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专题14 图形的平移、对称、旋转及简单几何体的三视图
一．选择题
1．（2025 台州一模）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 浙江一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
3．（2025 庆元县一模）如图是由大小相同的小立方块搭成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 临安区一模）如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 滨江区一模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
6．（2025 湖州一模）某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 余姚市一模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 衢州一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．矩形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形
9．（2025 拱墅区一模）如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，△ABC的对称轴经过格点（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
10．（2025 杭州一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（　　）
A．25° B．26° C．30° D．32°
11．（2025 新昌县一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝6，折叠纸片使边AD落在对角线DB上，折痕为DG，则△DBG的面积为（　　）
A．30 B．15 C．24 D．16
12．（2025 衢州一模）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，P1，P2，P3，P4是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点P2，则点P关于直线m的对称点是（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
13．（2025 定海区一模）如图，在平面直角坐标系中A（1，0），C（2，3），将AC绕点A顺时针旋转90°，则点C的对应点C′的坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（4，﹣1） C．（1，﹣4） D．（﹣4，1）
14．（2025 宁波一模）如图，在正方形ABCD中，将对角线AC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），使得AE＝kAC（k为正实数）．设AB＝m，CE＝n．（　　）
A．若k＝1，α＝45°，则 B．若，则
C．若，则 D．若k＝2，α＝60°，则
15．（2025 浙江一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则S△BEC：S△DEC的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
16．（2025 金华模拟）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是　 　 ．
17．（2025 新昌县一模）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为　 　 cm2．
18．（2025 西湖区一模）如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，CE⊥AD，把△CED沿直线CE折叠得到△CED'，点D'落在DA的延长线上．若CD'恰好平分∠ACB，则∠ABC＝ 　 　 °，＝ 　 　 ．
19．（2025 湖州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E是边AB上的一点，点B与点B’关于直线DE对称，点B’恰好在边AC上，连结BB’，则BB’的长是 　 　 ．
20．（2025 衢州一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC上任一点，连结AD，作B点关于AD的对称点E，若DE∥AC，则AD的长为　 　 ．
21．（2025 新昌县一模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　 　 ．
22．（2025 温州一模）如图，将Rt△ABC沿斜边AB向右平移得到△DEF，BC与DF交于点H，延长AC，EF交于点G，连结GH．若BD＝2，GH＝3，则AE的长为 　 　 ．
23．（2025 杭州一模）菱形ABCD绕点A旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在BC上，B'C'交CD于点E．若AB＝2BB'＝4，则CE的长为　 　 ．
三．解答题
24．（2025 临安区一模）我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤．
25．（2025 嘉善县一模）如图，在△ABC中，以B为圆心，线段BC的长为半径画弧交边AB于点D，连结CD，将△ABC沿直线CD对折使点A落在A′处，A′C交边AB于点E．
（1）求证：∠DA′E＝∠BCE；
（2）若，求的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2025 台州一模）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2025 浙江一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【点拨】根据两个视图是三角形得出该几何体是柱体，再根据俯视图是圆，得出几何体是柱．
【解析】解：∵主视图和左视图是长方形，
∴几何体是柱体，
∵俯视图的大致轮廓是圆，
∴该几何体是圆柱．
故选：A．
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
3．（2025 庆元县一模）如图是由大小相同的小立方块搭成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解析】解：此几何体的俯视图是：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了组合体的三视图，关键是掌握俯视图所看的位置．
