）
A. B. C. D.
5. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ）
A. B. C. 8 D. 10
7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列命题中，真命题有（ ）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③无理数都是无限小数
④过三点有且只有一个圆
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，AB为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，PBC上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长　　
A. B. C. D.
二．填空题（每题3分，满分24分）
11. 函数y=中自变量x的取值范围是____________
12. 计算：______．
13. 若，则________．
14. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要______根小木棒．
15. 幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为______________．
2 9
5
x y
16. a，b均为正整数，且满足．则的值为________．
17. 如图，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转后，和过点，，的直线相交于点、，若的面积是，则的值为__．
18. 在平面直角坐标系中，直线 （k为常数）与抛物线交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为，连接．有以下说法：
①当时，；②面积的最小值为；
③；④当时，的值随k的增大而增大．
其中正确的是______．（写出所有正确说法的序号）
三．解答题（满分66分）
19. 计算：．
20. 先化简：，其中是方程的解．
21. 为了倡导学生科学探索精神，某校八年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话．
根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？
22. 每年4月15日是全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
【收集数据】甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78．
【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
组别
甲 4 11 10
乙 6 3 14 2
【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
统计量 平均数 众数 中位数 方差
甲 74.5 86 m 47.5
乙 73.1 84 76 23.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a= ；b= ；c= ；
（2）m= ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）；
（4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．
23. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：)
（1）求的长
（2）若米，求两点的距离（精确0.01)
24. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是矩形，且，求的长度．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与双曲线y＝（x＞0）交于点P，且B为AP的中点，PC⊥x轴于点C．已知AB＝，tan∠BAO＝．
（1）求k的值．
（2）连接BC，点Q为双曲线y＝（x＞0）上一点，且S△BQP＝S△BCP，求点Q的坐标．
26. 在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过．
（1）求出y关于x函数解析式．
（2）当挂图面积为，时，求金色纸边的宽．
（3）此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
27. 如图，，是的直径，连接，，过点C作于点P，交于点F，交于另一点E，过点C作的切线交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径．
28. 定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为．
（1）当时，求新函数顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若，当时，函数最大值为，最小值为，且，求函数的解析式；
（3）当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______．
2024—2025学年初四下学期第二次月考
数学试卷
注意事项：
1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分；
2．请在答题卡上按要求书写作答；
一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】D
二．填空题（每题3分，满分24分）
【11题答案】
【答案】x≠3
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】81
【15题答案】
【答案】8
【16题答案】
【答案】或
【17题答案】
【答案】．
【18题答案】
【答案】①②
三．解答题（满分66分）
【19题答案】
【答案】4
【20题答案】
【答案】，
【21题答案】
【答案】商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件．
【22题答案】
【答案】（1）
（2）乙
（3）甲 （4）估计甲校能参加第二轮比赛的人有240人
【23题答案】
【答案】（1）0.8；（2）1.04 m
【24题答案】
【答案】（1）见解析 （2）．
【25题答案】
【答案】（1）4 （2）点Q坐标为（4，1）或（﹣3+，）
【26题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）当cm时，最大值为
【27题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）4
【28题答案】
【答案】（1）新函数的顶点坐标为
（2）的解析式为
（3）或或

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