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第6章 反比例函数 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（　　）
A．x（y+1）＝1 B． C． D．
2．已知反比例函数的图象经过点A（1，﹣4），则下列各点在该反比例函数图象上的是（　　）
A．（4，1） B．（﹣2，2） C．（﹣4，﹣1） D．
3．已知反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象分别位于第二、第四象限 B．当y＝3时，x＝﹣1
C．在图象的每一支上，y随x的增大而减小 D．若x＞1，则y＞3
4．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为9，则k＝（　　）
A．﹣18 B．9 C．18 D．﹣9
5．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＜4 D．m＞4
6．若函数y1＝（x＞0）与函数y2＝﹣2x+8的图象如图所示，则不等式的解集是（　　）
A．1≤x≤3 B．2≤x≤6 C．x≤1 D．x≥3
7．如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃～50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（　　）
A．加热4分钟时水温上升了75℃ B．加热5分钟时水沸腾
C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟
D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟
8．已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．若x1x2＞0，则y3＞y4 B．若x1x3＞0，则y4＜y2
C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0 D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0
9．“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么下列关于函数的性质表述中，正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小
C．图象可由的图象平移得到 D．图象不经过第四象限
10．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若OC＝AC，则k的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．已知反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣1），如果点A与B关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是　 　 ．
12．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当压强加压到100kPa，此时气体体积为 　 　 mL．
13．已知点A（m，6m）是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则k＝　 　 ．
14．点A（t，y1），B（t﹣2，y2）在反比例函数的图象上，若y1＜y2，则t的取值范围是 　 　 ．
15．已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　 　 ．
16．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn（n为正整数）都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，直角顶点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则A2025的坐标是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．
18．已知函数．
（1）若y是关于x的正比例函数，求m的值；
（2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
19．已知反比例函数y＝的图象经过点A（a，﹣6）．
（1）求a的值；
（2）当﹣6＜x＜﹣2时，求y的取值范围．
20．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，3），B（n，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集　 　 ；
（3）若点P为反比例函数图象上一点，且△COP的面积等于△AOB的面积，直接写出点P的坐标　 　 ．
21．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
22．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出一次函数y＝﹣x+4的值大于反比例函数的值自变量x的范围；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求点P的坐标．
23．【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即FA×L1＝FB×L2）
x/N … 10 20 30 40 b …
y/cm … 8 a 2 …
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 　 　 N；
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为y cm．则：
①y关于x的函数关系式是 　 　 ．
②完成表格：a＝ 　 　 ；b＝ 　 　 ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），点B的坐标为（0，2），在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得S△ABC＝46，请求出点C的坐标．
24．如图，点B在函数的图象上，过点B（m，n）分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C．
（1）若点B的坐标为（2，3），求点A坐标和直线OC解析式；
（2）当点B为函数图象上的动点，问四边形OABC的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积；
（3）当OC平分OA与x轴正半轴的夹角，求证此时AC是∠OAB的角平分线．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（　　）
A．x（y+1）＝1 B． C． D．
【点拨】根据反比例函数的一般式是对各个选项进行判断即可．
【解析】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有表示y是x的反比例函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