4．（2025 临安区一模）如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．看不到的用虚线表示．
【解析】解：从左面看，是一个等腰三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握其定义是解题的关键．
5．（2025 滨江区一模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【点拨】由主视图和俯视图为长方形，根据左视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱．
【解析】解：∵主视图和俯视图是长方形，左视图是三角形，
∴该几何体是三棱柱．
故选：A．
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，能识别三视图表示的几何体是解本题的关键．
6．（2025 湖州一模）某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据三视图的定义求解即可．
【解析】解：A．不是三视图中的任何图形，故本选项符合题意；
B．是主视图，故本选项不符合题意；
C．是俯视图，故本选项不符合题意；
D．是左视图，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
7．（2025 余姚市一模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解析】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
8．（2025 衢州一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．矩形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
9．（2025 拱墅区一模）如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，△ABC的对称轴经过格点（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【点拨】根据轴对称的性质解答即可．
【解析】解：如图所示：
由题意可知，△ABC的等腰三角形，它的对称轴是底边AB的中线所在的直线，即△ABC的对称轴经过格点P3．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
10．（2025 杭州一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（　　）
A．25° B．26° C．30° D．32°
【点拨】由∠C＝90°，∠B＝32°，求得∠A＝58°，由B′E∥AC，得∠AGB′＝∠A＝58°，由折叠得∠B′＝∠B＝32°，则58°＝∠AFB′+32°，求得∠AFB′＝26°，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝58°，
∵B′E∥AC，
∴∠AGB′＝∠A＝58°，
∵将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，
∴∠B′＝∠B＝32°，
∵∠AGB′＝∠AFB′+∠B′，
∴58°＝∠AFB′+32°，
∴∠AFB′＝26°，
故选：B．
【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质、翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，求得∠AGB′＝∠A＝58°是解题的关键．
11．（2025 新昌县一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝6，折叠纸片使边AD落在对角线DB上，折痕为DG，则△DBG的面积为（　　）
A．30 B．15 C．24 D．16
【点拨】根据矩形的性质利用勾股定理得BD＝10，得出A′B＝4，设A′G＝AG＝x，则GB＝8﹣x，在直角△A′GB中由勾股定理得出方程，解方程求出AG，然后利用三角形面积公式即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAB＝90°，
∵AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，
在Rt△BCD中，BD＝＝10，
由折叠可知：∠DA′G＝∠DAG＝90°，DA′＝DA＝6，A′G＝AG，
∴∠BA′G＝180°﹣∠DA′G＝90°，
设A′G＝AG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△BEF中，A′B＝BD﹣DA′＝10﹣6＝4，
由勾股定理得：BG2＝A′G2+A′B2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴A′G＝3，
∴△DBG的面积＝BD A′G＝×10×3＝15．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
12．（2025 衢州一模）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，P1，P2，P3，P4是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点P2，则点P关于直线m的对称点是（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【点拨】根据轴对称的性质解答即可．
【解析】解：由图可知，点P关于直线m的对称点是P4，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该知识点是关键．
13．（2025 定海区一模）如图，在平面直角坐标系中A（1，0），C（2，3），将AC绕点A顺时针旋转90°，则点C的对应点C′的坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（4，﹣1） C．（1，﹣4） D．（﹣4，1）
【点拨】根据旋转的性质可得答案．
【解析】解：如图，将AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AC'，
由图可得，点C的对应点C′的坐标是（4，﹣1）．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
14．（2025 宁波一模）如图，在正方形ABCD中，将对角线AC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），使得AE＝kAC（k为正实数）．设AB＝m，CE＝n．（　　）
