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广东省八校联盟2024 2025学年高一下学期教学质量监测（二）数学试题
一、单选题
1．单位圆中圆心角扇形的弧长是（ ）
A．45 B．， C． D．，
2．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（ ）
A． B． C． D．
4．利用三角函数图象，求出中的取值范围（ ）
A．， B．，
C． D．，
5．已知正六边形的边长为2，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，则直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．已知向量，，若向量，则使成立的可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上的最大值为2
C．的图象关于点，对称
D．的图象关于直线对称
10．下列四个命题为真命题的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形ABCD中有，则与共线
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
11．已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（ ）
A．圆台的母线长为
B．当圆锥的圆锥的体积相等时，
C．圆台的体积为
D．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为
三、填空题
12．已知平面向量，，且，则 .
13．若向量分别表示复数，则= ．
14．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .
四、解答题
15．已知角的终边在函数，的图象上，求，和.
16．如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，求：
（1）；
（2）AB的长.
17．已知向量，的夹角为，且，，（其中）.当取最小值时，求：
（1）；
（2）与的夹角的大小.
18．在中，.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（其中S为的面积）．
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，则单位圆中圆心角扇形的弧长时.
故选C.
2．【答案】C
【详解】正弦函数、余弦函数的周期都是，故排除AD，
是奇函数且最小正周期为，故C满足题意，
而函数的最小正周期为，
而，
且的定义域是全体实数，
所以是偶函数，即不满足题意.
故选C.
3．【答案】A
【详解】如图，在正六边形ABCDEF中，，且，
则，所以.
故选A.
4．【答案】D
【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是，
所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，.
故选D
5．【答案】B
【详解】由于直观图的面积是原图形面积的，
则正六边形的直观图的面积为.
故选B.
6．【答案】B
【详解】.
故选B.
7．【答案】D
【详解】因为
故将函数的图象向右平移个单位长度可得，
故选D.
8．【答案】D
【详解】对于A，，可得：，；，
对于B，可得：，；，
对于C，可得：，；，
对于D，可得：，，，
故选D
9．【答案】ACD
【详解】，
由，得，
因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，A正确；
当，即时，函数取最大值，最大值为4，故B错误；
由，可得，所以图象对称中心为，故C正确，
由，可知的图象关于直线对称，故D正确.
故选ACD
10．【答案】AB
【详解】对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，故A正确；
对于选项B，四边形ABCD中有，A，B，C，D四点不共线但两向量共线，故B正确；
对于选项C，，，则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，故C错误；
对于选项D，向量，，则，，故向量在向量上的投影向量为，故D错误.
故选:AB.
11．【答案】BCD
【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，
，
母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误；
，，B正确；
，C正确；
设球心到上底面的距离为，则，解得，，，D正确；
故选BCD．
12．【答案】
【详解】由，则，解得，
则，即.
13．【答案】
【详解】因为，又向量分别表示复数，
所以表示复数，
所以.
14．【答案】
【详解】由在区间上具有单调性，
且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为，
所以，，
即，所以，
解得，故答案为.
考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.
15．【答案】，，
【详解】在函数，的图象上任取一点，
由任意角的三角函数的定义可得：
，，.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理得.
（2），∴，，
在中，，，，
由正弦定理得，∴.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）；
（2）由（1）得，由得
，
当时，取最小值1，此时，
又，
所以当取得最小值时，向量与夹角为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，则，
所以，
又，解得，，
所以
.
（2）根据余弦定理可知：，
∴，
又∵，即，
∴，当且仅当时，等号成立，故bc的最大值是，
∴当且仅时，面积的最大值为.
19．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）依题意，则，
又因为，所以，则．
（2）由为锐角三角形及，
得，
∴，
由正弦定理得，
∴．
∵，∴，∴，
∴，即所求a的取值范围是．

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