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2024-2025 学年广东省江门市新会第一中学高一下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 1 + i = i，则| | =( )
A. 12 B.
2
2 C. 1 D. 2
2.已知单位向量 与单位向量 的夹角为45 ，则 2 =( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
3.在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 = 4 3， = 12 π， = 6，则此三角形( )
A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定
4.若 tan = 3，则 sin2 2cos2 =( )
A. 2 2 6 65 B. 5 C. 5 D. 5
5.如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图 ′ ′ ′ ′，其中 ′ ′ = 2， ′ ′ = 4，
′ ′ = 1， ′ ′// ′ ′，则四边形 的周长是( )
A. 8 B. 7 + 5 C. 8 + 2 2 D. 7 + 2 2
6 2 2 2π.已知圆锥的体积为 3 ，其侧面展开图是一个圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
7.函数 = sin π 13 2 在 ∈ [ 2 , 2 ]的单调递增区间是( )
A. π , 5π 5π π3 3 B. 3 , 3
C. 2π, π 5π3 和 3 , 2π D. 2π,
5π π
3 和 3 , 2π
8.已知平行六面体 1 1 1 1的体积为 4，若将其截去三棱锥 1 1 1，则剩余几何体的体积为
( )
A. 13 B.
2
3 C.
10 5
3 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知复数 满足 = (1 2 )2，则( )
A. 的虚部为 3 B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C. | | = 5 D. 2 + 8 + 7 = 0
10.如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的
侧棱长均为 10 ，则下列选项中正确的是( )
A.正四棱锥的高为 5 2cm
B.该几何体的表面积为 100 3 + 200 2cm2
C. 2000 2该几何体的体积为 3 cm
3
D.一只小蚂蚁从点 爬行到点 ，所经过的最短路程为 150 + 50 6cm
11.已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，下面四个结论正确的是( )
A.在锐角 中，不等式 sin > cos 恒成立
B. = π若 3， = 2 3，且 有两解，则 的取值范围是 2,2 3
C. + · = 0
1
若 ，且
· = 2，则 是等边三角形
D.已知点 是 所在平面内一点，满足 + + 2 = 3 1，则 与 面积之比是2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 满足| 1 + i| = 1，其中 i 为虚数单位，则| |的最小值为 ．
13.已知正三棱台 1 1 1中， 1 1 = 2， = 4，侧棱 1 = 2，则该棱台的体积为 ．
14.如图，长方体 1 1 1 1的体积为 12， , , , 分别是棱 , , 1 1， 1 1的中点，则四面体
的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知向量 = (4,3), = ( 1,2).
→ →
(1)求向量 与 夹角的余弦值；
(2)若向量( )// 2 + ,求实数λ的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在棱长为 的正方体 1 1 1 1中，截去三棱锥 1 ，求剩余的几何体 1 1 1 1
的表面积和体积．
17.(本小题 15 分)
( ) = 2sin( + )cos + 3已知函数 3 2 ， ∈ .
(1)求 ( )的单调递增区间．
(2) ( ) 若 的图象向右平移3个长度单位后得到 ( )图象，求 ( )在[0, 2 ]上的值域．
18.(本小题 17 分)
已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且(2 )sin + (2 )sin = 2 sin ．
(1)求角 ；
(2)设 是边 上一点， 平分∠ ， = 2 ，求 cos 的值；
19.(本小题 17 分)
正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体．
(1)求该多面体的表面积和体积．
(2)若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 1
13.7 2 73 或3 2
14.2
15.解：(1) = (4,3)， = ( 1,2)，
所以 = 4 × ( 1) + 3 × 2 = 2， = 5， = 5，

所以 cos , = = 2 = 2 5 5 5 25 ．
(2) = (4,3)， = ( 1,2)，∴ = (4 + , 3 2 )，2 + = (7,8)，
由 与 2 + 4+ 平行，所以 7 =
3 2
8 ，解得 =
1
2．
16.解：由正方体的性质可知 1 是边长为 2 的等边三角形，
3 2 3
所以 21 的面积 1 = 4 2 = 2 ,
3 1
所以所求几何体 1 1 1 1 的表面积 = 1 + 3
2 2 2
+ 3 1 1 1 1 = 2 + 3 × 2 + 3 =
3+9 2
2 ．
几何体 3 1 1 5 31 1 1 1 的体积 = 正方体 = × × × × = .1 1 1 1 三棱锥 1 3 2 6
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17.解：(1) ( ) = 2sin( + 33 )cos + 2
3
= 2( 3 + 3 ) + 2
2 3 1 3 3= sin cos + 3cos + 2 = 2 sin2 + 2 1 + cos2 + 2
1 3
= 2 sin2 + 2 cos2 + 3
= (2 + 3 ) + 3．
由 2 + 2 2 + 3 2 + 2 , ∈ ．
5 得到 12 +

12+ , ∈ ．
[ 5 + , 所以函数 单调递增区间为 12 12 + ], ∈ ．

(2) ( ) = sin [2( 3 ) + 3 ] + 3 = sin (2 3 ) + 3
∵ ∈ 0, , ∴ 2 2 2 3 ∈ 3 , 3 ，
∴ sin (2 3 ) ∈ [
3
2 , 1]．
∴ ( ) = sin (2 3 ) + 3 ∈ [
3
2 , 1 + 3]．
3
所以函数 在 0, 2 的值域为 2 , 1 + 3 ．
18.解：(1)根据题意，由正弦定理有： 2 + (2 ) = 2 2，即 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理有：cos = 2 = 2，又 0 < < π，所以 =
π
3；
(2)在 中，∠ = π3 , = 2 ，所以 = 2 ，
1 1
即2 | |sin∠ = 2 × 2 | |sin∠ ，又因为 是∠ 的角平分线，
所以 sin∠ = sin∠ ，所以 = 2 ，
由余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 3 2，所以 = 3 ，
2 2 2
由余弦定理有 cos = + 2 =
3
2 ．
19.解：(1)因正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体，
所以该多面体是由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥完全一致，
每个四棱锥的侧面是四个边长为 2的等边三角形，设三角形的面积为 1，
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则该多面体的表面积 = 8 1 = 8 ×
1
2 × 2 × 2sin

3 = 4 3，
四棱锥的底面是边长为 2的正方形，故四棱锥的底面积 22 = ( 2) = 2，
1 2
四棱锥的高为 1，故四棱锥的体积 1 = 3 × 2 × 1 = 3，
2 4
则该多面体的体积 = 2 1 = 2 × 3 = 3，
(2)将该多面体内接于球内，
则球的直径为 ( 2)2 + ( 2)2 = 2，球的半径为 1，
故该球体的表面积为： = 4 2 = 4 × 12 = 4 ，
该球体的体积为： = 4 3 = 4 3 43 3 × 1 = 3 ．
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