A．若k＝1，α＝45°，则 B．若，则
C．若，则 D．若k＝2，α＝60°，则
【点拨】过点E作EH⊥AC于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求解即可判断．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝m，CE＝n．
∴AB＝BC＝m，∠B＝90°，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
当α≠90°时，过点E作EH⊥AC于H，
当k＝1，α＝45°时，则，△AHE是等腰直角三角形，
∴AH＝EH＝m，，
在Rt△CEH中，由勾股定理得：CE2＝CH2+EH2，
∴，
整理得，
∵m＝n，即n＝m，
故该选项错误，不符合题意；
当时，则，△AHE是等腰直角三角形，
∴，，即点C与点H重合，
∴，
故B符合题意；
当时，则，∠AEH＝30°，
∴，，，
在Rt△CEH中，，
则，
故该选项错误，不符合题意；
当k＝2，α＝60°时，则，∠AEH＝30°，
∴，，，即点C与点H重合，
∴，
故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．（2025 浙江一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则S△BEC：S△DEC的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG＝CG＝再设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，易得DG＝a，△ABE∽△GDE，由相似三角形的性质和勾股定理求出DE，以此即可求解．
【解析】解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵DG⊥AC，
∴AG＝CG＝AC，
设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，
在Rt△ADG中，DG＝＝a，
∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴＝＝＝，
∴S△BEC：S△DEC的值为＝＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题．
二．填空题
16．（2025 金华模拟）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是　20π　 ．
【点拨】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积．
【解析】解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，
则圆锥的底面周长为8π，
圆锥的母线长为＝5，
则圆锥的侧面积＝×8π×5＝20π．
故答案为：20π．
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（2025 新昌县一模）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为　6　 cm2．
【点拨】阴影部分为长方形，根据平移的性质可得阴影部分是长为3，宽为2，让长乘宽即为阴影部分的面积．
【解析】解：∵边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，
∴阴影部分的宽为4﹣2＝2cm，
∵向右平移1cm，
∴阴影部分的长为4﹣1＝3cm，
∴阴影部分的面积为3×2＝6cm2．
故答案为：6．
【点睛】解决本题的关键是利用平移的性质得到阴影部分的边长．
18．（2025 西湖区一模）如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，CE⊥AD，把△CED沿直线CE折叠得到△CED'，点D'落在DA的延长线上．若CD'恰好平分∠ACB，则∠ABC＝ 　36　 °，＝ 　　 ．
【点拨】设AB，CD′交于点J．设∠B＝x．利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设AD′＝AC＝CJ＝m，BC＝CD＝CD′＝n，则JD′＝n﹣m，利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解．
【解析】解：设AB，CD′交于点J．设∠B＝x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝x，AD∥CB，
∴∠BCD′＝∠D′，
∵CD′平分∠ACB，
∴∠ACD′＝∠BCD′，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠D′，
∴∠BCD′＝∠ACD′＝x，
∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝2x，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°，
∵∠D′＝∠ACD′＝36°，
∴AD′＝AC，
∵∠CAJ＝∠CJA＝72°，
∴AC＝CJ，
设AD′＝AC＝CJ＝m，BC＝CD＝CD′＝n，则JD′＝n﹣m，
∵∠D′＝∠D′，∠D′AJ＝∠ACD′＝36°，
∴△D′AC∽△D′JA，
∴D′A2＝D′J D′C，
∴m2＝（n﹣m） n，
∴n2﹣nm﹣m2＝0，
∴（）2﹣﹣1＝0，
∴＝．
故答案为：36，．
【点睛】本题考查翻折变换，角平分线的定义，菱形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
19．（2025 湖州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E是边AB上的一点，点B与点B’关于直线DE对称，点B’恰好在边AC上，连结BB’，则BB’的长是 　　 ．
【点拨】证明BB′⊥AC，利用勾股定理求出AD，利用面积法求出BB′．
【解析】解：如图，连接AD．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴AD＝＝＝4，
∵B，B′关于DE对称，
∴DE⊥BB′，DE平分BB′，
∵BD＝DC，
∴DE∥AC，
∴AC⊥BB′，
∴ AC BB′＝ BC AD，
∴BB′＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2025 衢州一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC上任一点，连结AD，作B点关于AD的对称点E，若DE∥AC，则AD的长为　　 ．