2．已知反比例函数的图象经过点A（1，﹣4），则下列各点在该反比例函数图象上的是（　　）
A．（4，1） B．（﹣2，2） C．（﹣4，﹣1） D．
【点拨】首先利用待定系数法求出k的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，比较即可得答案．
【解析】解：由条件可知k＝1×（﹣4）＝﹣4，
A．4×1＝4≠﹣4，故（4，1）不在图象上，不符合题意，
B．﹣2×2＝﹣4，故（﹣2，2）在图象上，符合题意，
C．﹣4×（﹣1）＝4≠﹣4，故（﹣4，﹣1）不在图象上，不符合题意，
D．，故（4，1）不在图象上，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
3．已知反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象分别位于第二、第四象限 B．当y＝3时，x＝﹣1
C．在图象的每一支上，y随x的增大而减小 D．若x＞1，则y＞3
【点拨】直接利用反比例函数的性质进而分析判断即可．
【解析】解：A、反比例函数中k＝3＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故此选项错误；
B、当y＝3，则3＝，求得x＝1，故此选项错误；
C、反比例函数中k＝3＞0，故在图象的每一支上，y随x的增大而减小，故此选项正确；
D、反比例函数中k＝3＞0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故若x＞1，则0＜y＜3，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为9，则k＝（　　）
A．﹣18 B．9 C．18 D．﹣9
【点拨】由AB⊥y轴，则AB∥OP，故S△ABO＝S△ABP，然后根据比例系数的几何意义即可求解．
【解析】解：如图，连接OA，
由条件可知，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣18，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
5．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＜4 D．m＞4
【点拨】根据反比例函数y＝的性质：图象在第一、三象限，则k＞0，即可列出含m的不等式，得到答案．
【解析】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴m﹣4＞0，
∴m＞4．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及应用，解题的关键是掌握反比例函数y＝图象在第一、三象限，则k＞0，属于基础题．
6．若函数y1＝（x＞0）与函数y2＝﹣2x+8的图象如图所示，则不等式的解集是（　　）
A．1≤x≤3 B．2≤x≤6 C．x≤1 D．x≥3
【点拨】写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】解：∵函数y1＝（x＞0）与函数y2＝﹣2x+8的图象的交点为（1，6），（3，2），
由函数图象可知，不等式的解集是1≤x≤3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
7．如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃～50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（　　）
A．加热4分钟时水温上升了75℃
B．加热5分钟时水沸腾
C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟
D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟
【点拨】A．根据图象计算即可；
B．写出加热时y与x的函数关系式，当y＝100时求出对应x的值即可；
C．用待定系数法求出将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式，当y＝40时求出对应x的值，再减去时y＝100时对应x的值即可；
D．分别将y＝50，y＝30代入将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式，求出对应x的值即可．
【解析】解：加热4分钟时水温上升了75﹣25＝50（℃），
∴A不正确，不符合题意；
加热时每分钟上升的温度为50÷4＝12.5（℃），
∴加热时y与x的函数关系式为y＝25+12.5x，
当25+12.5x＝100时，解得x＝6，
∴加热6分钟时水沸腾，
∴B不正确，不符合题意；
设将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式为y＝（k为常数，且k≠0），
将坐标（6，100）代入y＝，
得100＝，
解得k＝600，
∴y＝，
当y＝40时，得40＝，
解得x＝15，
15﹣6＝9（分钟），
∴若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，
∴C不正确，不符合题意；
当y＝50时，得50＝，
解得x＝12，
当y＝30时，得30＝，
解得x＝20，
∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
8．已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．若x1x2＞0，则y3＞y4 B．若x1x3＞0，则y4＜y2
C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0 D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0
【点拨】根据所给反比例函数的解析式，得出反比例函数的图象位于第一、三象限，再结合反比例函数的性质对所给选项依次进行判断即可．
【解析】解：由题知，
因为反比例函数的解析式为y＝，
所以反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
当x1x2＞0时，
点（x1，y1）和（x2，y2）可能都在第三象限，
则当点（x3，y3）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y3＜y4．
故A选项不符合题意．
当x1x3＞0时，
点（x1，y1）和（x3，y3）可能都在第三象限，
则点（x2，y2）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y4＞y2．
故B选项不符合题意．
当y3＞y4＞0时，
点（x3，y3）和（x4，y4）都在第一象限，
当点（x1，y1）和（x2，y2）也都在第一象限时，x1x2＞0．
故C选项不符合题意．
当y4＜y2＜0时，
点（x2，y2）和（x4，y4）都在第三象限，
则点（x1，y1）和（x3，y3）也必定都在第三象限，
所以x1x3＞0．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
