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山东省淄博第十一中学2024 2025学年高一下学期6月月考数学试卷
一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量与的夹角为，，，则（ ）.
A． B． C．或 D．以上都不对
3．在空间中，已知 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．某批产品检验后的评分,由统计结果制成如图所示的频率分布直方图,下列说法中正确的是（ ）
A．
B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5
D．评分的平均数估值为76
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．为钝角三角形
6．已知，，则（ ）.
A． B．
C． D．或
7．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
10．某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
11．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面与平面所成角的余弦值为
C．若，则点轨迹的长度为
D．若点在直线上，则的最小值为
三、填空题
12．已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示)
13．函数，其中，若，使得，则的取值范围为 ．
14．在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是 ．
四、解答题
15．如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，.
（1）求证：BC平面AEF；
（2）求点P到平面AEF的距离.
16．中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且．
（1）证明：为等边三角形；
（2）如图，若边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将沿着线段EF对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积．
17．已知函数．
（1）如图，在中，角的对边分别为，点为的中点．当时，分别等于的最小值、最大值，且，求的长．

（2）当时，关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围．
18．如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
(1)若，求的长；
(2)求异面直线与所成角余弦值的最小值．
19．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
（1）设，，为虚数单位，求复向量、的模；
（2）设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．
参考答案
1．【答案】B
【详解】若，则，
则.
故选B.
2．【答案】B
【详解】因为，所以，又，所以，
因为向量与的夹角为，所以，
所以.
故选B
3．【答案】C
【分析】借助长方体模型，根据位置关系分类，易得出A B D错误.
【详解】A. 若 ，则 或 ，故 错误;
B. 由长方体可知两个平面可相交，故错;
C. 若 则直线对应向量分别是平面的法向量，由知向量夹角为，所以 ，即C 正确;
D. 若 ，由墙角可知 不一定平行，故 D 错误.
故选C.
4．【答案】C
【详解】对于，根据频率分布直方图的性质可知，，解得，故错误；
对于，由题中频率分布直方图可知，最高的小长方形区间中点对应的数字是75，则该评分的众数估值为75，故错误；
对于，根据题中频率分布直方图可知，，，所以评分的第25百分位数位于内，设评分的第25百分位数估值为，则，解得，故正确；
对于，评分的平均数估值为，故错误.故选.
5．【答案】D
【详解】由正弦定理得，所以，
因为，所以或，故三角形有两种解，故ABC均错误，
当时，，为钝角三角形，
当时，为钝角三角形，故D正确.
故选D
6．【答案】C
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，
即，即，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
所以，所以，
所以
.
故选C
7．【答案】B
【详解】在中，，由余弦定理可得，
所以，所以，
又面积为，所以，所以，
所以，所以，
因为CD是的角平分线，，所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以，所以.
故选B.
8．【答案】D
【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面面积.
【详解】延长，与直线相交于，
连接与分别交于点，连接，
则五边形即为截面，
正方体的棱长为2，点分别是的中点，
由≌≌得，
，，
故，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
由勾股定理得，
取的中点，连接，则⊥，且，
由勾股定理，
其中，
由相似关系可知，，
故.
故选：D
9．【答案】BD
【详解】A中，令，则，故A错误；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，故B正确；
C中，易知的虚部为，故C错误；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为，
所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选BD
10．【答案】ABD
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，故平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C错误；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故D正确．
故选ABD
11．【答案】ABC
【详解】如图1，连接，由菱形可得．
再由直棱柱，可得底面．
又因为底面，所以，
而平面，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
，，，所以为直角三角形，且，
其在底面投影的三角形的面积为，
由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为，故B正确；
如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，
由直棱柱，
所以平面平面，平面平面，平面，
且，所以平面.
而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，
再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，
以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形，
可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确；
由为直角三角形，且为等腰直角三角形，
将与展开成一个平面图，如图4，则；
由余弦定理得：，
即，故的最小值为，故D错误．
故选ABC
12．【答案】
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，
即，故.
13．【答案】
【详解】由题可知，在的图象至少有2个最大值，
当时，，解得，
当时，，
当时，，
综上，当时，，使得.
14．【答案】
【详解】
设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点，
易知平分，平分，易知，
取中点为，则在的平分线上，
同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上，
易知面，故，同理，
于是为平面与平面的夹角的平面角，
设正四面体棱长为，则，，
所以.
15．【答案】（1）见详解;
（2）
【详解】（1）证明：因为E，F分别是线段PB，PC的中点，所以,
又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF
（2）因为PA垂直于O所在的平面，所以,
因为C是圆周上不同于A，B的一点, 所以,
又平面PAC, 所以平面PAC,
又，所以平面PAC, 所以,
，所以，，
,,
又因为， F是线段PC的中点，所以,
所以,
设点P到平面AEF的距离为.
所以,
，
又，所以点P到平面AEF的距离为.
16．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）证明：由，得，
展开得．①
由可得．②
①－②得，
因为，所以，
解得或（舍去）．
又，所以．
把代入，得，则．
所以，故是等边三角形．
（2）由及，得，设，则．
在中，由余弦定理可得，
即，解得．
同理，在中，由余弦定理可得．
又，
所以．
17．【答案】（1）或
（2）
【详解】（1）由题意得，
，
当时，，
的值域是，则，
，
，，
或，或，
，
，
当时，；
当时，．
（2）由得，或．
函数的图象如下：

由图可知，有一解，即，
有两解，即函数与有两个不同的交点，
18．【答案】(1)5
(2)
【详解】（1）连接，平面平面，交线为，
由，有平面，又平面，所以,
当，，所以平面，
又平面，所以，
此时与相似，故，
设，由，解得，所以.
（2）过作的平行线交于点，连接，
由，且，
得四边形是平行四边形，故，
所以即为异面直线与所成的角，
设，
，
所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值，
所以异面直线与所成角余弦值的最小值为.
19．【答案】（1），
（2）①见详解；②
【详解】（1）因为，所以，
可得的模为；
因为，所以，
所以的模为；
（2）因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，
②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
若复向量与平行，则，
根据中等号成立的条件，应有，
则，
结合，得，解得；
所以，所以．

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