【点拨】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，根据勾股定理和等腰三角形的性质得AF＝4，利用轴对称和三角形外角的性质得∠ADC＝∠CAD，CD＝CA＝5，进而得DF的长，利用勾股定理求得AD的长度．
【解析】解：如图，
过点A作AF⊥BC，垂足为点F，
∵AB＝AC＝5，
BC＝6，
∴BF＝CF＝＝3，
Rt△ABF中，AF＝＝4，
由对称得：∠B＝∠AED，
∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AC，
∴∠AED＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∠CAD＝∠CAE+∠EAD，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴CD＝CA＝5，
∵BD＝BC﹣CD，
∴BD＝6﹣5＝1，
∴DF＝BF﹣BD＝3﹣1＝2，
Rt△ADF中，AD＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
21．（2025 新昌县一模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　　 ．
【点拨】作BH⊥CD交DC的延长线于点H，因为EG⊥CD，所以BH∥EG，由四边形ABCD是菱形，得AB＝BC＝CD，BE∥GH，则四边形BEGH是平行四边形，所以GH＝BE＝4，由折叠得GE＝BE＝4，则BH＝GE＝4，所以DH＝DG+GH＝7，由勾股定理得42+（7﹣AB）2＝AB2，求得AB＝，所以AE＝AB﹣BE＝，于是得到问题的答案．
【解析】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵EG⊥CD，
∴BH∥EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，
∴BE∥GH，
∴四边形BEGH是平行四边形，
∴GH＝BE＝4，
由折叠得GE＝BE＝4，
∴BH＝GE＝4，
∵DG＝3，
∴DH＝DG+GH＝3+4＝7，
∵BH2+CH2＝BC2，CH＝7﹣CD＝7﹣AB，
∴42+（7﹣AB）2＝AB2，
解得AB＝，
∴AE＝AB﹣BE＝﹣4＝，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22．（2025 温州一模）如图，将Rt△ABC沿斜边AB向右平移得到△DEF，BC与DF交于点H，延长AC，EF交于点G，连结GH．若BD＝2，GH＝3，则AE的长为 　8　 ．
【点拨】连接CF，根据平移的性质、矩形和平行四边形的判定得到四边形CHFG为矩形，四边形ADFC为平行四边形，得到CF＝GH＝3，AD＝CF，计算即可．
【解析】解：如图，连接CF，
由平移的性质可知：AC∥DF，BC∥EF，AD∥CF，AD＝CF，AD＝BE，又∠ACB＝90°，
∴四边形CHFG为矩形，四边形ADFC为平行四边形，
∴CF＝GH＝3，AD＝CF，
∴AD＝3，
∴BE＝3，
∴AE＝AD+DB+BE＝3+2+3＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
23．（2025 杭州一模）菱形ABCD绕点A旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在BC上，B'C'交CD于点E．若AB＝2BB'＝4，则CE的长为　　 ．
【点拨】如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠AB′B，根据平行线的性质得到∠B′CF＝∠AB′B，根据相似三角形的性质得到FC，由旋转可知DD′＝BB′＝2求得C′D＝2，又由CF∥C′D，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，
∵菱形AB′C′D′中，AB′∥C′D′，
∴AB′∥CF∥C′D′，
∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B，
∵∠AB′C′＝∠B，
∴∠FB′C＝∠BAB′，
∵AB′∥FC，
∴∠B′CF＝∠AB′B，
∵AB＝2BB'＝4，
∴B′C＝BB′＝2，
∴△ABB′∽△B′CF，
∴＝，
∴＝，
∴FC＝1，
由旋转可知，△ABB′≌△ADD′，
∴DD′＝BB′＝2，
∴C′D＝2，
又由CF∥C′D，
∴△C′DE∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，正确地作出辅助线是解题关键．
三．解答题
24．（2025 临安区一模）我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤．
【点拨】（1）分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于点E；
（2）步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′；
步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC．
【解析】解：（1）如图2中，点E即为所求；
（2）如图3中，步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′；
步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2025 嘉善县一模）如图，在△ABC中，以B为圆心，线段BC的长为半径画弧交边AB于点D，连结CD，将△ABC沿直线CD对折使点A落在A′处，A′C交边AB于点E．
（1）求证：∠DA′E＝∠BCE；
（2）若，求的值．
【点拨】（1）根据等边对等角得到∠BDC＝∠BCD，然后根据翻折得到∠A'＝∠A，∠A'CD＝∠ACD，然后利用三角形的外角和角的和差解题即可；
（2）先证明两个对应角相等得到△A'DE∽△CBE，即可得到BC＝3A'D＝3AD，然后代入计算解题．
【解析】（1）证明：由作图可得BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
由折叠可得：∠A'＝∠A，∠A'CD＝∠ACD，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠A'CD＝∠A'CB，
∴∠DA'E＝∠BCE；
（2）解：∵∠DA'E＝∠BCE，∠A'ED＝∠BEC，
∴△A'DE∽△CBE，
∴，即BC＝3A'D，
又∵A'D＝AD，BD＝BC，
∴BC＝BD＝3AD，
∴．
【点睛】本题考查翻折的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
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