9．“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么下列关于函数的性质表述中，正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小
C．图象可由的图象平移得到 D．图象不经过第四象限
【点拨】画出函数的图象，根据图象来判断各选项．
【解析】解：列表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 3 ﹣1 0 …
描点、连线画出函数图象，
由图象可知，
当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；故A、B选项错误；
函数的图象是可由y＝﹣的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，故C选项错误；
图象不经过第四象限，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，正确画出函数的图象是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若OC＝AC，则k的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【点拨】作CD⊥OA于D，由等腰三角形三线合一的性质得出OD＝DA，利用平行四边形的性质可知BC＝OA＝2OD，故设，则，代入函数即可求得k的值．
【解析】解：如图，作CD⊥OA于点D，
∵OC＝AC，
∴OD＝DA，
∴BC＝OA＝2OD，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴设，则，
∵点B在函数的图象上，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣1），如果点A与B关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是　y＝　 ．
【点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣1），且点A与B关于原点对称，
∴n＝﹣2，m＝1，
∴A（2，1），B（﹣2，﹣1），
设反比例函数解析式为y＝，代入点A坐标可得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝．
故答案为：y＝．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．
12．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当压强加压到100kPa，此时气体体积为 　60　 mL．
【点拨】利用待定待定系数法求出p与V之间的函数关系式，当p＝100时，求出对应V的值即可．
【解析】解：设p与V之间的函数关系式为p＝（k为常数，且k≠0），
将坐标（100，60）代入p＝，
得60＝，
解得k＝6000，
∴p与V之间的函数关系式为p＝，
当p＝100时，得100＝，
解得V＝60，
∴当压强加压到100kPa，此时气体体积为60mL．
故答案为：60．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
13．已知点A（m，6m）是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则k＝　6　 ．
【点拨】根据平移的特性写出平移后的点A的坐标为（m+2，6m﹣4），由点（m，6m）和点（m+2，6m﹣4）均在反比例函数图象上，即可得出k＝m 6m＝（m+2）（6m﹣4），解得即可．
【解析】解：∵点A（m，6m），
∴将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到点为（m+2，6m﹣4），
依题意得：k＝m 6m＝（m+2）（6m﹣4），
解得：m＝1，
∴k＝1×6＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由A点坐标表示出平移后的点的坐标．
14．点A（t，y1），B（t﹣2，y2）在反比例函数的图象上，若y1＜y2，则t的取值范围是 　t＜0或t＞2　 ．
【点拨】根据点A（t，y1），B（t﹣2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＜y2，分三种情况，A点和B点均在第一象限，A点和B点均在第三象限，点A点在第三象限，点B在第一象限，然后求解t即可．
【解析】解：∵反比例函数y＝中的k＝3，
∴该反比例函数的图象在第一、三象限，并在每一个象限中，y随x的增大而减小，
∵点A（t，y1），B（t﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，t﹣2＜t，y1＜y2，
第一种情况：A点和B点均在第一象限，
即t﹣2＞0，t＞0，t﹣2＜t，y1＜y2，
∴t＞2，
第二种情况：A点和B点均在第三象限，
满足t﹣2＜t＜0，y1＜y2＜0，
∴t＜0，
第三种情况：点A点在第三象限，点B在第一象限，
此时y1＜0，y2＞0，满足y1＜y2，则，
∴此情况无解．
故答案为：t＜0或t＞2．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答，
15．已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　±4　 ．
【点拨】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【解析】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．
∴﹣＝2，
解得k＝4，
当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∴﹣＝2，
解得k＝﹣4，
综上所述，k＝±4．
故答案为：±4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键是对于k的值要分情况讨论．
16．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn（n为正整数）都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，直角顶点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则A2025的坐标是 　（90，0）　 ．
【点拨】过点B1作B1M⊥x轴于点M，过点B2作B2N⊥x轴于点N，设OM＝t，则B1M＝OM＝A1M＝t，OA1＝2t，点B1（t，t），将点B1坐标代入反比例函数表达式得t＝1，则点B1（1，1），点A1（2，0），再求出直线A1B2的表达式为y＝x﹣2，解方程组，得点B2，则A1A2＝2A1N＝，进而得点A2，同理得A3，点A4，……，以此类推，点An坐标为，据此即可得出点A2025的坐标．
【解析】解：过点B1作B1M⊥x轴于点M，过点B2作B2N⊥x轴于点N，如图所示：
设OM＝t，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴B1M＝OM＝A1M＝t，OA1＝2t，∠B1OA1＝45°，
∴点B1的坐标为（t，t），
∵点B1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴t2＝1，
解得：t＝1，t＝﹣1（不合题意，舍去），
∴OA1＝2t＝2，
∴点B1的坐标为（1，1），点A1的坐标为（2，0），
设直线OB1的表达式为：y＝ax，
将点B1（1，1）代入y＝ax，得：a＝1，
∴直线OB1的表达式为：y＝x，
∵△A1A2B2是等腰直角三角形，
∴∠B2A1A2＝∠B1OA1＝45°，
∴A1B2∥OB1，
∴设直线A1B2的表达式为：y＝x+b，
将点A1（2，0）代入y＝x+b，得：b＝﹣2，
∴直线A1B2的表达式为：y＝x﹣2，
解方程组：，得：，，
∴点B2的坐标为，
∵B2N⊥x轴，
∴A1N＝A2N＝B2N＝，
∴A1A2＝2A1N＝，
∴OA2＝OA1+A1A2＝＝，
∴点A2的坐标为，
同理得：A3的坐标为，点A4坐标为，
……，以此类推，点An坐标为，
当n＝2025时，＝＝2×45＝90，
∴点A2025的坐标是（90，0）．
故答案为：（90，0）．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握等腰直角三角形，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键，难点是通过计算找出规律，表示出点An的坐标．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．
【点拨】设y1＝ax（a≠0），y2＝（k≠0），代入得出y＝ax+，把x、y的值代入，求出a和k的值即可．
【解析】解：∵y1与x成正比例，y2与x2成反比例，
∴设y1＝ax（a≠0），y2＝（k≠0），
∴y＝y1+y2＝ax+，
∵当x＝2和x＝3时，y的值都为19，
∴，
解得a＝5，k＝36，
所以y与变量x的函数关系式是．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和正比例函数的定义，能熟记正比例函数和反比例函数的定义的内容是解此题的关键．
18．已知函数．
（1）若y是关于x的正比例函数，求m的值；
（2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
【点拨】（1）根据y＝kx（k是不等于零的常数）是正比例函数，可得答案；
（2）根据y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
【解析】解：（1）由y＝（m2﹣2m）是正比例函数，得
m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0，
解得m＝﹣1；
（2）由y＝（m2﹣2m）是反比例函数，得
m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0，
解得m＝1．
故y与x的函数关系式y＝﹣x﹣1．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
19．已知反比例函数y＝的图象经过点A（a，﹣6）．
（1）求a的值；
（2）当﹣6＜x＜﹣2时，求y的取值范围．
【点拨】（1）直接把点A（a，﹣6）代入反比例函数y＝，求出a的值即可；
（2）令x＝﹣6，x＝﹣2求出y的对应值即可．
【解析】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（a，﹣6），
∴﹣6＝，
解得a＝﹣3；
（2）∵令x＝﹣6，则y＝＝﹣3；令x＝﹣2，则y＝＝﹣9，
∴当﹣6＜x＜﹣2时，﹣9＜y＜﹣3．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
20．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，3），B（n，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集　0＜x＜1或x＜﹣3　 ；
（3）若点P为反比例函数图象上一点，且△COP的面积等于△AOB的面积，直接写出点P的坐标　（4，）或（﹣4，）　 ．
【点拨】（1）由点A（1，3）坐标求出反比例函数表达式，再将点B坐标代入可求出n，利用A，B坐标求一次函数表达式即可；
（2）根据图象，不等式的解集对应的是反比例函数图象在一次函数图象上方，第一象限内，是在点A的左侧，第三象限是在点B的左侧，故对应的解集是0＜x＜1或x＜﹣3；
（3）先求出△AOB的面积，
【解析】解：（1）由题意得，将点A（1，3）代入反比例函数表达式可得：k＝3，
∴反比例函数表达式为，
∵点B（n，﹣1）在反比例函数图象上，
∴n＝＝﹣3，
∴点B坐标为（﹣3，﹣1），
∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象过点A，B，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
（2）反比例函数图象在一次函数图象上方时对应的自变量的范围是不等式的解集，
∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，3），B（﹣3，﹣1），
∴由图象可得：不等式的解集为0＜x＜1或x＜﹣3，
故答案为：0＜x＜1或x＜﹣3；
（3）如图：连接OA，OB，
一次函数y＝x+2的图象与y轴交于点C，
∴点C坐标为（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝4，
设点P坐标为（t，），
则，
∵△COP的面积等于△AOB的面积，
∴|t|＝4，
∴t＝4或﹣4，
∴点P坐标为（4，）或（﹣4，），
故答案为：（4，）或（﹣4，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式以及一次函数与反比例函数的综合应用，体现了方程思想和数形结合思想，综合性较强．
21．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
【点拨】（1）利用待定系数法求出当20≤x≤40时，y与x之间的函数关系式，从而求出点D的坐标，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法求出当0≤x＜10时，y与x的函数解析式即可；
（2）分别计算当0≤x＜10、20≤x≤40时，当y＝36时，对应x的值，若这两个x的值的差不小于20，则他能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36，否则不能．
【解析】解：（1）当20≤x≤40时，y与x之间的函数关系式为y＝（k为常数，k≠0），
将坐标C（20，48）代入y＝，得48＝，
解得k＝960，
∴当20≤x≤40时，y与x之间的函数关系式为y＝，
当x＝40时，y＝＝24，
∴D（40，24），
∴A（0，24），
设当0≤x＜10时，y与x的函数解析式为y＝ax+b（a、b为常数，有a≠0），
将坐标A（0，24）和B（10，48）分别代入y＝ax+b，得，
解得，
∴当0≤x＜10时，y与x的函数解析式为y＝2.4x+24（0≤x＜10）．
（2）他能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36．理由如下：
当0≤x＜10时，当y＝36时，得2.4x+24＝36时，
解得x＝5，
当20≤x≤40时，当y＝36时，得＝36，
解得x＝，
﹣5＝＞20，
∴他能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式是解题的关键．
22．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出一次函数y＝﹣x+4的值大于反比例函数的值自变量x的范围；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求点P的坐标．
【点拨】（1）由点A在一次函数图象上即可求出a值，从而得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线AB与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据点B的坐标即可得出点B′的坐标，由点A、B′的坐标利用待定系数法即可求出直线AB′的函数关系式，令其y＝0求出x值即可得出点P的坐标．
【解析】解：（1）∵点A（1，a）在一次函数y＝﹣x+4的图象上，
∴a＝﹣1+4＝3，
∴点A的坐标为（1，3）．
∵点A（1，3）在反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象上，
∴3＝k，
∴反比例函数的表达式为y＝．
联立直线AB与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）观察函数图象可知：当x＜0或1＜x＜3时，一次函数y＝﹣x+4的图象在反比例函数y＝的图象的上方，
故﹣x+4＞的解集为：x＜0或1＜x＜3．
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点A（1，3），点A、A′关于y轴对称，
∴点A′（﹣1，3）．
设直线A′B的表达式为y＝mx+n（m≠0），
则，解得：，
∴直线AB′的表达式为y＝﹣x+．
令y＝﹣x+中x＝0，则y＝，
∴点P的坐标为（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）联立两函数关系式成方程组求出交点坐标；（2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集；（3）找出点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解集该题型题目时，通过联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．
23．【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即FA×L1＝FB×L2）
x/N … 10 20 30 40 b …
y/cm … 8 a 2 …
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 　200　 N；
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为y cm．则：
①y关于x的函数关系式是 　y＝　 ．
②完成表格：a＝ 　4　 ；b＝ 　50　 ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），点B的坐标为（0，2），在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得S△ABC＝46，请求出点C的坐标．
【点拨】（1）根据公式FA×L1＝FB×L2进行计算即可；
（2）①根据公式FA×L1＝FB×L2即可得到y＝；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；
（3）设C（a，），连接BC，AC，OC，根据三角形的面积求出a的值．
【解析】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2，
∴FB＝＝＝200（N），
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）①∵FA×L1＝FB×L2，
∴L2＝，即y＝＝，
故答案为：y＝；
②由①得a＝＝4，b＝＝50，
填表如下：
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 4 2 …
故答案为：4，50；
③函数图象如下所示：
（3）点A的坐标为（20，0），B的坐标为（0，2），C为反比例函数y＝（x＞0）上一点，
设C（a，），连接BC，AC，OC，
∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC﹣S△AOB
＝OB xC+OA yC﹣OA OB
＝×2×a+×20×﹣×2×20
＝a+﹣20，
∵S△ABC＝46，
∴a+﹣20＝46，
整理得：a2﹣66a+800＝0，
解得a1＝50，a2＝16，
经检验，a＝50或a＝16是原方程的根，
∴a＝50时，＝；a＝16时，＝5，
∴点C的坐标为（50，）或（16，5）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图象，正确理解题意是解题的关键．
24．如图，点B在函数的图象上，过点B（m，n）分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C．
（1）若点B的坐标为（2，3），求点A坐标和直线OC解析式；
（2）当点B为函数图象上的动点，问四边形OABC的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积；
（3）当OC平分OA与x轴正半轴的夹角，求证此时AC是∠OAB的角平分线．
【点拨】（1）求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）作BA、BC的延长线，分别交y轴于M，交x轴于N，根据S四边形OABC＝S四边形BMON﹣S△AOM﹣S△CON，利用反比例函数系数k的几何意义即可求解；
（3）作CD⊥OA于D，易证得BC＝CN，利用角平分线的性质定理以及性质定理的逆定理即可证得．
【解析】解：（1）∵点B（2，3），
∴A的纵坐标为3，C的横坐标为2．
又∵A、C在函数y＝的图象上，
∴A（1，3），C（2，）．
设直线OC为y＝kx，
∴2k＝．
∴k＝．
（2）作BA、BC的延长线，分别交y轴于M，交x轴于N，
则由题意可知，BM∥x轴，BN∥y轴，
∴S四边形BMON＝6，S△AOM＝S△CON＝＝，
∴S四边形OABC＝S四边形BMON﹣S△AOM﹣S△CON＝3，
∴四边形OABC的面积不变化；
（3）作CD⊥OA于D，
由题意可知CB⊥AB，CN⊥x轴，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD＝CN，
∵点B在函数的图象上，点C在函数的图象上，BC∥y轴，
∴设B（m，），则C（m，），
∴BN＝，CN＝，
∴BN＝2CN，
∴BC＝CN，
∴CD＝CB，
∵CD⊥OA，CB⊥AB，
∴AC是∠OAB的角平分线．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的性质定理以及性质定理的逆定理，掌握以上知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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